(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第22練 直線與圓的綜合問題試題 理.docx
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第22練 直線與圓的綜合問題 [明晰考情] 1.命題角度:求直線方程或圓的方程,直線、圓的位置關(guān)系.2.題目難度:圓的方程要求較高,試題難度中檔或偏上. 考點一 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 方法技巧 當(dāng)直線和圓相切時,求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑,求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形;與圓相交時,弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形. 1.(2018常熟月考)已知圓C經(jīng)過A(-2,1),B(5,0)兩點,且圓心C在直線y=2x上. (1)求圓C的方程; (2)動直線l: (m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0過定點M,斜率為1的直線m過點M,直線m和圓C相交于P, Q兩點,求PQ的長度. 解 (1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則 解得D=-4, E=-8, F=-5, ∴圓C的方程為x2+y2-4x-8y-5=0. (2)動直線l的方程為(x+2y-7)m+2x+y-8=0, 則解得 ∴動直線l過定點M, ∴直線m: y=x-1, ∴圓心C到m的距離為, ∴PQ的長為2=. 2.(2018江蘇省揚州中學(xué)模擬)已知圓M的方程為x2+2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B. (1)若∠APB=60,試求點P的坐標(biāo); (2)若P點的坐標(biāo)為,過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=時,求直線CD的方程. 解 (1)設(shè)P(2m,m),由條件可知MP=2, 所以(2m)2+(m-2)2=4, 解得m=0, m=, 故所求點P的坐標(biāo)為(0,0)或. (2)由題意知直線CD的斜率存在,設(shè)斜率為k, 則直線CD的方程為y-1=k(x-2), 由題意知圓心M到直線CD的距離為, 所以=,解得k=-1或-. 故所求直線CD的方程為x+y-3=0或x+7y-9=0. 3.(2018泰州市姜堰區(qū)質(zhì)檢)已知圓C:(x-4)2+(y-1)2=4,直線l:2mx-(3m+1)y+2=0. (1)求證:直線l過定點; (2)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值; (3)已知點M(4,5),在直線MC上(C為圓心)存在定點N(異于點M)滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點N的坐標(biāo)及該常數(shù). (1)證明 依題意得,m(2x-3y)+(2-y)=0. 令2x-3y=0且2-y=0,得x=3,y=2, ∴直線l過定點A(3,2). (2)解 當(dāng)AC⊥l時,所截得弦長最短, 由題意知C(4,1),r=2, ∴kAC==-1,得kl===1, ∴由=1,得m=-1. (3)解 由題意知,直線MC的方程為x=4,假設(shè)存在定點N(4,t)滿足題意, 則設(shè)P(x,y),=λ,得PM2=λ2PN2 (λ>0),且(x-4)2=4-(y-1)2, ∴ 4-(y-1)2+(y-5)2=4λ2-λ2(y-1)2+λ2(y-t)2, 整理得[(2-2t)λ2+8]y+(3+t2)λ2-28=0. ∵上式對任意y∈[-1,3]恒成立,∴ (2-2t)λ2+8=0且(3+t2)λ2-28=0, 即得t2-7t+10=0 ,∴t=2,t=5(舍去,與M重合),λ2=4,λ=2. 綜上可知,在直線MC上存在定點N(4,2),使得為常數(shù)2. 4.已知圓M:2x2+2y2-4y=23,直線l0:x+y=8,l0上一點A的橫坐標(biāo)為a,過點A作圓M的兩條切線l1,l2,切點分別為B,C,D為線段BC的中點. (1)當(dāng)a=0時,求直線l1,l2的方程; (2)當(dāng)直線l1,l2互相垂直時,求a的值; (3)是否存在點A,使得BC長為?若存在,求出點A的坐標(biāo),若不存在,請說明理由. 解 (1)圓M:x2+(y-1)2=,圓心為M(0,1),半徑為,A(0,8),設(shè)切線的方程為y=kx+8, 圓心距d==. ∴k=, 所求直線l1,l2的方程為x-5y+40=0或x+5y-40=0. (2)當(dāng)l1⊥l2時,四邊形MCAB為正方形, ∴AM=MB==5. A(a,8-a),M(0,1),則=5, 即a2-7a+12=0, ∴a=3或a=4. (3)若BC=,則BD=,MB=, ∴MD=, 又MB2=MDMA, ∴MA=. ∵圓心M到直線l0的距離為>, ∴點A不存在. 考點二 直線與圓的綜合 方法技巧 解決直線與圓的綜合問題,往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問題簡化.數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問題時經(jīng)常運用. 5.