（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.5 二次函數(shù)與冪函數(shù)（講）.doc

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5 二次函數(shù)與冪函數(shù) 【考綱解讀】 內(nèi) 容 要 求 備注 A　　 B　　 C　　 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ　　 　 二次函數(shù) 　　 √　　 　　 1．理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)． 2．會求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值． 3．能用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問題． 【直擊教材】 1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(2，)，則函數(shù)的解析式為________________． 【答案】f(x)＝x(x≥0) 2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為[a－1,2a]，則y＝f(x)的值域為________． 【答案】 【知識清單】 1 二次函數(shù)解析式的求法 二次函數(shù)有三種形式：一般式、頂點式、兩根式．求二次函數(shù)的解析式，使用待定系數(shù)法，即根據(jù)題設(shè)條件，恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的形式，可使運算簡捷． 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用 ①二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論． ②二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進行分析討論求解．對于與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立或存在問題注意等價轉(zhuǎn)化思想的運用． 3．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (－∞，0)減，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)減 公共點 (1,1) 4．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上遞減，在上遞增 在上遞增，在上遞減 奇偶性 b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 圖象特點 ①對稱軸： x＝－； ②頂點： 【考點深度剖析】 從近幾年的高考試題來看，二次函數(shù)圖像的應(yīng)用與其最值問題是高考的熱點，題型多以小題或大題中關(guān)鍵的一步的形式出現(xiàn)，主要考查二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式三者的綜合應(yīng)用． 【重點難點突破】 1．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數(shù)，則m＝________. 【答案】1 【解析】因為冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數(shù)，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.當(dāng)m＝1時，冪函數(shù)f(x)＝x2為偶函數(shù)，滿足條件．當(dāng)m＝2時，冪函數(shù)f(x)＝x3為奇函數(shù)，不滿足條件． 2．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n＝________. 【答案】1 3．若(a＋1)<(3－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】 【解析】易知函數(shù)y＝x的定義域為[0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以解得－1≤a<. [謹(jǐn)記通法] 冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系 (1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式． (2)若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式，再判斷． (3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0. 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． 解：法一：(利用一般式) 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用頂點式) 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. [由題悟法] 求二次函數(shù)解析式的方法 [即時應(yīng)用] 已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． 解：因為f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， 所以f(x)的對稱軸為x＝2. 又因為f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2， 所以f(x)＝0的兩根為1和3. 設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又因為f(x)的圖象過點(4,3)， 所以3a＝3，a＝1. 所以所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 角度一：二次函數(shù)的單調(diào)性問題 1．若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】[－4,0] 角度二：二次函數(shù)的最值問題 2．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4在區(qū)間[0，m]( m>0)上的最大值為4，最小值為3，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【答案】[1,2] 【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，從圖中可以看出當(dāng)1≤m≤2時，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4在區(qū)間[0，m](m>0)上的最大值為4，最小值為3. 角度三：二次函數(shù)中恒成立問題 3．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，若對一切x∈，f(x)>0都成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 【解析】由題意得，對一切x∈，f(x)>0都成立， 即a>＝－＋＝－22＋， 而－22＋≤， 則實數(shù)a的取值范圍為. 【答案】 [通法在握] 1．二次函數(shù)最值問題的3種類型及解題思路 (1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動． (2)思路：抓“三點一軸”，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸． 2．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的2大思路及1個關(guān)鍵 (1)思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)． (2)關(guān)鍵：兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. [演練沖關(guān)] 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； (2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)． 【易錯試題常警惕】 設(shè)函數(shù)，對于滿足的一切值都有，則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】當(dāng)時，，由，得：或或，解得： 或或，所以或或，即；當(dāng)時，