(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義(含解析).docx
《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義(含解析).docx》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義(含解析).docx(22頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
9.7 拋物線 最新考綱 考情考向分析 1.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì). 2.會(huì)解決直線與拋物線的位置關(guān)系的問題. 拋物線的方程、幾何性質(zhì)或與拋物線相關(guān)的綜合問題是命題的熱點(diǎn).題型既有小巧靈活的選擇、填空題,又有綜合性較強(qiáng)的解答題. 1.拋物線的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0,0) 對(duì)稱軸 x軸 y軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) F F F F 離心率 e=1 準(zhǔn)線方程 x=- x= y=- y= 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 1.若拋物線定義中定點(diǎn)F在定直線l上時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形? 提示 過點(diǎn)F且與l垂直的直線. 2.直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的什么條件? 提示 直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn),但不是相切,所以直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.( ) (2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是x=-.( ) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形.( ) (4)AB為拋物線y2=2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB|=x1+x2+p.( √ ) (5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑,那么拋物線x2=-2ay(a>0)的通徑長為2a.( √ ) 題組二 教材改編 2.[P69例4]過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,則|PQ|等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B 解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.根據(jù)題意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8. 3.[P73A組T3]若拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為l,P是拋物線上任意一點(diǎn),則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x+4y+7=0的距離之和的最小值是( ) A.2B.C.D.3 答案 A 解析 由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,由拋物線y2=4x及直線方程3x+4y+7=0可得直線與拋物線相離.∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)P到直線3x+4y+7=0的距離之和的最小值為點(diǎn)F(1,0)到直線3x+4y+7=0的距離,即=2.故選A. 4.[P72T1]已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過點(diǎn)P(-2,-4),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________. 答案 y2=-8x或x2=-y 解析 設(shè)拋物線方程為y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0). 將P(-2,-4)代入,分別得方程為y2=-8x或x2=-y. 題組三 易錯(cuò)自糾 5.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.4B.6C.8D.12 答案 B 解析 如圖所示, 拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x=-2,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)P作PA⊥y軸,垂足是A,延長PA交直線l于點(diǎn)B,則|AB|=2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4,則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|=4+2=6,所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|=|PB|=6.故選B. 6.已知拋物線C與雙曲線x2-y2=1有相同的焦點(diǎn),且頂點(diǎn)在原點(diǎn),則拋物線C的方程是( ) A.y2=2x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=4x 答案 D 解析 由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(-,0),(,0). 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則=, 所以p=2,所以拋物線方程為y2=4x.故選D. 7.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是__________. 答案 [-1,1] 解析 Q(-2,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不滿足題意,故設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入拋物線方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 當(dāng)k=0時(shí),符合題意,當(dāng)k≠0時(shí), 由Δ=(4k2-8)2-4k24k2=64(1-k2)≥0, 解得-1≤k≤1且k≠0, 綜上,k的取值范圍是[-1,1]. 題型一 拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 命題點(diǎn)1 定義及應(yīng)用 例1 設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若B(3,2),則|PB|+|PF|的最小值為________. 答案 4 解析 如圖,過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1, 則|P1Q|=|P1F|. 則有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4, 即|PB|+|PF|的最小值為4. 引申探究 1.