DSP第五章數字濾波器基本結構.ppt

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第五章數字濾波器結構DF DigitalFilter 第一節(jié)引言 一 什么是數字濾波器 顧名思義 其作用是對輸入信號起到濾波的作用 即DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時間系統(tǒng) 它的功能 把輸入序列通過一定的運算變換成輸出序列 不同的運算處理方法決定了濾波器的實現結構的不同 二 數字濾波器的工作原理 h n x n y n 則LTI系統(tǒng)的輸出為 三 數字濾波器表示方法 有兩種表示方法 方框圖表示法 流圖表示法 數字濾波器中 信號只有延時 乘以常數和相加三種運算 所以DF結構中有三個基本運算單元 加法器 單位延時 乘常數的乘法器 1 方框圖 流圖表示法 Z 1 單位延時系數乘相加 Z 1 a 方框圖表示法 信號流圖表示法 a 把上述三個基本單元互聯 可構成不同數字網絡或運算結構 也有方框圖表示法和流圖表示法 2 例子 例 二階數字濾波器 其方框圖及流圖結構如下 Z 1 Z 1 x n y n b0 a1 a2 x n y n b0 a1 a2 Z 1 Z 1 看出 可通過流圖或方框圖看出系統(tǒng)的運算步驟和運算結構 以后我們用流圖來分析數字濾波器結構 DF網絡結構或DF運算結構二個術語有微小的差別 但大抵一樣 可以混用 四 數字濾波器的分類 濾波器的種類很多 分類方法也不同 1 從功能上分 低 帶 高 帶阻 2 從實現方法上分 FIR IIR3 從設計方法上來分 Chebyshev 切比雪夫 Butterworth 巴特沃斯 4 從處理信號分 經典濾波器 現代濾波器等等 1 經典濾波器 假定輸入信號x n 中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶 當x n 經過一個線性系統(tǒng) 即濾波器 后即可將欲去除的成分有效地去除 但如果信號和噪聲的頻譜相互重疊 那么經典濾波器將無能為力 X ejw w wc 有用 無用 wc H ejw Y ejw w wc 2 現代濾波器 它主要研究內容是從含有噪聲的數據記錄 又稱時間序列 中估計出信號的某些特征或信號本身 一旦信號被估計出 那么估計出的信號將比原信號會有高的信噪比 現代濾波器把信號和噪聲都視為隨機信號 利用它們的統(tǒng)計特征 如自相關函數 功率譜等 導出一套最佳估值算法 然后用硬件或軟件予以實現 現代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作 這一類濾波器的代表為 維納濾波器 此外 還有卡爾曼濾波器 線性預測器 自適應濾波器 本課程主要講經典濾波器 外帶一點自適應濾波器 3 模擬濾波器和數字濾波器 經典濾波器從功能上分又可分為 低通濾波器 LPAF LPDF Lowpassanalogfilter帶通濾波器 BPAF BPDF Bandpassanalogfilter高通濾波器 HPAF HPDF Highpassanalogfilter帶阻濾波器 BSAF BSDF Bandstopanalogfilter即它們每一種又可分為 數字 Digital 和模擬 Analog 濾波器 4 模擬濾波器的理想幅頻特性 LPAFHPAFBPAFBSAF 5 數字濾波器的理想幅頻特性 LPDFHPDFBPDFBSDF 五 研究DF實現結構意義 1 濾波器的基本特性 如有限長沖激響應FIR與無限長沖激響應IIR 決定了結構上有不同的特點 2 不同結構所需的存儲單元及乘法次數不同 前者影響復雜性 后者影響運算速度 3 有限精度 有限字長 實現情況下 不同運算結構的誤差及穩(wěn)定性不同 4 好的濾波器結構應該易于控制濾波器性能 適合于模塊化實現 便于時分復用 六 本章介紹主要的內容 1 介紹IIR濾波器實現的基本結構 2 介紹FIR濾波器實現的基本結構 3 介紹一種特殊的濾波器結構實現形式 格型濾波器結構 第二節(jié)IIRDF的基本結構 一 IIRDF特點 1 單位沖激響應h n 是無限長的n 2 系統(tǒng)函數H