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0. (1)直線l1過點P(2,0),被圓C截得的弦長為4,求直線l1的方程; (2)直線l2的斜率為1,且l2被圓C截得的弦為AB,若以AB為直徑的圓過原點,求直線l2的方程. 解 圓C:(x-1)2+(y+2)2=9,圓心為C(1,-2) ,半徑為3, (1)∵直線l1過點P(2,0), ①當(dāng)直線斜率不存在時,l1:x=2, 此時l1被圓C截得的弦長為4, ∴l(xiāng)1:x=2; ②當(dāng)直線斜率存在時, 可設(shè)l1的方程為y=k(x-2) 即kx-y-2k=0, 由l1被圓C截得的弦長為4,則圓心C到l1的距離為=1, ∴=1,解得k=, ∴l(xiāng)1的方程為y=(x-2), 即3x-4y-6=0, 綜上可知,l1的方程為x=2或3x-4y-6=0. (2)設(shè)直線l2的方程為y=x+b,代入圓C的方程得x2+(x+b)2-2x+4(x+b)-4=0. 即2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0. (*) 以AB為直徑的圓過原點O,則OA⊥OB. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0, ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, ∵x1,2==. ∴x1+x2=-b-1,x1x2=, ∴b2+4b-4+b(-b-1)+b2=0,即b2+3b-4=0, ∴b=-4或b=1. 將b=-4或b=1代入(*)式,對應(yīng)的Δ>0. 故直線l2:x-y-4=0或x-y+1=0. 6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,平行于x軸且過點A(3,2)的入射光線l1被直線l:y=x反射.反射光線l2交y軸于B點,圓C過點A且與l1,l2都相切. (1)求l2所在直線的方程和圓C的方程; (2)設(shè)P,Q分別是直線l和圓C上的動點,求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標(biāo). 解 (1)直線l1:y=2,設(shè)l1交l于點D,則D(2,2), ∵l的傾斜角為30,∴l(xiāng)2的傾斜角為60, ∴k2=. ∴反射光線l2所在直線的方程為y-2=(x-2), 即x-y-4=0. 已知圓C與l1切于點A,設(shè)C(a,b), ∵圓心C在過點D且與l垂直的直線上, ∴b=-a+8. ① 又圓心C在過點A且與l1垂直的直線上,∴a=3, ② 由①②得圓C的半徑r=3, 故所求圓C的方程為(x-3)2+(y+1)2=9. (2)設(shè)點B(0,-4)關(guān)于l的對稱點為B′(x0,y0), 則=, 且=-, 得B′(-2,2),固定點Q可發(fā)現(xiàn),當(dāng)B′,P,Q三點共線時,PB+PQ最小,故PB+PQ的最小值為B′C-3, 設(shè)P(x,y), 由解得P. ∴PB+PQ的最小值為B′C-3=2-3. 7.已知圓M:x2+(y-2)2=1,設(shè)點B,C是直線l:x-2y=0上的兩點,它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+4(t∈R),點P在線段BC上,過P點作圓M的切線PA,切點為A. (1)若t=0,MP=,求直線PA的方程; (2)經(jīng)過A,P,M三點的圓的圓心是D,求線段DO長的最小值L(t). 解 (1)設(shè)P(2a,a)(0≤a≤2). ∵M(0,2),MP=, ∴=. 解得a=1或a=-(舍去). ∴P(2,1).由題意知切線PA的斜率存在,設(shè)斜率為k. ∴直線PA的方程為y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0. ∵直線PA與圓M相切, ∴=1, 解得k=0或k=-. ∴直線PA的方程為y=1或4x+3y-11=0. (2)設(shè)P(2a,a)(t≤2a≤t+4). ∵PA與圓M相切于點A,∴PA⊥MA. ∴經(jīng)過A,P,M三點的圓的圓心D是線段MP的中點. ∵M(0,2), ∴點D的坐標(biāo)是. 設(shè)DO2=f(a), ∴f(a)=a2+2=a2+a+1=2+. 當(dāng)>-,即t>-時,f(a)min=f=t2++1; 當(dāng)≤-≤+2, 即-≤t≤-時,f(a)min=f=; 當(dāng)+2<-,即t<-時,f(a)min=f=2++1=t2+3t+8, 綜上所述,L(t)= 8.(2018江蘇太倉市明德高級中學(xué)月考)已知⊙O:x2+y2=1和點M(4,m).過O作⊙M的兩條切線,切點分別為A,B且直線AB的方程為4x+2y-11=0. (1)求⊙M的方程; (2)設(shè)P為⊙M上任一點,過點P向⊙O引切線,切點為Q, 試探究:平面內(nèi)是否存在一定點R,使得為定值?若存在,請舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由. 解 (1)以O(shè)M為直徑的圓為x+y=0,設(shè)圓M的半徑為R, 故⊙M的方程為2+2=R2, ∴直線AB的方程為4x+my-16-m2+R2=0, ∴解得R=3, 故⊙M的方程為2+2=9. (2)假設(shè)存在這樣的點R,點P的坐標(biāo)為, 相應(yīng)的定值為λ(λ>0), 根據(jù)題意可得PQ=, ∴=λ, 即x2+y2-1=λ2, (*) 又點P為⊙M上一點,∴2+2=9,即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得 8x+4y-12=λ2, 若系數(shù)對應(yīng)相等,則等式恒成立, ∴ 解得a=2,b=1,λ=或a=,b=,λ=, ∴可以找到這樣的定點R,使得為定值. 