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4),試求|PB|+|PF|的最小值. 解 由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部. ∵|PB|+|PF|的最小值即為B,F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離,F(xiàn)(1,0), ∴|PB|+|PF|≥|BF|==2, 即|PB|+|PF|的最小值為2. 2.若將本例中的條件改為:已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+5=0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線l的距離為d2,求d1+d2的最小值. 解 由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0). 點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1=|PF|-1, 所以d1+d2=d2+|PF|-1. 易知d2+|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離, 故d2+|PF|的最小值為=3, 所以d1+d2的最小值為3-1. 命題點(diǎn)2 求標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 答案 C 解析 由題意知,F(xiàn),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,則由拋物線的定義知,xM=5-,設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為,所以圓的方程為2+2=,又因?yàn)閳A過點(diǎn)(0,2),所以yM=4,又因?yàn)辄c(diǎn)M在C上,所以16=2p,解得p=2或p=8,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x或y2=16x,故選C. 思維升華 (1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑. (2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值為________. 答案 解析 如圖,易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線是x=-1, 由拋物線的定義知,點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于點(diǎn)P到F的距離. 于是,問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小, 顯然,連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn), 此時(shí)最小值為=. (2)如圖所示,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x 答案 D 解析 分別過點(diǎn)A,B作AA1⊥l,BB1⊥l,且垂足分別為A1,B1,由已知條件|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BB1|, 所以∠BCB1=30. 又|AA1|=|AF|=3, 所以|AC|=2|AA1|=6, 所以|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3, 所以F為線段AC的中點(diǎn). 故點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p=|AA1|=, 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=3x. 題型二 拋物線的幾何性質(zhì) 例3 (1)已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于P,Q兩點(diǎn),且P,Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M,N兩點(diǎn),則S△MFN等于( ) A.p2 B.p2 C.p2 D.p2 答案 B 解析 不妨設(shè)P在第一象限,過Q作QR⊥PM,垂足為R, 設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E,∵直線PQ的斜率為,∴直線PQ的傾斜角為60.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|PQ|=|PF|+|QF|=+==p. 在Rt△PRQ中,sin∠RPQ=, ∴|QR|=|PQ|sin∠RPQ=p=p,由題意可知|MN|=|QR|=p,∴S△MNF=|MN||FE|=pp=p2.故選B. (2)過點(diǎn)P(-2,0)的直線與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且|PA|=|AB|,則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為( ) A.B.C.D.2 答案 A 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別過點(diǎn)A,B作直線x=-2的垂線,垂足分別為點(diǎn)D,E.∵|PA|=|AB|, ∴又得x1=, 則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1+=. 思維升華在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí),要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題,特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此. 跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為( ) A.18B.24C.36D.48 答案 C 解析 以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),水平方向?yàn)閤軸,豎直方向?yàn)閥軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為,將x=代入y2=2px,可得y2=p2,|AB|=12,即2p=12,所以p=6.因?yàn)辄c(diǎn)P在準(zhǔn)線上,所以點(diǎn)P到AB的距離為p=6,所以△PAB的面積為612=36. (2)(2015浙江)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由圖形可知,△BCF與△ACF有公共的頂點(diǎn)F,且A,B,C三點(diǎn)共線, 則△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0),作準(zhǔn)線l,則l的方程為x=-1. ∵點(diǎn)A,B在拋物線上,過A,B分別作AK,BH與準(zhǔn)線垂直,垂足分別為點(diǎn)K,H,且與y軸分別交于點(diǎn)N,M.由拋物線定義,得|BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1.在△CAN中,BM∥AN, ∴==. 題型三 直線與拋物線 例4 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F在y軸正半軸上,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),線段AB的長是8,AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線交于P,Q兩點(diǎn).