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專題02 函數(shù)的圖象與性質
【2019年高考考綱解讀】
(1)函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質是B級要求，是重要題型 ；
(2)指數(shù)與對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質都是考查熱點，要求都是B級；
(3)冪函數(shù)是A級要求，不是熱點題型 ，但要了解冪函數(shù)的概念以及簡單冪函數(shù)的性質。
【重點、難點剖析】
1．函數(shù)及其圖象
(1)定義域、值域和對應關系是確定函數(shù)的三要素，是一個整體，研究函數(shù)問題時務必須“定義域優(yōu)先”．
(2)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換．
2．函數(shù)的性質
(1)單調性：單調性是函數(shù)在其定義域上的局部性質．證明函數(shù)的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論．復合函數(shù)的單調性遵循“同增異減”的原則；
(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調性；奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調性；
(3)周期性：周期性也是函數(shù)在定義域上的整體性質．若函數(shù)滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其周期T＝ka(k∈Z)的絕對值．
3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法
(1)單調性法：適合于已知或能判斷單調性的函數(shù)；
(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)；
(3)基本不等式法：特別適合于分式結構或兩元的函數(shù)；
(4)導數(shù)法：適合于可求導數(shù)的函數(shù)．
4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質
(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象和性質，分0
1兩種情況，著重關注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質；
(2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質，分冪指數(shù)α>0和α<0兩種情況．
5．函數(shù)圖象的應用
函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關系的主要表現(xiàn)形式，它們的實質是相同的，在解題時經常要互相轉化．在解決函數(shù)問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的取值范圍等)問題時，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用.
【題型示例】
題型一、函數(shù)的性質及其應用
【例1】 (2018全國Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
由f(x)為奇函數(shù)且定義域為R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝012＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故選C.
【2017北京，理5】已知函數(shù)，則
（A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
（C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
【答案】A
【解析】，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù)，故選A.
【舉一反三】【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，，則= .
【答案】-2
【舉一反三】(1)(2015重慶卷)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是( )
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(2)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值為( )
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
(1)答案：D
解析：要使函數(shù)有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數(shù)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
(2)答案：D
解析：f(1)＝lg 1＝0，所以f(a)＝0.當a>0時，則lg a＝0，a＝1；當a≤0時，則a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.
【變式探究】 (1)(2014江西)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
(2)(2014浙江)設函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的定義域求法以及不等式的解法．通過定義域的求法考查考生的運算求解能力及轉化意識．
(2)本題主要考查分段函數(shù)和不等式恒成立問題，可結合函數(shù)圖象進行分析求解．
【答案】(1)C (2)(－∞，]
【解析】(1)將求函數(shù)的定義域問題轉化為解不等式問題．
要使f(x)＝ln(x2－x)有意義，只需x2－x＞0，
解得x＞1或x＜0.
∴函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為(－∞，0)∪(1，＋∞)．
(2)結合圖形，由f(f(a))≤2可得f(a)≥－2，解得a≤.
【方法技巧】
1．已知函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域的主要依據(jù)有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數(shù)大于或等于零；(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的真數(shù)x＞0；(4)零次冪的底數(shù)不為零；(5)正切函數(shù)y＝tan x中，x≠kπ＋(k∈Z)．如果f(x)是由幾部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合．
根據(jù)函數(shù)求定義域時：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．
2．函數(shù)的值域是由函數(shù)的對應關系和函數(shù)的定義域所唯一確定的，具有相同對應關系的函數(shù)如果定義域不同，函數(shù)的值域也可能不相同．函數(shù)的值域是在函數(shù)的定義域上求出的，求解函數(shù)的值域時一定要與函數(shù)的定義域聯(lián)系起來，從函數(shù)的對應關系和定義域的整體上處理函數(shù)的值域．
題型二、函數(shù)的圖象及其應用
【例2】(2018全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為( )
答案 B
【方法技巧】
(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面入手，結合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是判斷函數(shù)圖象問題的基本方法．
(2)判斷復雜函數(shù)的圖象，常借助導數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進行求導，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、極值或最值，從而對選項進行篩選．要注意函數(shù)求導之后，導函數(shù)發(fā)生了變化，故導函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內研究函數(shù)的極值和最值．
【2016高考新課標1卷】函數(shù)在的圖像大致為
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
【解析】函數(shù)f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖像關于軸對稱，因為，所以排除A、B 選項；當時，有一零點，設為，當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)．故選D。
【感悟提升】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面入手，結合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷類試題的基本方法．(2)研究函數(shù)時，注意結合圖象，在解方程和不等式等問題時，借助圖象能起到十分快捷的作用．
【舉一反三】(1)(2015四川卷)函數(shù)y＝的圖象大致是( )
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是( )
A.{3,4} B．{2,3,4}
C．{3,4,5} D．{2,3}
(1)答案：C
解析：由已知3x－1≠0?x≠0，排除A；
又∵x<0時，3x－1<0，x3<0，∴y＝>0，故排除B；
又y′＝，當3－xln 3<0時，x>>0，y′<0，所以D不符合．故選C.
