（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習精準提分 第一篇 小考點搶先練基礎題不失分 第4練 平面向量試題.docx

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第4練　平面向量 [明晰考情]　1.命題角度：向量常與三角函數(shù)、不等式、解析幾何等知識交匯命題，綜合考查向量的有關知識，一般以選擇、填空題的形式考查.2.題目難度：中低檔難度． 考點一　平面向量的線性運算 要點重組　(1)平面向量的線性運算：加法、減法、數(shù)乘． (2)共線向量定理． (3)平面向量基本定理． 方法技巧　(1)向量加法的平行四邊形法則：共起點；三角形法則：首尾相連；向量減法的三角形法則：共起點連終點，指向被減． (2)已知O為平面上任意一點，則A，B，C三點共線的充要條件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R. (3)證明三點共線問題，可轉化為向量共線解決． 1．(2018全國Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意圖如圖所示． ＝＋＝＋＝(＋)＋(－) ＝－. 故選A. 2.如圖，在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　) A. B. C．1 D．3 答案　B 解析　∵＝，∴＝， ∴＝m＋＝m＋. 又B，N，P三點共線， ∴m＝. 3.如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　) A．2B.　C.D. 答案　D 解析　方法一　如圖以AB，AD為坐標軸建立平面直角坐標系，設正方形邊長為1，＝，＝，＝(1,1)． ∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝， ∴解得故λ＋μ＝. 方法二　以，作為基底， ∵M，N分別為BC，CD的中點， ∴＝＋＝＋， ＝＋＝－， ∴＝λ＋μ＝＋， 又＝＋， 因此解得 所以λ＋μ＝. 4．已知AB，DC為梯形ABCD的兩腰，若＝(－1,3)，＝(1－x，2x)，則x＝_____. 答案　3 解析　由梯形的性質知，∥，且同向， 則－12x－3(1－x)＝0，解得x＝3. 5．在△ABC中，點M是線段BC延長線上一點，且滿足BM＝3CM，若＝x＋y，則x－y＝________. 答案?。? 解析　因為＝＋＝＋，＝－， 所以＝＋(－)＝－， 所以x＝－，y＝，則x－y＝－2. 考點二　平面向量的數(shù)量積 要點重組　(1)ab＝|a||b|cosθ. (2)|a|2＝aa；cosθ＝. 方法技巧　(1)向量數(shù)量積的求法：定義法，幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義)，坐標法． (2)向量運算的兩種基本方法：基向量法，坐標法． 6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ為實數(shù)，(b＋λa)⊥c，則λ的值為(　　) A．－B．－　C.D. 答案　A 解析　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)c＝0，即3(1＋λ)＋2λ4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－. 7．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 答案　B 解析　方法一　(解析法) 建立坐標系如圖①所示，則A，B，C三點的坐標分別為A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)．設P點的坐標為(x，y)， 圖① 則＝(－x，－y)， ＝(－1－x，－y)， ＝(1－x，－y)， ∴(＋)＝(－x，－y)(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－y)＝2≥2＝－. 當且僅當x＝0，y＝時，(＋)取得最小值，最小值為－. 故選B. 方法二　(幾何法) 如圖②所示，＋＝2(D為BC的中點)，則(＋)＝2. 圖② 要使最小，則與方向相反，即點P在線段AD上，則(2)min＝－2||||， 問題轉化為求||||的最大值． 又當點P在線段AD上時， ||＋||＝||＝2＝， ∴||||≤2＝2＝， ∴[(＋)]min＝(2)min＝－2＝－. 