連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R,當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí),求直線m的方程. 解 (1)設(shè)拋物線的方程是x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由拋物線定義可知y1+y2+p=8, 又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3, ∴y1+y2=6, ∴p=2, ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=4y. (2)由題意知,直線m的斜率存在,設(shè)直線m:y=kx+6(k≠0),P(x3,y3),Q(x4,y4), 由消去y得x2-4kx-24=0, ∴(*) 易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y-=(x-x3), 令y=-1,得x=,∴R, 又Q,F(xiàn),R三點(diǎn)共線, ∴kQF=kFR,又F(0,1), ∴=, 即(x-4)(x-4)+16x3x4=0, 整理得(x3x4)2-4[(x3+x4)2-2x3x4]+16+16x3x4=0, 將(*)式代入上式得k2=,∴k=, ∴直線m的方程為y=x+6. 思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. (4)設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦, 若A(x1,y1),B(x2,y2),則 ①x1x2=,y1y2=-p2. ②弦長|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角). ③以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. ④通徑:過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦,長等于2p,通徑是過焦點(diǎn)最短的弦. 跟蹤訓(xùn)練3已知拋物線C:x2=2py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1),設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),拋物線C在A,B處的切線交點(diǎn)為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上,求p的值; (2)若△ABN面積的最小值為4,求拋物線C的方程. 解 (1)可設(shè)AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 將AB的方程代入拋物線C,得 x2-2pkx-2p=0,Δ=4p2k2+8p>0,顯然方程有兩不等實(shí)根, 則x1+x2=2pk,x1x2=-2p.① 由x2=2py得y′=, 則A,B處的切線斜率乘積為=-=-1, 則有p=2. (2)設(shè)切線AN為y=x+b, 又切點(diǎn)A在拋物線y=上, ∴y1=,∴b=-=-, ∴yAN=x-. 同理yBN=x-. 又∵N在yAN和yBN上, ∴解得N. ∴N(pk,-1). |AB|=|x2-x1|=, 點(diǎn)N到直線AB的距離d==, S△ABN=|AB|d=≥2, ∴2=4,∴p=2, 故拋物線C的方程為x2=4y. 直線與圓錐曲線問題的求解策略 例 (15分)已知拋物線C:y=mx2(m>0),焦點(diǎn)為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A,B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q. (1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo); (2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3,求此時(shí)m的值; (3)是否存在實(shí)數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 規(guī)范解答 解 (1)∵拋物線C:x2=y(tǒng), ∴它的焦點(diǎn)為F.[2分] (2)∵|RF|=y(tǒng)R+, ∴2+=3,得m=.[4分] (3)存在,聯(lián)立方程 消去y得mx2-2x-2=0(m>0), 依題意,有Δ=(-2)2-4m(-2)=8m+4>0恒成立, 方程必有兩個(gè)不等實(shí)根.[7分] 設(shè)A(x1,mx),B(x2,mx),則(*) ∵P是線段AB的中點(diǎn), ∴P, 即P,∴Q,[10分] 得=,=. 若存在實(shí)數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則=0, 即+=0,[13分] 結(jié)合(*)式化簡得--+4=0, 即2m2-3m-2=0,∴m=2或m=-, ∵m>0,∴m=2. ∴存在實(shí)數(shù)m=2,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.[15分] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟 第一步:聯(lián)立方程,得關(guān)于x或y的一元二次方程; 第二步:寫出根與系數(shù)的關(guān)系,并求出Δ>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn)); 第三步:根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2)的關(guān)系式,求得結(jié)果; 第四步:反思回顧,查看有無忽略特殊情況. 1.(2018浙江省名校聯(lián)考)拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(2,0) B.(0,2) C. D. 答案 B 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),故選B. 2.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A∈l,線段AF交拋物線C于點(diǎn)B,若=3,則||等于( ) A.3B.4C.6D.7 答案 B 解析 由已知B為AF的三等分點(diǎn),作BH⊥l于H,如圖, 則|BH|=|FK|=, ∴||=||=, ∴||=3||=4,故選B. 3.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,則△AHF的面積是( ) A.4B.3C.4D.8 答案 C 解析 由拋物線的定義可得|AF|=|AH|,∵AF的斜率為,∴AF的傾斜角為30,∵AH垂直于準(zhǔn)線, ∴∠FAH=60,故△AHF為等邊三角形.設(shè)A,m>0,過F作FM⊥AH于M,則在△FAM中,|AM|=|AF|,∴-1=,解得m=2,故等邊三角形AHF的邊長|AH|=4,∴△AHF的面積是44sin60=4.故選C. 4.拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,M是拋物線C上的點(diǎn),若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切,且該圓的面積為36π,則p等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 D 解析 ∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切, ∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑. ∵圓的面積為36π,∴圓的半徑為6. 