z 在有限長Z平面 0 Z 有極點存在 3 結構上存在輸出到輸入的反饋 也即結構上是遞歸型的 4 因果穩(wěn)定的IIR濾波器其全部極點一定在單位園內 二 IIRDF基本結構 IIRDF類型有 直接型 級聯型 并聯型 直接型結構 直接I型 直接II型 正準型 典范型 1 IIRDF系統(tǒng)函數及差分方程 一個N階IIRDF有理的系統(tǒng)函數可能表示為 以下我們討論M N情況 則這一系統(tǒng)差分方程為 2 直接I型 1 直接I型流圖 IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計算公式 用流圖表現出來的實現結構即為直接I型結構 即由差分方程直接實現 x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 方程看出 y n 由兩部分組成 第一部分是一個對輸入x n 的M節(jié)延時鏈結構 即每個延時抽頭后加權相加 即是一個橫向網絡 第二部分是一個N節(jié)延時鏈結構網絡 不過它是對y n 延時 因而是個反饋網絡 2 結構的特點 此結構的特點為 1 兩個網絡級聯 第一個橫向結構M節(jié)延時網絡實現零點 第二個有反饋的N節(jié)延時網絡實現極點 2 共需 N M 級延時單元 3 系數ai bi不是直接決定單個零極點 因而不能很好地進行濾波器性能控制 4 極點對系數的變化過于靈敏 從而使系統(tǒng)頻率響應對系統(tǒng)變化過于靈敏 也就是對有限精度 有限字長 運算過于靈敏 容易出現不穩(wěn)定或產生較大誤差 3 直接II型 正準型 典范型 1 直接II型原理 從上面直接型結構的兩部分看成兩個獨立的網絡 即兩個子系統(tǒng) 原理 一個線性時不變系統(tǒng) 若交換其級聯子系統(tǒng)的次序 系統(tǒng)函數不變 把此原理應用于直接I型結構 即 1 交換兩個級聯網絡的次序 2 合并兩個具有相同輸入的延時支路 得到另一種結構即直接II型 2 直接II型的結構流圖過程1 對調 x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 第一部分 第二部分 對調 x n y n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 Z 1 對調 3 直接II型的結構流圖過程2 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n y n 由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈 可以合并為一條即可 這就是直接II型的結構流圖 4 直接II型特點 直接II型結構特點 1 兩個網絡級聯 第一個有反饋的N節(jié)延時網絡實現極點 第二個橫向結構M節(jié)延時網絡實現零點 2 實現N階濾波器 一般N M 只需N級延時單元 所需延時單元最少 故稱典范型 3 同直接I型一樣 具有直接型實現的一般缺點 例子 已知IIRDF系統(tǒng)函數 畫出直接I型 直接II型的結構流圖 解 為了得到直接I II型結構 必須將H z 代為Z 1的有理式 x n 8 4 11 Z 1 Z 1 y n 5 4 3 4 Z 1 Z 1 Z 1 1 8 Z 1 2 5 4 Z 1 Z 1 Z 1 3 4 1 8 4 11 2 8 y n x n 注意反饋部分系數符號 作業(yè) P226第1題 4 級聯型結構 1 系統(tǒng)函數因式分解 一個N階系統(tǒng)函數可用它的零 極點來表示即系統(tǒng)函數的分子 分母進行因式分解 2 系統(tǒng)函數系數分析 3 基本二階節(jié)的級聯結構 4 濾波器的基本二階節(jié) 所以 濾波器就可以用若干個二階網絡級聯起來構成 這每一個二階網絡也稱濾波器的基本二階節(jié) 即濾波器的二階節(jié) 一個基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數的形式為 一般用直接II型 正準型 典范型表示 x n 1i a2i Z 1 Z 1 a1i 2i y n 5 