故選B. 8．已知向量＝，＝，則∠ABC等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．120 答案　A 解析　||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝. 又∵0≤∠ABC≤180，∴∠ABC＝30. 9．(2016浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對任意單位向量e，均有|ae|＋|be|≤，則ab的最大值是________． 答案　 解析　由已知可得≥|ae|＋|be|≥|ae＋be|＝|(a＋b)e|， 由于上式對任意單位向量e都成立． ∴≥|a＋b|成立． ∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝12＋22＋2ab. 即6≥5＋2ab，∴ab≤. 10．在平面內，＝＝＝6，動點P，M滿足||＝2，＝，則||2的最大值是________． 答案　16 解析　由已知易得△ABC是等邊三角形且邊長為2.設O是△ABC的中心，則||＝||＝||＝2. 以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系， 如圖所示， 則A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，)． 設P(x，y)，由已知||＝2， 得(x－2)2＋y2＝4.∵＝， ∴M，∴＝， ∴||2＝， 它表示圓(x－2)2＋y2＝4上的點P(x，y)與點D(－1，－3)的距離的平方的， ∵||max＝＋2＝＋2＝8， ∴||＝＝16. 考點三　平面向量的綜合應用 方法技巧　(1)以向量為載體的綜合問題，要準確使用平面向量知識進行轉化，最后歸結為不含向量的問題． (2)平面向量常與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等相結合，利用向量共線或數(shù)量積的知識解題． 11．(2018溫州模擬)如圖已知△ABC的邊BC的垂直平分線交BC于Q，交AC于P，若||＝1，||＝2，則的值為(　　) A．3B.C.D. 答案　B 解析　因為BC的垂直平分線交AC于Q，所以＝0，＝＝＋＝＝＝，故選B. 12．如圖，半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝120，P是弧AB上的一點，且滿足OP⊥OB, M，N分別是線段OA，OB上的動點，則的最大值為(　　) A. B. C．1 D. 答案　C 解析?。剑?＋＋ ＝1＋||cos150＋||||cos120≤1＋0＋0＝1，當且僅當M點與O點重合時取等號，故選C. 13．如圖，在△ABC中，點D，E是線段BC上兩個動點，且＋＝x＋y，則＋的最小值為(　　) A. B．2 C. D. 答案　D 解析　由題圖可知x，y均為正，設＝m＋n，＝λ＋μ，∵B，D，E，C共線， ∴m＋n＝1，λ＋μ＝1， ∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)， 則x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2， ∴＋＝＝≥＝， 當且僅當x＝，y＝時，等號成立． 則＋的最小值為，故選D. 14．(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)設數(shù)列{xn}的各項都為正數(shù)且x1＝1.△ABC內的點Pn(n∈N*)均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為2∶1，若＋xn＋1＋(2xn＋1)＝0，則x4的值為(　　) A．15 B．17 C．29 D．31 答案　A 解析　由＋xn＋1＋＝0得＋(2xn＋1)＝－xn＋1， 設＝(2xn＋1)， 以線段PnA，PnD作出平行四邊形AEDPn，如圖， 則＋＝＝－xn＋1， ∴＝， ∴＝ , ＝＝， ∴＝＝， 則＝＝， 即xn＋1＝2xn＋1， ∴xn＋1＋1＝2(xn＋1), 則{xn＋1}構成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列， 所以x4＋1＝223＝16，所以x4＝15.故選A. 15．