2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（第1課時）拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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第1課時　拋物線的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題． 知識點(diǎn)一　拋物線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 對稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) (0,0) 離心率 e＝1 知識點(diǎn)二　焦點(diǎn)弦 設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p>0) |AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2) 1．橢圓、雙曲線和拋物線都是中心對稱圖形．(　　) 2．拋物線和雙曲線一樣，開口大小都與離心率有關(guān)．(　　) 3．拋物線只有一條對稱軸和一個頂點(diǎn)．(　√　) 4．拋物線的開口大小與焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離有關(guān)．(　√　) 題型一　由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解　由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)， 焦點(diǎn)F.直線l：x＝， 所以A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為，， 所以|AB|＝2|m|. 因?yàn)椤鱋AB的面積為4， 所以2|m|＝4， 所以m＝2. 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x. 引申探究　 等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 答案　B 解析　因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組 得或 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2p,2p)，同理可得B(2p，－2p)， 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝4p2p＝4p2. 反思感悟　把握三個要點(diǎn)確定拋物線的幾何性質(zhì) (1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)． (2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸． (3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1. 跟蹤訓(xùn)練1　已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸重合于橢圓＋＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程． 解　∵橢圓＋＝1的短軸所在直線為x軸， ∴拋物線的對稱軸為x軸． 設(shè)拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)， 設(shè)＝5，∴a＝20. ∴拋物線的方程為y2＝20x或y2＝－20x. 題型二　拋物線的焦點(diǎn)弦問題 例2　已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)． (1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離． 解　(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60， 所以其斜率k＝tan 60＝. 又F，所以直線l的方程為y＝. 聯(lián)立消去y，得x2－5x＋＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5. 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3， 所以x1＋x2＝6，所以線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3. 又準(zhǔn)線方程是x＝－， 所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋＝. 引申探究 本例中，若A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，求∠A1FB1. 解　由拋物線定義|AA1|＝|AF|，得∠AA1F＝∠AFA1， 又AA1∥x軸， ∴∠OFA1＝∠AA1F， ∴∠OFA1＝∠AFA1， 同理得∠OFB1＝∠BFB1， ∴∠A1FO＋∠B1FO＝90，即∠A1FB1＝90. 反思感悟　(1)拋物線的焦半徑 定義 拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段 焦半徑公式 P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)． ①若拋物線y2＝2px(p>0)，則|PF|＝x0＋； ②若拋物線y2＝－2px(p>0)，則|PF|＝－x0； ③若拋物線x2＝2py(p>0)，則|PF|＝y(tǒng)0＋； ④若拋物線x2＝－2py(p>0)，則|PF|＝－y0 (2)過焦點(diǎn)的弦長的求解方法 設(shè)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2即可． 跟蹤訓(xùn)練2　直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為________________． 答案　x＋y－1＝0或x－y－1＝0 解析　因?yàn)閽佄锞€y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 若l與x軸垂直，則|AB|＝4，不符合題意． 所以可設(shè)所求直線l的方程為y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝. 又AB過焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，即＝6，解得k＝1. 所以所求直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－1＝0. 1．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 答案　C 解析　設(shè)拋物線y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4. 2．若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選B. 3．已知過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|的值為________． 答案　10 解析　由y2＝8x，得p＝4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由焦點(diǎn)弦公式得|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋4 ＝23＋4＝10. 4．對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上； ②焦點(diǎn)在x軸上； ③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6； ④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)． 符合拋物線方程為y2＝10x的條件是________．(要求填寫合適條件的序號) 答案　②⑤ 解析　由拋物線方程y2＝10x，知它的焦點(diǎn)在x軸上， 所以②符合． 又因?yàn)樗慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為F，原點(diǎn)O(0,0)， 設(shè)點(diǎn)P(2,1)，可得kPOkPF＝－1，所以⑤也符合． 而①顯然不符合，通過計(jì)算可知③，④不合題意． 所以應(yīng)填②⑤. 5．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4； (2)頂點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸． 解　(1)由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形易知：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故＝4，p＝8. 因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝16y. (2)雙曲線方程16x2－9y2＝144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為－＝1，中心為原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為(－3,0)，故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x＝－3.由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x. 1．