用二階節(jié)級聯表示的濾波器系統(tǒng) 整個濾波器則是多個二階節(jié)級聯 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 例子 設IIR數字濾波器系統(tǒng)函數為 1 Z 1 1 1 1 Z 1 Z 1 1 1 y n x n 6 級聯結構的特點 從級聯結構中看出 它的每一個基本節(jié)只關系到濾波器的某一對極點和一對零點 調整 1i 2i 只單獨調整濾波器第I對零點 而不影響其它零點 同樣 調整a1i a2i 只單獨調整濾波器第I對極點 而不影響其它極點 級聯結構特點 a 每個二階節(jié)系數單獨控制一對零點或一對極點 有利于控制頻率響應 b 分子分母中二階因子配合成基本二階節(jié)的方式 以及各二階節(jié)的排列次序不同 作業(yè) P226第2題 5 并聯型 1 系統(tǒng)函數的部分分式展開 將系統(tǒng)函數展成部分分式的形式 用并聯的方式實現DF 相加 在電路中實現用并聯 如果遇到某一系數為復數 那么一定有另一個為共軛復數 將它們合并為二階實數的部分分式 2 基本二階節(jié)的并聯結構 AN1 Z 1 a1 x n aN1 a11 Z 1 Z 1 A1 11 y n A0 01 a21 a1N2 a2N2 0N2 1N2 其實現結構為 3 并聯型基本二階節(jié)結構 并聯型的基本二階節(jié)的形式 其中 要求分子比分母小一階 x n 0 a2 Z 1 Z 1 a1 1 y n 4 并聯型特點 1 可以單獨調整極點位置 但不能象級聯那樣直接控制零點 因為只為各二階節(jié)網絡的零點 并非整個系統(tǒng)函數的零點 2 其誤差最小 因為并聯型各基本節(jié)的誤差互不影響 所以比級聯誤差還少 若某一支路a1誤差為1 但總系統(tǒng)的誤差仍可達到少1 因為分成a1 a2 支路 注意 1 為什么二階節(jié)是最基本的 因為二階節(jié)是實系數 而一階節(jié)一般為復系數 2 統(tǒng)一用二階節(jié)表示 保持結構上的一致性 有利于時分多路復用 3 級聯結構與并聯結構的基本二階節(jié)是不同的 5 例子 其并聯結構為 x n Z 1 Z 1 1 4 y n 1 6 1 6 1 Z 1 作業(yè) P226頁 第3題 第三節(jié)FIRDF的結構 有限長沖激響應濾波器 一 FIRDF的特點 1 系統(tǒng)的單位沖激響應h n 在有限個n值處不為零 即h n 是個有限長序列 2 系統(tǒng)函數 H z 在 z 0處收斂 極點全部在z 0處 即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng) 3 結構上主要是非遞歸結構 沒有輸出到輸入反饋 但有些結構中 例如頻率抽樣結構 也包含有反饋的遞歸部分 二 FIR的系統(tǒng)函數及差分方程 長度為N的單位沖激響應h n 的系統(tǒng)函數為 三 FIR濾波器實現基本結構 1 FIR的橫截型結構 直接型 2 FIR的級聯型結構3 FIR的頻率抽樣型結構4 FIR的快速卷積型結構5 FIR的線性型結構 1 FIR直接型結構 卷積型 橫截型 1 流圖 h 0 h 1 h 2 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 h 0 h 1 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n x n 2 框圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n h 0 h 1 h 2 h N 1 y n 2 級聯型結構 1 流圖 當需要控制濾波器的傳輸零點時 可將H z 系統(tǒng)函數分解成二階實系數因子的形成 即可以由多個二階節(jié)級聯實現 每個二階節(jié)用橫截型結構實現 x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 2 級聯型結構特點 由于這種結構所需的系數比直接型多 所需乘法運算也比直接型多 很少用 由于這種結構的每一節(jié)控制一對零點 