又∵圓心在OF的垂直平分線上,|OF|=, ∴+=6,∴p=8.故選D. 5.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A,B兩點(diǎn),則的值等于( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 記拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為l′, 如圖,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,AC⊥BB1,垂足分別是A1,B1,C, 則cos∠ABB1===, 即cos60==,由此得=. 6.(2018浙江省杭州市四校聯(lián)考)直線l交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),C(-1,2),若拋物線的焦點(diǎn)F恰好為△ABC的重心,則直線AB的方程是( ) A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-5=0或2x+y-3=0 D.2x+y-3=0 答案 D 解析 方法一 由題意知,拋物線的焦點(diǎn)F(1,0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則 x1+x2=4,y1+y2=-2, 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1). 設(shè)直線AB的方程為t(y+1)=x-2,與拋物線方程聯(lián)立,消去x并整理得y2-4ty-4(t+2)=0,所以y1+y2=4t=-2,t=-,則直線AB的方程為-(y+1)=x-2,即2x+y-3=0,故選D. 方法二 由題意知,拋物線的焦點(diǎn)F(1,0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x2=4,y1+y2=-2, 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),所以x1≠x2. 又A,B在拋物線上, 所以y=4x1,y=4x2,kAB===-2, 則直線AB的方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故選D. 7.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為____________. 答案 x2=8y 解析 ∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,∴動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與它到直線y=-2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡為以A(0,2)為焦點(diǎn),以直線y=-2為準(zhǔn)線的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y. 8.(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),M是拋物線C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若=,則|FN|=________. 答案 5 解析 如圖,過點(diǎn)M,N分別向拋物線y2=4x的準(zhǔn)線x=-1作垂線段MA,NB, 其中MA交y軸于點(diǎn)C,因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),所以|OF|=1, 因?yàn)椋?,所以|MC|=|OF|=,所以|MA|=,由拋物線的定義可得|MF|=, 所以|MN|=,所以|FN|=5. 9.(2018湖州模擬)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),|AF||FB|=8,則p=______. 答案 2 解析 方法一 由題意知,直線方程為y=x-,得x=y(tǒng)+代入拋物線方程,得y2=2p,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-p2,|AF||FB|=|y1||y2|=2|y1y2|=2p2=8,得p=2. 方法二 由題意可知,+=,得|FA|+|FB|=|FA||FB|=,即|AB|==,得p=2. 10.如圖,已知拋物線C:x2=2y,F(xiàn)是其焦點(diǎn),AB是拋物線C上的一條弦.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,2),點(diǎn)B在第一象限上,且|BF|=2|AF|,則直線AB的斜率為________,△ABF的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________. 答案 2+2= 解析 因?yàn)閨BF|=2|AF|,所以yB+=2=2,解得yB=,代入拋物線的方程得點(diǎn)B的坐標(biāo)為,則直線AB的斜率kAB==,直線AF的斜率kAF==-,直線BF的斜率kBF==,則kAFkBF=-1,直線AF與直線BF相互垂直,即△ABF為直角三角形,則△ABF的外接圓的圓心為,即,半徑為=,所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=. 11.(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)已知F是拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)P是不在拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P向拋物線C作兩條切線l1,l2,切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2). (1)如果點(diǎn)P在直線y=-1上,求+的值; (2)若點(diǎn)P在以F為圓心,半徑為4的圓上,求|AF||BF|的值. 解 (1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y=, 所以y′=, 所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1), 即x-y-y1=0,① 同理切線PB的方程為x-y-y2=0,② 設(shè)P(x0,y0),則由①②得x1x0-2y1-2y0=0及x2x0-2y2-2y0=0, 所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0. 由于點(diǎn)P是直線y=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 所以y0=-1, 即直線AB的方程為x0x-2y+2=0, 因此它過拋物線的焦點(diǎn)F(0,1). 當(dāng)x0=0時(shí),AB的方程為y=1,此時(shí)|AF|=|BF|=2, 所以+=1; 當(dāng)x0≠0時(shí),把直線AB的方程代入拋物線C的方程, 得y2-(x+2)y+1=0, 從而有y1y2=1,y1+y2=x+2, 所以+=+==1. 綜上可知,+=1. (2)由(1)知,切線PA的方程為y=x-, 切線PB的方程為y=x-, 聯(lián)立得點(diǎn)P. 