討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程． 2．解決拋物線的焦點(diǎn)弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點(diǎn)弦長度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解． 3．設(shè)直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論． 一、選擇題 1．拋物線y＝ax2(a<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別為(　　) A.，x＝－ B.，x＝ C.，y＝－ D.，y＝ 答案　C 解析　y＝ax2可化為x2＝y(tǒng)， ∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y＝－. 2．已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　) A．18B．24C．36D．48 答案　C 解析　由題意知|AB|＝2p，則S△ABP＝2pp＝p2， 又∵2p＝12，∴p＝6，S△ABP＝62＝36. 3．拋物線C1：y2＝2x的焦點(diǎn)為F1，拋物線C2：x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F2，則過F1且與直線F1F2垂直的直線l的方程為(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．4x－y－2＝0 D．4x－3y－2＝0 答案　C 解析　由題意知，F(xiàn)1，F(xiàn)2. 所以直線F1F2的斜率為－， 則直線l的斜率為4. 故直線l的方程為y＝4， 即4x－y－2＝0. 4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|＝10，則拋物線方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝8x D．y2＝6x 答案　C 解析　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝3，即x1＋x2＝6. 又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10， 即p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x. 5．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，點(diǎn)A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|等于(　　) A．4B．8C．8D．16 答案　B 解析　拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2，焦點(diǎn)F(2,0)， 設(shè)A(－2，y0)，kAF＝＝－，則y0＝4， ∴P(x0,4)，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程y2＝8x， (4)2＝8x0，得x0＝6. 由拋物線定義可知|PF|＝|PA|＝x0＋＝6＋＝8. 6．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于(　　) A. B．6 C．12 D．7 答案　C 解析　設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1，)(x2，y2)．∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，∴F， ∴AB的方程為y－0＝tan30， 即y＝x－. 聯(lián)立 消去y，得x2－x＋＝0. ∴x1＋x2＝－＝， 由于|AB|＝x1＋x2＋p， ∴|AB|＝＋＝12. 7．直線y＝x＋b交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，O為拋物線頂點(diǎn)，OA⊥OB，則b的值為(　　) A．－1B．0C．1D．2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將y＝x＋b代入y＝x2， 化簡可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2. 又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即－2b＋b2＝0，則b＝2或b＝0， 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)b＝0時，不符合題意，故b＝2. 二、填空題 8．設(shè)拋物線y2＝16x上一點(diǎn)P到對稱軸的距離為12，則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的距離|PF|＝________. 答案　13 解析　設(shè)P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9， ∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13. 9．拋物線y＝x2的焦點(diǎn)與雙曲線－＝1的上焦點(diǎn)重合，則m＝________. 答案　13 解析　拋物線y＝x2可化為x2＝16y， 則其焦點(diǎn)為(0,4)，∴3＋m＝16，則m＝13. 10．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|＝3，則|BF|＝________. 答案　 解析　由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直， 則由|AF|＝3，知xA＝2. 設(shè)lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以xAxB＝1，故xB＝， 故|BF|＝xB＋1＝. 11．一個正三角形的頂點(diǎn)都在拋物線y2＝4x上，其中一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個三角形的面積是________． 答案　48 解析　設(shè)一個頂點(diǎn)為(x,2)，則tan30＝＝， ∴x＝12. ∴S＝128＝48. 三、解答題 12．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解　設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由題知M. ∵|AF|＝3，∴y0＋＝3. ∵|AM|＝，∴x＋2＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0得 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y. 13．已知拋物線y2＝2x. (1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|； (2)在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值． 解　(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)(x≥0)， 則|PA|2＝2＋y2＝2＋2x ＝2＋. ∵x≥0，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增， 故當(dāng)x＝0時，|PA|min＝， 故距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)． (2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y2＝2x上任一點(diǎn)， 則P到直線x－y＋3＝0的距離為 d＝＝ ＝， 當(dāng)y0＝1時，dmin＝＝， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 14．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　M到準(zhǔn)線的距離大于p，即y0＋2＞4，∴y0＞2. 15．設(shè)F(1,0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且＝2，＝0. (1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時，求點(diǎn)N的軌跡C的方程； (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn)，且||，||，||成等差數(shù)列，當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)． 解　(1)設(shè)N(x，y)，由＝2，得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)， ∴P，M(－x,0)， ∴＝，＝. 由＝－x＋＝0，得y2＝4x. 即點(diǎn)N的軌跡方程為y2＝4x. (2)由拋物線的定義，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1， ∵||，||，||成等差數(shù)列， ∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝. ∵線段AD的中點(diǎn)為，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)， ∴線段AD的垂直平分線的斜率為k＝. 又kAD＝，∴＝－1， 即＝－1. ∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1. ∵點(diǎn)B在拋物線上，∴B(1,2)或B(1，－2)．