因而只能在需要控制傳輸零點時用 作業(yè) P226頁第4 5題 3 頻率抽樣型結構 1 頻率抽樣型結構的導入 若FIRDF的沖激響應為有限長 N點 序列h n 則有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽樣 單位園上頻響 Z變換 內插 所以 對h n 可以利用DFT得到H k 再利用內插公式 來表示系統(tǒng)函數 2 頻率抽樣型濾波器結構 由 得到FIR濾波器提供另一種結構 頻率抽樣型結構 它是由兩部分級聯而成 其中 級聯中的第一部分為梳狀濾波器 第二部分由N個諧振器組成的諧振柜 3 梳狀濾波器 a 零 極點特性 它是一個由N節(jié)延時單元所組成的梳狀濾波器 它在單位園上有N個等分的零點 無極點 由 看出 b 幅頻特性及流圖 頻率響應為 w H ejw 0 幅頻曲線 1 x n y n Z N 梳狀濾波器信號流圖 4 諧振器 諧振器 是一個階網絡 Z 1 H k Hk z 諧振器的零極點 此為一階網絡 有一極點 5 諧振柜 諧振柜 它是由N個諧振器并聯而成的 這個諧振柜的極點正好與梳狀濾波器的一個零點 i k 相抵消 從而使這個頻率 w 2 k N 上的頻率響應等于H k 將兩部分級聯起來 得到頻率抽樣結構 6 頻率抽樣型結構流圖 Z 1 H 0 Z 1 H 1 Z 1 H 2 Z 1 H N 1 Z N x n y n 7 頻率抽樣型結構特點 1 它的系數H k 直接就是濾波器在處的頻率響應 因此 控制濾波器的頻率響應是很直接的 2 結構有兩個主要缺點 a 所有的相乘系數及H k 都是復數 應將它們先化成二階的實數 這樣乘起來較復雜 增加乘法次數 存儲量 b 所有諧振器的極點都是在單位園上 由決定考慮到系數量化的影響 當系數量化時 極點會移動 有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消 零點由延時單元決定 不受量化的影響 系統(tǒng)就不穩(wěn)定了 8 修正的頻率抽樣結構 a 產生的原因 為了克服系數量化后可能不穩(wěn)定的缺點 將頻率抽樣結構做一點修正 即將所有零極點都移到單位園內某一靠近單位園 半徑為r r 1 的園上 同時梳狀濾波器的零點也移到r園上 即將頻率采樣由單位園移到修正半徑r的園上 b 修正的頻率抽樣結構的系統(tǒng)函數 為了使系數是實數 可將共軛根合并 這些共軛根在半徑為r的圓周上以實軸成對稱分布 c 修正的頻率抽樣結構的系統(tǒng)極點分布 0 0 z r N 8 N 7 d 修正頻率結構的復根部分 第k和第N k個諧振器合并為一個實系數的二階網絡 因為h n 是實數 它的DFT也是圓周共軛對稱的 因此 可以將第k和第N k個諧振器合并為一個二階網絡 e 有限Q的諧振器 第k和第N k個諧振器合并為一個二階網絡的極點在單位園內 而不是在單位園上 因而從頻率響應的幾何解釋可知 它相當于一個有限Q的諧振器 其諧振頻率為 f 修正頻率抽樣結構的諧振器的實根部分 除了共軛復根外 還有實根 當N 偶數時 有一對實根 它們分別為兩點 當N 奇數時 只有一個實根z r k 0 即只有H0 z r r g 修正頻率抽樣結構流圖 N 偶數 r r x n y n h 修正頻率抽樣結構流圖 N 奇數 r x n y n i 修正頻率抽樣結構的特點 1 結構有遞歸型部分諧振柜又有非遞歸部分 梳狀濾波器 2 它的零 極點數目只取決于單位抽樣響應的長度 因而單位沖激響應長度相同 利用同一梳狀濾波器 同一結構而只有加權系數 0k 1k H 0 H N 2 不同的諧振器 就能得到各種不同的濾波器 3 其結構可以高度模塊化 適用于時分復用 j 頻率抽樣結構的應用范圍 1 如果多數頻率特性的采樣值H k 為零 例 窄帶低通情況下 這時諧振器中剩下少數幾個所需要的諧振器 因而可以比直接型少用乘法器 但存儲器還是比直接型多用一些 2 可以共同使用多個并列的濾波器 例 信號頻譜分析中 要求同時將信號的各種頻率分量分別濾出來 這時可采用頻率采樣結構的濾波器 大家共用一個梳狀濾波器及諧振柜 只是將各諧振器的輸出適當加權組合就能組成各所需的濾波器 這樣結構具有很大的經濟性 3 常用于窄帶濾波 不適于寬帶濾波 