（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 考點(diǎn)規(guī)范練48 拋物線.docx
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考點(diǎn)規(guī)范練48 拋物線 基礎(chǔ)鞏固組 1.拋物線y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( ) A.-1716 B.-1516 C.1716 D.1516 答案B 解析拋物線方程可化為x2=-y4,其準(zhǔn)線方程為y=116. 設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知116-y0=1?y0=-1516. 2.如果點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是( ) A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2 C.y=-36x2 D.y=112x2或y=-136x2 答案D 解析分兩類a>0,a<0,可得所求方程為y=112x2或y=-136x2. 3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2x1x2的值一定等于( ) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 答案A 解析①若焦點(diǎn)弦AB⊥x軸,則x1=x2=p2,則x1x2=p24,y1y2=-p2,則y1y2x1x2=-4; ②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸,可設(shè)AB:y=kx-p2, 聯(lián)立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0, 則x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2, ∴y12y22=4p2x1x2=p4,又∵y1y2<0,∴y1y2=-p2. 故y1y2x1x2=-4. 4.(2018浙江嘉興地區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C:x2=2py(p>0),若直線y=2x被拋物線C所截弦長(zhǎng)為45,則拋物線C的方程為( ) A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y 答案C 解析由x2=2py,y=2x,得x=0,y=0或x=4p,y=8p, 即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p), 則4p2+8p2=45,得p=1(舍去負(fù)值). 故拋物線C的方程為x2=2y. 5.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上,且|AK|=2|AF|,則△AFK的面積為( ) A.4 B.8 C.16 D.32 答案B 解析∵拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線為x=-2,∴K(-2,0). 設(shè)A(x0,y0),過(guò)點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線AB垂足為B,則B(-2,y0). ∵|AK|=2|AF|, 又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, ∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2, 得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2, 解得A(2,4). 故△AFK的面積為12|KF||y0|=1244=8. 6.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y2-x2=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p= . 答案23 解析y2=2px的準(zhǔn)線為x=-p2.由于△ABF為等邊三角形. 因此不妨設(shè)A-p2,p3,B-p2,-p3.又點(diǎn)A,B在雙曲線y2-x2=1上,從而p23-p24=1,所以p=23. 7.已知F1,F2分別是雙曲線3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦點(diǎn),P是拋物線y2=8ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=12,則拋物線的準(zhǔn)線方程為 . 答案x=-2 解析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2a2-y23a2=1,拋物線的準(zhǔn)線為x=-2a,聯(lián)立x2a2-y23a2=1,y2=8ax?x=3a,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a?|PF2|=6-a, ∴|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1, ∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2. 8.若拋物線y=2x2上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且x1x2=-12,則實(shí)數(shù)m的值是 . 答案32 解析由于A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,故可設(shè)直線AB方程為y=-x+n,代入拋物線方程y=2x2得2x2+x-n=0,由x1x2=-12得n=1,設(shè)A,B中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=x1+x22=-14,y0=-x0+1=54,點(diǎn)(x0,y0)在直線y=x+m上,代入得m=32. 能力提升組 9.(2018浙江臺(tái)州二模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上一點(diǎn),若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍,且△OAF的面積為1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則p的值為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析不妨設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)在第一象限, 由題意可知x0+p2=2x0,S△OAF=12p2y0=1,即x0=p2,y0=4p, ∴Ap2,4p. 又∵點(diǎn)A在拋物線y2=2px上,∴16p2=2pp2,即p4=16. 又∵p>0,∴p=2.故選B. 10.過(guò)點(diǎn)(0,-2)的直線交拋物線y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且y12-y22=1,則△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為( ) A.12 B.14 C.18 D.116 答案D 解析由題意得,y12=16x1,y22=16x2, ∴y12-y22=16(x1-x2)?y1-y2x1-x2=16y1+y2, ∴AB:y=16y1+y2x-2,令y=0,∴x=y1+y28, ∴S=12y1+y28|y1-y2|=116|y12-y22|=116,故選D. 11.(2018浙江嘉興一模)過(guò)拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),若拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為1,則|AF|等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案A 解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1),因?yàn)閥=12x2,所以y=x. 所以y|x=x1=x1=1,則B1,12. 因?yàn)镕0,12,所以直線l的方程為y=12. 故|AF|=|BF|=1. 12.(2018浙江嘉興調(diào)研)已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若OAOB=-12,則拋物線C的方程為( ) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 答案C 解析由題意,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),直線方程為x=my+p2,聯(lián)立y2=2px,x=my+p2, 消去x得y2-2pmy-p2=0,顯然方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=-p2, 得OAOB=x1x2+y1y2=my1+p2my2+p2+y1y2=m2y1y2+pm2(y1+y2)+p24+y1y2=-34p2=-12,解得p=4(舍負(fù)).故拋物線C的方程為y2=8x. 13.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,若A,B是該拋物線上的點(diǎn),∠AFB=90,線段AB中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N,則|MN||AB|的最大值為( ) A.2 B.1 C.22 D.12 答案C 解析設(shè)|AF|=a,|BF|=b,點(diǎn)A,B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q,P,連接AQ,BQ,如圖. 由拋物線定義,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|. 在梯形ABPQ中,根據(jù)中位線定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab, ∵ab≤a+b22, ∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2a+b22=12(a+b)2. 得到|AB|≥22(a+b). 所以|MN||AB|≤12(a+b)22(a+b)=22,即|MN||AB|的最大值為22.故選C. 14.已知點(diǎn)F為拋物線x2=4y的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),A在拋物線上,且|AF|=2,則|OA|= ;|MA|+|MO|的最小值是 . 答案5 13 解析易知F(0,1).設(shè)A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,則y=1,代入x2=4y得x=2,所以A(2,1),則|OA|=5. 設(shè)B(0,-2),因點(diǎn)M在拋物線準(zhǔn)線上,則|MO|=|MB|,從而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因?yàn)锳,B為定點(diǎn),所以|MA|+|MB|的最小值即為|AB|=13,故|MA|+|MO|的最小值是13. 15.已知P為拋物線C:y2=4x上的一點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N,直線NP與拋物線交于另一點(diǎn)Q,且|PF|=3|QF|,則點(diǎn)P坐標(biāo)為 . 答案(3,23) 解析∵y2=4x,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程x=-1. 過(guò)P,Q分別作準(zhǔn)線的射影分別為A,B, 則由拋物線的定義可知:|PA|=|PF|,|QF|=|BQ|. ∵|PF|=3|QF|,∴|AP|=3|QB|,即|AN|=3|BN|, ∴P,Q的縱坐標(biāo)滿足yP=3yQ, 設(shè)Py24,y,y≠0,則Qy236,y3. ∵N,Q,P三點(diǎn)共線,∴yy24+1=y3y236+1, 解得y2=12,∴y=23,此時(shí)x=y24=124=3, 即點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,23). 16.已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求拋物線準(zhǔn)線方程; (2)若△AOB的面積為4,求直線l的方程. 解(1)由拋物線x2=4y的方程可得焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)直線l的方程為y=kx+1. 聯(lián)立拋物線方程,化為x2-4kx-4=0. ∴x1+x2=4k,x1x2=-4. ∴|AB|=1+k216k2+16=4(1+k2). 點(diǎn)O到直線l的距離d=11+k2. ∴S△OAB=12|AB|d=124(1+k2)11+k2=4, 解得k2=3,∴k=3.∴直線l的方程為y=3x+1. 17.(2018浙江衢州模擬)已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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