如點R的坐標(biāo)為時,比值為; 點R的坐標(biāo)為時,比值為. 例 (14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-3,4),B(9,0),C,D分別為線段OA,OB上的動點,且滿足AC=BD. (1)若AC=4,求直線CD的方程; (2)證明:△OCD的外接圓恒過定點(異于原點O). 審題路線圖 (1)―→ (2)―→ 規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn) (1)解 因為A(-3,4),所以O(shè)A==5. 1分 又因為AC=4,所以O(shè)C=1,所以C. 3分 由BD=4,得D(5,0), 4分 所以直線CD的斜率k==-, 5分 所以直線CD的方程為y=-(x-5),即x+7y-5=0. 6分 (2)證明 設(shè)C(-3m,4m)(0<m≤1),則OC=5m. 7分 所以AC=OA-OC=5-5m. 因為AC=BD,所以O(shè)D=OB-BD=5m+4, 所以點D的坐標(biāo)為(5m+4,0). 8分 又設(shè)△OCD的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則有 10分 解得D=-(5m+4),F(xiàn)=0,E=-10m-3, 所以△OCD的外接圓的方程為 x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0, 12分 整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0. 令所以(舍去)或 所以△OCD的外接圓恒過定點(2,-1). 14分 構(gòu)建答題模板 [第一步] 設(shè)直線方程:關(guān)鍵是求出直線斜率,通過線段長構(gòu)建方程求斜率. [第二步] 求圓的方程:根據(jù)題意設(shè)出圓的一般式,求出圓的一般方程. [第三步] 整理圓的方程:利用等式恒成立的思想求出定點坐標(biāo). 1.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過定點A(1,0). (1)若l1與圓相切,求l1的方程; (2)若l1與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N,判斷AMAN是否為定值,若是,則求出定值;若不是,請說明理由. 解 (1)①若直線l1的斜率不存在,即直線是x=1,符合題意, ②若直線l1的斜率存在,設(shè)直線l1為y=k(x-1), 即kx-y-k=0. 由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2, 即=2, 解得k=,所求直線方程是x=1,3x-4y-3=0. (2)直線與圓相交,斜率必定存在,且斜率為正數(shù),可設(shè)直線方程為kx-y-k=0, 由得N. 又直線CM與l1垂直,由得 M, ∴AMAN= ==6為定值. 故AMAN是定值,且定值為6. 2.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓C:x2+(y-4)2=4,有一動點P在直線x-2y=0上運動,過點P作圓C的切線PA,PB,切點分別為A,B. (1)求切線長PA的最小值; (2)試問:當(dāng)點P運動時,弦AB所在的直線是否恒過定點?若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由. 解 (1)因為PA是圓C的一條切線,所以∠CAP=90,在Rt△CAP中,PA==. 因為PC的最小值為圓心C到直線x-2y=0的距離d,且d==, 所以切線長PA的最小值(PA)min==. (2)設(shè)P(2b,b),易知經(jīng)過A,P,C三點的圓E以CP為直徑, 圓E的方程為x(x-2b)+(y-4)(y-b)=0, 即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0, ① 又圓C:x2+(y-4)2=4, 即x2+y2-8y+12=0, ② ②-①,得圓E與圓C的相交弦AB所在直線的方程為 2bx+(b-4)y+12-4b=0, 即(2x+y-4)b-4y+12=0. 由解得 所以弦AB所在的直線恒過定點. 3.(2018鹽城調(diào)研)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=4與x軸的正半軸交于點A,以點A為圓心的圓A:(x-2)2+y2=r2(r>0)與圓O交于B,C兩點. (1)當(dāng)r=時,求BC的長; (2)當(dāng)r變化時,求的最小值; (3)過點P(6,0)的直線l與圓A切于點D,與圓O分別交于點E,F(xiàn),若點E是DF的中點,試求直線l的方程. 解 (1)當(dāng)r=時, 由得B,C,BC=. (2)由對稱性,設(shè)B(x0,y0),C(x0,-y0),則x+y=4, 所以=(x0-2)2-y=(x0-2)2-(4-x) =2(x0-1)2-2. 因為-2- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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