作業(yè) P226頁 第6題 4 快速卷積結構 1 原理 設FIRDF的單位沖激響應h n 的非零值長度為M 輸入x n 的非零值長度為N 則輸出y n x n h n 且長度L N M 1若將x n 補零加長至L 補L N個零點 將h n 補零加長至L 補L M個零點 這樣進行L點圓周卷積 可代替x n h n 線卷積 其中 而由圓卷積可用DFT和IDFT來計算 即可得到FIR的快速卷積結構 2 快速卷積結構框圖 L點DFT L點DFT L點IDFT X k H k Y k x n h n 當N M中夠大時 比直接計算線性卷積快多了 5 線性相位FIR型結構 1 定義 所謂線性相位 是指濾波器產生的相移與輸入信號頻率成線性關系 2 線性相位FIRDF具有特性 h n 是因果的 為實數 且滿足對稱性 即滿足約束條件 h n h N 1 n 其中 h n 為偶對稱時 h n h N 1 n h n 為奇對稱時 h n h N 1 n 下面我們針對h n 奇 偶進行討論 3 h n 為偶 奇對稱 N 偶數時 a FIR的線性相位的特性 令n N 1 n代入 用n n 應用線性FIR特性 h n h N 1 n b 線性相位FIR的結構流圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n x n N 2 1 h 0 h 1 h 2 h 3 h N 2 1 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 4 h n 為奇 偶對稱 N 奇數時 a FIR的線性相位的特性 當N 奇數時 有一中間項h N 1 2 無法合并 需提出 b 線性相位FIR的結構流圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n h 0 h 1 h 2 h 3 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 h N 3 2 h N 1 2 共有 N 3 2項 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 5 總結 h n 為奇 偶對稱 N 奇數時FIR的線性相位的特性 同理 當h n 奇 偶對稱時 即h n h N 1 n 可求出 作業(yè) P226頁 第7題 第四節(jié)格型濾波器 引言 在數字信號處理中 格型 Lattice 網絡起著重要的作用 事實證明 1 由于它的模塊化結構便于實現高速并行處理 2 一個m階格型濾波器可以產生從1階到m階的m個橫向濾波器的輸出性能 3 它對有限字長的舍入誤差不靈敏 由于這些優(yōu)點 使得它在現代譜估計 語音處理 自適應濾波 線性預測和逆濾波等方面已得到廣泛應用 本節(jié)討論 1 全零點 FIR 格型濾波器2 全極點 IIR 格型濾波器3 零 極點 IIR 的格型濾波器 一 全零點 IIR 格型濾波器 一個M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數H z 可寫成如下形式 1 全零點格型濾波器網絡結構 2 導出格型結構的參量 從上看出 要分析這一格型結構 先討論如何由橫向結構的參量導出格型結構的參量 或由格型結構的參量如何導出橫向結構的參量 在FIR橫向結構中有M個 共需M次乘法 M次延遲 在FIR的格型結構中也有M個參數ki i 1 2 M ki稱為反射系數 共需2M次乘法 M次延遲 此格型結構的信號只有正饋通路 沒有反饋通路 所以是一個典型的FIR系統(tǒng) 3 格型網絡單元 由上結構可看出 它們是由M個格型網絡單元級聯而成 每個網絡單元有兩個輸入端和兩個輸出端 輸入信號x n 同時送到第一級網絡單元的兩個輸入端 而在輸出端僅取最后一級網絡單元上面的一個輸出端作為整個格型濾波器的輸出信號y n 4 推導出格型結構網絡系數 ki 的遞推公式 如上圖所示的基本格型單元的輸入 輸出關系如下式 且 式中 fm n gm n 分別為第m個基本單元的上 下端的輸出序列 fm 1 n gm 1 n 分別為該單元的上 下端的輸入序列 設Bm z Jm z 分別表示由輸入端x n 