在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC＝BC＝1, ＝x＋y且x＋y＝1，函數(shù)f(m)＝|－m|的最小值為，則||的最小值為________． 答案　 解析　在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC＝BC＝1， 函數(shù)f(m)的最小值為. ∴函數(shù)f(m)＝|－m| ＝ ＝≥， 化為4m2－8mcos∠ACB＋1≥0恒成立． 當且僅當m＝＝cos∠ACB時等號成立， 代入得到cos∠ACB＝－(舍去正值)， ∴∠ACB＝. ∴2＝x22＋y22＋2xy ＝x2＋y2＋2xycos ＝x2＋(1－x)2－x(1－x) ＝32＋， 當且僅當x＝＝y(tǒng)時，2取得最小值， ∴的最小值為. 1．對任意向量a，b，下列關系式中不恒成立的是(　　) A．|ab|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 答案　B 解析　選項B中，當向量a，b反向及不共線時， 有|a－b|＞，故B中關系式不恒成立． 2．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若＋＋＝0，且||＝||，則等于(　　) A.B.C．3D．2 答案　C 解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故點O是BC的中點，且△ABC為直角三角形， 又△ABC的外接圓的半徑為1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30， ∴＝||||cos30＝2＝3. 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是__________． 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a(a＋λb)＞0，可得λ＞－. 又a與a＋λb不共線，∴λ≠0.故λ＞－且λ≠0. 4．向量a，b滿足|a|＝4，b(a－b)＝0，若|λa－b|的最小值為2(λ∈R)，則ab＝______. 答案　8 解析　向量a，b滿足|a|＝4，b(a－b)＝0， 即ab＝b2. 若|λa－b|＝＝≥2(λ∈R)， 化為16λ2－2λab＋ab－4≥0對于λ∈R恒成立， ∴Δ＝4(ab)2－64(ab－4)≤0， 化為(ab－8)2≤0， ∴ab＝8. 解題秘籍　(1)熟練掌握向量數(shù)量積的概念，并且要從幾何意義理解數(shù)量積的性質． (2)注意向量夾角的定義和范圍．在△ABC中，和的夾角為π－B；向量a，b的夾角為銳角要和ab＞0區(qū)別開來(不要忽視向量共線情況，兩向量夾角為鈍角類似處理)． 1．(2018金華模擬)已知平面向量a，b，c，滿足＋＝，且|a|＋|b|＋|c|＝4，則c(a＋b)的最大值為(　　 ) A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　由題意可得＋＝， 可得〈a，c〉＝60，〈b，c〉＝60， 故c(a＋b)＝， 將|a|＋|b|＋|c|＝4兩邊同時乘以|c|， 可得|a||c|＋|b||c|＝－|c|2＋4|c|， 故c(a＋b)＝＝＝， 故[c(a＋b)]max＝＝2. 2．若||＝1，||＝4，＝2，＋＝，則△ABC的面積是(　　) A．1B．2C.D．2 答案　C 解析　因為＋＝， 所以＝－＝，＝－＝， 又||＝1，||＝4， 所以||＝1，||＝4，＝2，即＝2. 設與的夾角為θ，易知θ與∠BCA互為對頂角， 所以θ＝∠BCA. 由＝||||cosθ＝14cosθ＝2， 得cosθ＝，∠BCA是三角形的內角，sin∠BCA＝sinθ＝， 所以S△ABC＝||||sin∠BCA＝. 3．(2018諸暨月考)平行四邊形ABCD中，，在上的投影分別為3，－1，則在上的投影的取值范圍是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－1,3) C．(0，＋∞) D．(0,3) 答案　A 解析　以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設B(a，0)，∠CBD＝θ， 則C(3，b)，D(a－1，b), 則3－(a－1)＝a，解得a＝2. 所以D(1，b)，C(3，b) . 在上的投影為||cosθ＝cosθ. 當b→0時，cosθ→－1，得BM→－1. 當b→＋∞時，θ→0，得BM→＋∞. 故選A. 4．