2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第3講 合情推理與演繹推理講義 理（含解析）.doc

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第3講　合情推理與演繹推理 [考綱解讀]　1.了解合情推理和演繹推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理．(重點(diǎn)) 2.掌握演繹推理的三段論，并能運(yùn)用三段論進(jìn)行一些簡單的推理． 3.弄清推理的一般步驟：①實(shí)驗(yàn)、觀察、比較；②概括、聯(lián)想、類推、推廣；③猜想新結(jié)論． [考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來看，演繹推理貫穿于整個(gè)高考試卷的始末，而合情推理時(shí)有考查. 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查歸納猜想及類比推理的應(yīng)用. 題型為客觀題，試題具有一定的綜合性，屬中等難度試題. 1．推理 (1)定義：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程就是推理． (2)分類：推理一般分為合情推理和演繹推理． 2．合情推理 (1)定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理． (2)分類：數(shù)學(xué)中常用的合情推理有歸納推理和類比推理． (3)歸納和類比推理的定義、特征 3．演繹推理 (1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷． 1．概念辨析 (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(　　) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(　　) (3)ax＋y＝axay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ.(　　) (4)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確．(　　) 答案　(1)　(2)√　(3)　(4)√ 2．小題熱身 (1)①已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，則①②兩個(gè)推理過程分別屬于(　　) A．類比推理、歸納推理 B．類比推理、演繹推理 C．歸納推理、類比推理 D．歸納推理、演繹推理 答案　A 解析?、儆扇切蔚拿娣e公式得到扇形的面積公式有相似之處，此種推理為類比推理；②由特殊到一般，此種推理為歸納推理． (2)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 答案　C 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)． (3)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3 C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1 答案　C 解析　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2. (4)對(duì)于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“__________________________”，這個(gè)類比命題的真假性是________． 答案　夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等　真命題 解析　由類比推理可知． 題型 　類比推理 1．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則等比數(shù)列{}的公比為(　　) A. B．q2 C. D. 答案　C 解析　∵在等差數(shù)列{an}中前n項(xiàng)的和為Sn的通項(xiàng)， 且可寫成＝a1＋(n－1).所以在等比數(shù)列{bn}中應(yīng)研究前n項(xiàng)的積為Tn的開n次方的形式．類比可得＝b1()n－1，其公比為. 2．在平面幾何中，△ABC的∠C的平分線CE分AB所成線段的比為＝.把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖)，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是________． 答案　＝ 解析　由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得＝. 1．類比推理的四個(gè)角度和四個(gè)原則 (1)四個(gè)角度 類比推理是由特殊到特殊的推理，可以從以下幾個(gè)方面考慮類比： ①類比的定義：如等差、等比數(shù)列的定義； ②類比的性質(zhì)：如橢圓、雙曲線的性質(zhì)； ③類比的方法：如基本不等式與柯西不等式； ④類比的結(jié)構(gòu)：如三角形的內(nèi)切圓與三棱錐的內(nèi)切球． (2)四個(gè)原則 ①長度類比面積； ②面積類比體積； ③平面類比空間； ④和類比積，差類比商．見舉例說明． 2．類比推理的一般步驟 (1)找出兩類事物之間的相似性或一致性． (2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)． 3．常見的類比推理題型的求解策略 在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：(1)找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2018廈門模擬)已知圓：x2＋y2＝r2上任意一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝r2.類比以上結(jié)論，有雙曲線－＝1上任意一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為________． 答案?。? 解析　設(shè)圓上任一點(diǎn)為(x0，y0)，把圓的方程中的x2，y2替換為x0x，y0y，則得到圓的切線方程；類比這種方式，設(shè)雙曲線－＝1上任一點(diǎn)為(x0，y0)，則切線方程為－＝1(這個(gè)結(jié)論是正確的，證明略)． 題型 　歸納推理 角度1　與數(shù)字有關(guān)的歸納推理 1．從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為(　　) A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 答案　D 解析　根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a，則第二層的三個(gè)數(shù)為a＋7，a＋8，a＋9，第三層的五個(gè)數(shù)為a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，這九個(gè)數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2021，得a＝213，是自然數(shù)，故選D. 角度2　與式子有關(guān)的歸納推理 2．(2016山東高考)觀察下列等式： －2＋－2＝12； －2＋－2＋－2＋－2＝23； －2＋－2＋－2＋…＋－2 ＝34； －2＋－2＋－2＋…＋－2 ＝45； …… 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. 答案　 解析　觀察前4個(gè)等式，由歸納推理可知 －2＋－2＋…＋－2 ＝n(n＋1)＝. 角度3　與圖形有關(guān)的歸納推理 3．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個(gè)樹形圖．若記圖(2)中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，則a2019＝________. 答案　 解析　根據(jù)題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0)，第2行記為(2,1)，第3行記為(5,4)，第4行的白圈數(shù)為25＋4＝14，黑圈數(shù)為5＋24＝13，所以第4行的“坐標(biāo)”為(14,13)，同理可得第5行的“坐標(biāo)”為(41,40)，第6行的“坐標(biāo)”為(122,121)，….各行黑圈數(shù)乘2，分別是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以歸納出第n行的黑圈數(shù)an＝(n∈N*)，所以a2019＝. 歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解．見舉例說明1. (2)與式子有關(guān)的歸納推理 ①與不等式有關(guān)的推理．觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解． ②與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個(gè)特殊項(xiàng)，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可． (3)與圖形變化有關(guān)的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡裕娕e例說明3. 1．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，則52019的末四位數(shù)字為(　　) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 答案　D 解析　∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，可以看出這些冪的最后4位是以4為周期變化的，∵20194＝504余3，∴52019的末四位數(shù)字與57的后四位數(shù)相同，是8125. 2．觀察下列不等式： 1＋3＋3<π2， 1＋32＋322<π4， 1＋33＋332<π6， …… 照此規(guī)律，第n－1(n≥2，n∈N*)個(gè)不等式是________． 答案　1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2 解析　根據(jù)所給不等式易歸納推理出第n(n∈N*)個(gè)不等式是1＋3n＋3n2<π2n，所以可以歸納推測(cè)出第n－1(n≥2，n∈N*)個(gè)不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2. 3．地震后需搭建簡易帳篷，搭建如圖①的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖②、圖③的方式串起來搭建，則串7頂這樣的帳篷需要________根鋼管． 答案　83 解析　由題意可知，圖①的單頂帳篷需要(17＋011)根鋼管，圖②的帳篷需要(17＋111)根鋼管，圖③的帳篷需要(17＋211)根鋼管，…所以串7頂這樣的帳篷需要17＋611＝83(根)鋼管． 題型 　演繹推理 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. 證明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2，又＝1≠0，(小前提) 故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知＝4(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)＝4Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 三段論的應(yīng)用 (1)三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. (2)應(yīng)用三段論的注意點(diǎn)：解決問題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提，小前提，然后再找結(jié)論． 提醒：合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f＝－f成立． 證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期． 證明　由f＝－f，且f(－x)＝ －f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個(gè)周期．