至第m個基本單元的上 下端的輸出端fm n gm n 對應的系統(tǒng)函數 即 對 1 2 式兩邊進行z變換得 對上式分別除以F0 z 和G0 z 再代入Bm z Jm z 式 其中F0 z G0 z 得 以上兩式給出了格型結構中由低階到高階 或由高階到低階 系統(tǒng)函數的遞推關系 反過來 由于上式中同時包含B z 和J z 實際中只給出Bm z 所以應找出Bm z 和Bm 1 z 之間的遞推關系 5 導出km與濾波器系數bm之間的遞推關系 6 實際中具體遞推步驟 實際工作中 一般先給出H z B z BM z 要畫出H z 的格型結構 需求出k1 k2 kM 7 例子 H z 格型結構流圖如圖所示 作業(yè) P226頁第10題 第12題 二 全極點 IIR 格型濾波器 IIR濾波器的格型結構受限于全極點系統(tǒng)函數 可以根據FIR格型結構開發(fā) 設一個全極點系統(tǒng)函數由下式給定 1 全極點格型網絡單元 全極點IIR系統(tǒng)格型結構的基本單元為 全零點FIR格型結構基本單元 全極點IIR格型結構基本單元 全極點 IIR 濾波器格型結構 例子 IIR格型結構 最后說明 一般的IIR濾波器既包含零點 又包含極點 它可用全極點格型作為基本構造模塊 用所謂的格型梯形結構實現 作業(yè) P226頁第11題 第13題 三 零 極點系統(tǒng) IIR系統(tǒng) 的格型結構 一個在有限z平面 0 z 既有極點又有零點的IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H z 可表示為 系統(tǒng)的格型結構流圖 看出 1 若k1 k2 kN 0 即所有乘k 或 k 處的聯線全斷開 則上圖將變成一個N階的FIR系統(tǒng)的橫向結構 2 若c1 c2 cN 0 即含c1 CN的聯線都斷開 C0 1那么上圖將變成全極點IIR格型濾波器結構 3 因此 圖上半部分對應于全極點系統(tǒng) 下半部分對應于全零點系統(tǒng)B z 且下半部分無任何反饋 故參數k1 k2 kN 仍可按全極點系統(tǒng)的方法求出 但上半部分對下半部分有影響 所以這里的Ci和全零點系統(tǒng)的bi不會相同 任務 想辦法求出各個ci i 0 1 N 推導 由上式 設 是由g0 n 至gm n 之間的系統(tǒng)函數 是由x n 至gm n 之間的系統(tǒng)函數又因為 則 整個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數 應是分別用加權后的相加 并聯 求解參數c1 c2 cN的方法 第一種方法 以N 2為例 則有 其中 令等式兩邊的同次冪的系數相等 可得 由上式 可求得c2 c1 c0 一般情況下 任意N時 有 第二種方法 則有 又定義 對一般項m來說 可有 由此得出 起始條件為 已給定 例子 已知 解 1 極點部分由全極點模型 按求全極點模型的方法求出 實際上是用求全零點型的方法求得 即 利用式子 可求得 由H z 可知 其格型流圖結構為 總結本章主要的內容 1 IIR濾波器實現的基本結構2 FIR濾波器實現的基本結構3 一種特殊的濾波器結構實現形式 格型濾波器結構 1 IIRDF基本結構 IIRDF類型有 直接型直接型結構 直接I型 直接II型 正準型 典范型 級聯型并聯型 直接I型直接I型流圖 IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計算公式 用流圖表現出來的實現結構即為直接I型結構 即由差分方程直接實現 x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 方程看出 y n 由兩部分組成 第一部分是一個對輸入x n 的M節(jié)延時鏈結構 即每個延時抽頭后加權相加 即是一個橫向網絡 第二部分是一個N節(jié)延時鏈結構網絡 不過它是對y n 延時 因而是個反饋網絡 直接II型的結構流圖 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n 由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈 