(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測(一)小題考法——平面向量.doc
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課時跟蹤檢測(一) 小題考法——平面向量 A組——10+7提速練 一、選擇題 1.已知平面向量a=(3,4),b=,若a∥b,則實數(shù)x為( ) A.- B. C. D.- 解析:選C ∵a∥b,∴3=4x,解得x=,故選C. 2.(2019屆高三杭州六校聯(lián)考)已知向量a和b的夾角為120,且|a|=2,|b|=5,則(2a-b)a=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 解析:選D ∵向量a和b的夾角為120, 且|a|=2,|b|=5, ∴ab=25cos 120=-5, ∴(2a-b)a=2a2-ab=24+5=13, 故選D. 3.(2018全國卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則=( ) A.- B.- C.+ D.+ 解析:選A 作出示意圖如圖所示.=+=+=(+)+(-)=-.故選A. 4.設(shè)向量a=(-2,1),a+b=(m,-3),c=(3,1),若(a+b)⊥c,則cos〈a,b〉=( ) A.- B. C. D.- 解析:選D 由(a+b)⊥c可得,m3+(-3)1=0,解得m=1.所以a+b=(1,-3),故b=(a+b)-a=(3,-4). 所以cos〈a,b〉===-,故選D. 5.P是△ABC所在平面上一點,滿足|-|-|+-2|=0,則△ABC的形狀是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 解析:選B ∵P是△ABC所在平面上一點,且|-|-|+-2|=0, ∴||-|(-)+(-)|=0, 即||=|+|, ∴|-|=|+|, 兩邊平方并化簡得=0, ∴⊥,∴∠A=90, 則△ABC是直角三角形. 6.(2018浙江二模)如圖,設(shè)A,B是半徑為2的圓O上的兩個動點,點C為AO中點,則的取值范圍是( ) A.[-1,3] B.[1,3] C.[-3,-1] D.[-3,1] 解析:選A 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示, 可得O(0,0),A(-2,0),C(-1,0),設(shè)B(2cos θ,2sin θ).θ∈[0,2π). 則=(1,0)(2cos θ+1,2sin θ)=2cos θ+1∈[-1,3]. 故選A. 7.(2019屆高三浙江名校聯(lián)考)已知在△ABC中,AB=4,AC=2,AC⊥BC,D為AB的中點,點P滿足=+,則(+)的最小值為( ) A.-2 B.- C.- D.- 解析:選C 由=+知點P在直線CD上,以點C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0),A(0,2),B(2,0),D(,1),∴直線CD的方程為y=x,設(shè)P,則=,=,=,∴+=,∴(+)=-x(2-2x)+x2-x=x2-x=2-,∴當(dāng)x=時,(+)取得最小值-. 8.已知單位向量a,b,c是共面向量,ab=,ac=bc<0,記m=|λa-b|+|λa-c|(λ∈R),則m2的最小值是( ) A.4+ B.2+ C.2+ D.4+ 解析:選B 由ac=bc,可得c(a-b)=0,故c與a-b垂直,又ac=bc<0,記=a,=b,=c,以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)=λa,則|λa-b|+|λa-c|=||+||≥|b-c|=||,由圖可知最小值為BC,易知∠OBC=∠BCO=15,所以∠BOC=150,在△BOC中,BC2=BO2+OC2-2BOOCcos∠BOC=2+.所以m2的最小值是2+. 9.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為( ) A.3 B.2 C. D.2 解析:選A 以A為坐標(biāo)原點,AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線BD的方程為2x+y-2=0,點C到直線BD的距離為=,所以圓C:(x-1)2+(y-2)2=. 因為P在圓C上,所以P. 又=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ), 所以 λ+μ=2+cos θ+sin θ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tan φ=2),當(dāng)且僅當(dāng)θ=+2kπ-φ,k∈Z時,λ+μ取得最大值3. 10.如圖,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,設(shè)=m,=n.若AB=,EF=1,CD=,則( ) A.2m-n=1 B.2m-2n=1 C.m-2n=1 D.2n-2m=1 解析:選D?。?+)(-+)=-2+-+=-2+(-)+m=-2+(++-)+m=+m.