(2)答案：B
解析：＝表示(x1，f(x1))與原點連線的斜率；
＝＝…＝表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))與原點連線的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲線圖象上，故只需考慮經過原點的直線與曲線的交點個數(shù)有幾種情況．
如圖所示，數(shù)形結合可得，有2,3,4三種情況，故選B.
【變式探究】 (1)若函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x－k)的圖象是( )
(2)(2014山東)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調性的概念以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象．
(2)本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點，意在考查考生的數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想及運算求解能力．
【答案】(1)C (2)B
【解析】(1)由已知f(－x)＝－f(x)，則有(k－1)a－x－ax＝a－x－(k－1)ax，所以k＝2，則f(x)＝ax－a－x，又函數(shù)f(x)是減函數(shù)，則0b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 c＝＝log23>log2e＝a，即c>a.
又b＝ln 2＝<1b.所以c>a>b.
故選D.
【變式探究】 (2017全國Ⅰ)設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
答案 D
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1.
則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故選D.
【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內容之一，重點考查圖象、性質及其應用，同時考查分類討論、等價轉化等數(shù)學思想方法及運算能力．
(2)比較代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調性．
【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝滿足對任意x1≠x2，都有<0成立，則a的取值范圍是( )
A. B．(1,2]
C．(1,3) D.
答案 A
解析 由<0，得f(x)是減函數(shù)，
即得a∈，故選A.
【變式探究】對任意實數(shù)a，b定義運算“Δ”：aΔb＝設f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝x2－6x在區(qū)間(m，m＋1)上均為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．[－1,2] B．(0,3]
C．[0,2] D．[1,3]
答案 C
題型四、函數(shù)性質的綜合應用
例4、(2018全國Ⅲ改編)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為________．(填序號)
答案?、?
解析 方法一 f′(x)＝－4x3＋2x，則f′(x)>0的解集為∪，此時f(x)單調遞增；f′(x)<0的解集為∪，此時f(x)單調遞減．
方法二 當x＝1時，y＝2，所以排除①②.當x＝0時，y＝2，而當x＝時，y＝－＋＋2＝2>2，
所以排除③.
【變式探究】【2017山東，理10】已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】當時， ， 單調遞減，且，單調遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當時， ，在 上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B.
【變式探究】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關系為
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，，
從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
，
，又，則，所以即，
，
所以，故選C．
【舉一反三】【2016年高考北京理數(shù)】設函數(shù).
①若，則的最大值為______________；
②若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】，.
【解析】如圖，作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點是，由，知是函數(shù)的極小值點，
①當時，，由圖象可知的最大值是；
②由圖象知當時，有最大值；只有當時，，無最大值，所以所求的取值范圍是．
【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內容之一，重點考查圖象、性質及其應用，同時考查分類討論、等價轉化等數(shù)學思想方法及其運算能力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調性．
【舉一反三】(2015全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
答案：1
解析：∵ f(x)為偶函數(shù)，∴ f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴ －xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，
∴ xln a＝0恒成立，∴ ln a＝0，即a＝1.
【變式探究】(1)(2014湖南)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2014湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性和求函數(shù)的值，意在考查考生的轉化思想和方程思想．求解此題的關鍵是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
(2)本題主要考查奇函數(shù)的性質、分段函數(shù)以及函數(shù)的最值與恒成立問題，意在考查考生應用數(shù)形結合思想，綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．
由圖象可得，當x≤2a2時，f(x)max＝a2，當x>2a2時，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又?x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1?a∈，故選B.
【方法技巧】
函數(shù)性質的綜合應用主要是指利用函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性等性質來相互轉化解決相對綜合的問題．主要的解析：奇偶性主要轉化方向是f(－x)與f(x)的關系，圖象對稱問題；單調性主要轉化方向是最值、方程與不等式的解；周期性主要轉化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把區(qū)間外的函數(shù)轉化到區(qū)間內，并結合單調性、奇偶性解決相關問題．
2019年高考數(shù)學 考綱解讀與熱點難點突破 專題02 函數(shù)的圖象與性質教學案 理.doc
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