設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代入拋物線C:x2=4y,得x2-4kx-4m=0,則x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2k,-m),所以|PF|==4,即(m+1)2=16-4k2,從而|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+m+1)(kx2+m+1)=k2x1x2+k(m+1)(x1+x2)+(m+1)2=-4mk2+4k2(m+1)+16-4k2=16. 12.如圖,過拋物線M:y=x2上一點(diǎn)A(點(diǎn)A不與原點(diǎn)O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C是拋物線M上異于點(diǎn)A的點(diǎn),設(shè)G為△ABC的重心(三條中線的交點(diǎn)),直線CG交y軸于點(diǎn)D. (1)設(shè)A(x0,x)(x0≠0),求直線AB的方程; (2)求的值. 解 (1)因?yàn)閥′=2x,所以直線AB的斜率k==2x0, 所以直線AB的方程為y-x=2x0(x-x0), 即y=2x0x-x. (2)由題意及(1)得,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yB=-x, 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為. 設(shè)C(x1,y1),G(x2,y2), 直線CG的方程為x=my+x0. 由 得m2y2+(mx0-1)y+x=0. 因?yàn)镚為△ABC的重心, 所以y1=3y2. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得 y1+y2=4y2=,y1y2=3y=. 所以=, 解得mx0=-32. 所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD=-=, 故==46. 13.如圖所示,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若F是AC的中點(diǎn),且|AF|=4,則線段AB的長為( ) A.5 B.6 C. D. 答案 C 解析 方法一 如圖所示,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AD⊥l,交l于點(diǎn)D, 由拋物線的定義知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中點(diǎn),知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則|AF|=x1+=x1+1=4, 所以x1=3,解得y1=2, 所以A(3,2), 又F(1,0),所以直線AF的斜率k==, 所以直線AF的方程為y=(x-1), 代入拋物線方程y2=4x,得3x2-10x+3=0, 所以x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=.故選C. 方法二 如圖所示,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AD⊥l,交l于點(diǎn)D,由拋物線的定義知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中點(diǎn),知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=.故選C. 方法三 如圖所示,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AD⊥l,交l于點(diǎn)D, 由拋物線的定義知,|AD|=|AF|=4, 由F是AC的中點(diǎn),知|AF|=2|MF|=2p, 所以2p=4,解得p=2, 所以拋物線的方程為y2=4x. 因?yàn)椋?,|AF|=4, 所以|BF|=, 所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.故選C. 14.如圖所示,拋物線y=x2,AB為過焦點(diǎn)F的弦,過A,B分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)M,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),則①若AB的斜率為1,則|AB|=4;②|AB|min=2;③yM=-1;④若AB的斜率為1,則xM=1;⑤xAxB=-4.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 由題意得,焦點(diǎn)F(0,1),對(duì)于①,lAB的方程為y=x+1,與拋物線的方程聯(lián)立, 得消去x,得y2-6y+1=0, 所以yA+yB=6,則|AB|=y(tǒng)A+yB+p=8,則①錯(cuò)誤; 對(duì)于②,|AB|min=2p=4,則②錯(cuò)誤; 因?yàn)閥′=,則lAM:y-yA=(x-xA), 即y=xAx-,lBM:y-yB=(x-xB), 即y=xBx-, 聯(lián)立lAM與lBM的方程得 解得M. 設(shè)lAB的方程為y=kx+1,與拋物線的方程聯(lián)立, 得消去y,得x2-4kx-4=0, 所以xA+xB=4k,xAxB=-4, 所以yM=-1,③和⑤均正確; 對(duì)于④,當(dāng)AB的斜率為1時(shí),xM=2,則④錯(cuò)誤,故選B. 15.(2019浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知拋物線y2=4x,焦點(diǎn)記為F,過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),則|AF|-的最小值為________. 答案 2-2 解析 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1. 由拋物線的定義可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1, 所以|AF|-=x1+1-====. 令x2-1=t(t>0),則x2=t+1, 所以|AF|-== ≥===2-2(當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)等號(hào)成立); 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),易得|AF|-=1. 綜上,|AF|-的最小值為2-2. 16.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,求r的取值范圍. 解 如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 則 兩式相減得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). 當(dāng)l的斜率k不存在時(shí),符合條件的直線l必有兩條. 當(dāng)k存在時(shí),x1≠x2, 則有=2, 又y1+y2=2y0,所以y0k=2. 由CM⊥AB,得k=-1, 即y0k=5-x0, 因此2=5-x0,x0=3, 即M必在直線x=3上. 將x=3代入y2=4x, 得y2=12,則有-2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 浙江專用2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 拋物線講義含解析 浙江 專用 2020 高考 數(shù)學(xué) 新增 一輪 復(fù)習(xí) 第九 平面 解析幾何 拋物線 講義 解析
鏈接地址:http://zhongcaozhi.com.cn/p-6371255.html