又=++,=++,兩式相加,再根據(jù)點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,化簡得2=+,兩邊同時平方得4=2+3+2,所以=-,則=,所以n=+m,即2n-2m=1,故選D. 二、填空題 11.(2018龍巖模擬)已知向量a,b夾角為60,且|a|=1,|2a-b|=2,則|b|=________. 解析:∵|2a-b|=2,∴4a2-4ab+b2=12, ∴412-41|b|cos 60+|b|2=12, 即|b|2-2|b|-8=0, 解得|b|=4. 答案:4 12.(2019屆高三寧波效實模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(+)(+)=________. 解析:∵在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4, ∴+=+++=+=-, +=+++=+, ∴(+)(+)=(-)(+)=2-2=9-16=-7. 答案:-7 13.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=2|a-b|,|a|=3,則|b|的最大值是________;最小值是________. 解析:由|a+b|=2|a-b|兩邊平方,得a2+2ab+b2=4(a2-2ab+b2),化簡得到3a2+3b2=10ab≤10|a||b|,|b|2-10|b|+9≤0,解得1≤|b|≤9. 答案:9 1 14.(2018嘉興期末)在Rt△ABC中,AB=AC=2,D為AB邊上的點,且=2,則=________;若=x+y,則xy=________. 解析:以A為坐標(biāo)原點,,分別為x軸,y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),C(0,2),D,所以=(0,-2)=4.由=x+y,得=x(0,-2)+y(2,-2),所以=2y,-2=-2x-2y,解得x=,y=,所以xy=. 答案:4 15.(2018溫州二模)若向量a,b滿足(a+b)2-b2=|a|=3,且|b|≥2,則ab=________,a在b方向上的投影的取值范圍是________. 解析:向量a,b滿足(a+b)2-b2=|a|=3, ∴a2+2ab+b2-b2=3, ∴9+2ab=3,∴ab=-3; 則a在b方向上的投影為|a|cos θ==, 又|b|≥2,∴-≤<0, ∴a在b方向上的投影取值范圍是. 答案:-3 16.(2018溫州適應(yīng)性測試)已知向量a,b滿足|a|=|b|=ab=2,向量x=λa+(1-λ)b,向量y=ma+nb,其中λ,m,n∈R,且m>0,n>0.若(y-x)(a+b)=6,則m2+n2的最小值為________. 解析:法一:依題意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b](a+b)=6,所以[(m-λ)a+(n-1+λ)b](a+b)=6,因為|a|=|b|=ab=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6,所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=m2+(2-m)2=2m2-4m+4=2(m-1)2+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時取等號,所以m2+n2的最小值為2. 法二:依題意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b](a+b)=6, 即[(m-λ)a+(n-1+λ)b](a+b)=6, 因為|a|=|b|=ab=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6, 所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn≥4-22=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號,所以m2+n2的最小值為2. 答案:2 17.已知在△ABC中,AC⊥AB,AB=3,AC=4.若點P在△ABC的內(nèi)切圓上運動,則(+)的最小值為________,此時點P的坐標(biāo)為________. 解析:因為AC⊥AB,所以以A為坐標(biāo)原點,以AB,AC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(0,4).由題意可知△ABC內(nèi)切圓的圓心為D(1,1),半徑為1.因為點P在△ABC的內(nèi)切圓上運動,所以可設(shè)P(1+cos θ,1+sin θ)(0≤θ<2π).所以=(-1-cos θ,-1-sin θ),+=(1-2cos θ,2-2sin θ),所以(+)=(-1-cos θ)(1-2cos θ)+(-1-sin θ)(2-2sin θ)=-1+cos θ+2cos2 θ-2+2sin2 θ=-1+cos θ≥-1-1=-2,當(dāng)且僅當(dāng)cos θ=-1,即P(0,1)時,(+)取到最小值,且最小值為-2. 