(2018浙江湖州、衢州、麗水三市聯(lián)考)已知O是△ABC的外心，∠C＝45，則＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－，1) C．[－，－1] D．(1，] 答案　B 解析　由題意∠C＝45，所以∠AOB＝90，以OA，OB為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，不妨設A(1,0)，B(0,1)，則C在圓O的優(yōu)弧AB上，設C(cosα，sinα)，則α∈， 顯然＝cosα＋sinα， 即m＝cosα，n＝sinα，m＋n＝cosα＋sinα＝sin， 由于α∈，所以α＋∈，sin∈， 所以m＋n∈[－，1)，故選B. 5．(2018浙江省金華十校模擬)已知平面內任意不共線的三點A，B，C，則＋＋的值為(　　) A．正數(shù) B．負數(shù) C．0 D．以上說法都有可能 答案　B 解析　＋＋ ＝2(＋＋) ＝[(＋)＋(＋)＋(＋)] ＝[(＋)＋(＋)＋(＋)] ＝(＋＋) ＝(－2－2－2)<0. 即＋＋的值為負數(shù)． 6．設O是△ABC的內心，AB＝c，AC＝b，若＝λ1＋λ2，則(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　A 解析　設＝λ1，＝λ2.因為O是△ABC的內心，所以AO平分∠BAC，所以平行四邊形AMON為菱形，且λ1>0，λ2>0，由||＝||，得|λ1|＝|λ2|，即λ1c＝λ2b，亦即＝，故選A. 7．(2018浙江省新昌中學、臺州中學等聯(lián)考)如圖，點C在以AB為直徑的圓上，其中AB＝2，過A向點C處的切線作垂線，垂足為P，則的最大值是(　　) A．2B．1C．0D．－1 答案　B 解析　連接BC，則∠ACB＝90， ∵AP⊥PC， ∴＝＝＝＝2， 依題意可證Rt△APC∽Rt△ACB，則＝， 即|PC|＝. ∵|AC|2＋|CB|2＝|AB|2， ∴|AC|2＋|CB|2＝4≥2|AC||CB|， 即|AC||CB|≤2，當且僅當|AC|＝|CB|＝時取等號， ∴|PC|≤1， ∴＝2≤1， ∴的最大值為1，故選B. 8．(2018浙江省嘉興一中、杭州高級中學等聯(lián)考)設a1，a2，a3，a4∈R，且a1a4－a2a3＝1，記f(a1，a2，a3，a4)＝a＋a＋a＋a＋a1a3＋a2a4，則f(a1，a2，a3，a4)的最小值為(　　) A．1B.C．2D．2 答案　B 解析　設m＝(a1，a2)，n＝， 因為a1a4－a2a3≠0，所以m，n不共線， 則f(a1，a2，a3，a4)＝|m|2＋|n|2＋mn， 記cosθ＝，θ∈(0，π)， 則S△＝|m||n|sinθ＝|m||n| ＝|a1a4－a2a3|＝?|m||n|＝?f(a1，a2，a3，a4) ≥2|m||n|＋mn＝＋≥(利用三角函數(shù)的有界性)． 9．(2018浙江省嘉興市第一中學模擬)設e1，e2為單位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影為2，則ab＝________，e1與e2的夾角為________． 答案　2　 解析　因為＝2，所以ab＝2. 設e1與e2的夾角為θ，則＝ ＝＝2|e1||e2|cosθ＋1＝2， 解得cosθ＝，又因為θ∈[0，π]，所以θ＝. 10．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60，＝m＋，則的最小值為________，又若⊥，則m＝________. 答案　　 解析　因為＝||||cosA＝3， 所以2＝2 ＝m22＋2m＋2 ＝9m2＋6m＋4＝(3m＋1)2＋3， 所以當3m＋1＝0時，取最小值； 因為⊥， 所以＝ ＝(m－1)－m2＋2＝3(m－1)－9m＋4＝0， 解得m＝. 11．(2018浙江省杭州市第二中學月考)已知點M為單位圓x2＋y2＝1上的動點，點O為坐標原點，點A在直線x＝2上，則的最小值為________． 答案　2 解析　設A(2，t)，M(cosθ，sinθ)θ∈[0,2π]， 則＝(cosθ－2，sinθ－t)，＝(－2，－t)， 所以＝4＋t2－2cosθ－tsinθ. 又(2cosθ＋tsinθ)max＝， 故≥4＋t2－. 令s＝，則s≥2，又4＋t2－＝s2－s≥2， 當s＝2即t＝0時等號成立，故min＝2. 12．若向量a，b滿足a2＋ab＋b2＝1，則的最大值為________． 答案　 解析　因為2＋2＝2a2＋2b2，2－2＝4ab， 所以＋＝1， 即＋＝1， 即2＝－≤， 故≤.