答案:-2 (0,1) B組——能力小題保分練 1.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則的值為( ) A.- B. C. D. 解析:選B 如圖所示,=+. 又D,E分別為AB,BC的中點,且DE=2EF,所以=,=+=, 所以=+. 又=-, 則=(-) =-2+2- =2-2-=||2-||2-||||cos∠BAC. 又||=||=1,∠BAC=60, 故=--11=. 2.如圖,在等腰梯形ABCD中,已知DC∥AB,∠ADC=120,AB=4,CD=2,動點E和F分別在線段BC和DC上,且=,=λ,則的最小值是( ) A.4+13 B.4-13 C.4+ D.4- 解析:選B 在等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=2,∠ADC=120,易得AD=BC=2.由動點E和F分別在線段BC和DC上得,所以<λ<1.所以=(+)(+)=+++=||||cos 120+||||-||||+||||cos 60=42+2-4(1-λ)2+(1-λ)2=-13+8λ+≥-13+2=4-13,當(dāng)且僅當(dāng)λ=時取等號.所以的最小值是4-13. 3.(2018臺州一模)已知單位向量e1,e2,且e1e2=-,若向量a滿足(a-e1)(a-e2)=,則|a|的取值范圍為( ) A. B. C. D. 解析:選B ∵單位向量e1,e2,且e1e2=-, ∴〈e1,e2〉=120, ∴|e1+e2|= =1. 若向量a滿足(a-e1)(a-e2)=, 則a2-a(e1+e2)+e1e2=, ∴|a|2-a(e1+e2)=, ∴|a|2-|a|cos〈a,e1+e2〉=, 即cos〈a,e1+e2〉=. ∵-1≤cos〈a,e1+e2〉≤1, ∴-1≤|a|-≤1, 解得-≤|a|≤+, ∴|a|的取值范圍為. 4.(2017麗水模擬)在△ABC和△AEF中,B是EF的中點,AB=EF=1,BC=6,CA=,若+=2,則與的夾角的余弦值等于________. 解析:由題意可得2=(-)2=2+2-2=33+1-2=36,∴=-1. 由+=2, 可得(+)+(+) =2+++ =1-+(-1)+ =(-) ==2, 故有=4. 再由=16cos〈,〉, 可得6cos〈,〉=4,∴cos〈,〉=. 答案: 5.(2019屆高三鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知向量a,b的夾角為,|b|=2,對任意x∈R,有 |b+xa|≥|a-b|,則|tb-a|+(t∈R)的最小值為________. 解析:向量a,b夾角為,|b|=2,對任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|, 兩邊平方整理可得x2a2+2xab-(a2-2ab)≥0, 則Δ=4(ab)2+4a2(a2-2ab)≤0, 即有(a2-ab)2≤0,即為a2=ab, 則(a-b)⊥a, 由向量a,b夾角為,|b|=2, 由a2=ab=|a||b|cos,得|a|=1, 則|a-b|==, 畫出=a,=b,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示: 則A(1,0),B(0,), ∴a=(-1,0),b=(-1,); ∴|tb-a|+ =+ =+ =2 表示P(t,0)與M,N的距離之和的2倍, 當(dāng)M,P,N共線時,取得最小值2|MN|. 即有2|MN|=2=. 答案: 6.已知定點A,B滿足||=2,動點P與動點M滿足||=4,=λ+(1-λ) (λ∈R),且||=||,則的取值范圍是________;若動點C也滿足||=4,則的取值范圍是________. 解析:因為=λ+(1-λ) (λ∈R),λ+1-λ=1,所以根據(jù)三點共線知,點M在直線PB上,又||=||,記PA的中點為D,連接MD,如圖,則MD⊥AP,=(+)=+0=2,因為||=4,所以點P在以B為圓心,4為半徑的圓上,則||∈[2,6],則=2∈[2,18]. 由于|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=4,所以點M在以A,B為焦點,長軸的長為4的橢圓上,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則橢圓方程為+=1,點C在圓(x-1)2+y2=16上,A(-1,0),設(shè)M(2cos α,sin α),C(4cos β+1,4sin β),則=(4cos β+2,4sin β),=(2cos α+1,sin α), =(8cos α+4)cos β+4sin αsin β+4cos α+2 =sin(β+φ)+4cos α+2 =(4cos α+8)sin(β+φ)+4cos α+2, 最大值是(4cos α+8)+4cos α+2=8cos α+10≤18, 最小值是-(4cos α+8)+4cos α+2=-6, 所以∈[-6,18]. 答案:[2,18] [-6,18]- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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