可以合并為一條即可 這就是直接II型的結構流圖 級聯型 級聯型的基本二階節(jié) 所以 濾波器就可以用若干個二階網絡級聯起來構成 這每一個二階網絡也稱濾波器的基本二階節(jié) 即濾波器的二階節(jié) 一個基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數的形式為 一般用直接II型 正準型 典范型表示 x n 1i a2i Z 1 Z 1 a1i 2i y n 級聯型二階節(jié)表示的濾波器系統(tǒng) 整個濾波器則是多個二階節(jié)級聯 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 并聯型 將系統(tǒng)函數展成部分分式的形式 用并聯的方式實現DF 相加 在電路中實現用并聯 如果遇到某一系數為復數 那么一定有另一個為共軛復數 將它們合并為二階實數的部分分式 并聯型基本二階節(jié)結構 并聯型的基本二階節(jié)的形式 其中 要求分子比分母小一階 x n 0 a2 Z 1 Z 1 a1 1 y n 二 FIR濾波器 長度為N的單位沖激響應h n 的系統(tǒng)函數為 FIR濾波器實現基本結構 1 FIR的橫截型結構 直接型 2 FIR的級聯型結構 3 FIR的線性型結構 4 FIR的頻率抽樣型結構 5 FIR的軌跡卷積型結構 1 FIR直接型結構 卷積型 橫截型 h 0 h 1 h 2 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 h 0 h 1 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n x n 2 級聯型結構 當需要控制濾波器的傳輸零點時 可將H z 系統(tǒng)函數分解成二階實系數因子的形成 即可以由多個二階節(jié)級聯實現 每個二階節(jié)用橫截型結構實現 x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 3 線性相位FIR型結構 所謂線性相位 是指濾波器產生的相移與輸入信號頻率成線性關系 h n 為偶數 N 奇 偶數時FIR的線性相位的特性 同理 當h n 偶對稱時 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數時 h n 為奇數 N 奇 偶數時FIR的線性相位的特性 當h n 奇對稱時 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數時 4 快速卷積結構 設FIRDF的單位沖激響應h n 的非零值長度為M 輸入x n 的非零值長度為N 則輸出y n x n h n 且長度L N M 1若將x n 補零加長至L 補L N個零點 將h n 補零加長至L 補L M個零點 這樣進行L點圓周卷積 可代替x n h n 線卷積 其中 而由圓卷積可用DFT和IDFT來計算 即可得到FIR的快速卷積結構 2 快速卷積結構框圖 L點DFT L點DFT L點DFT X k H k Y k x n h n 當N M中夠大時 比直接計算線性卷積快多了 5 頻率抽樣型結構 若FIRDF的沖激響應為有限長 N點 序列h n 則有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽樣 單位園上頻響 Z變換 內插 所以 對h n 可以利用DFT得到H k 再利用內插公式 來表示系統(tǒng)函數 3 梳狀濾波器 a 零 極點特性 它是一個由N節(jié)延時單元所組成的梳狀濾波器 它在單位園上有N個等分的零點 無極點 由 看出 6 頻率抽樣型結構流圖 Z 1 W k H 0 Z 1 W k H 1 Z 1 W k H 2 Z 1 W k H N 1 Z N x n y n 一 全零點 IIR 格型濾波器 一個M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數H z 可寫成如下形式 全零點格型濾波器網絡結構 km與濾波器系數bm之間的遞推關系 二 全極點 IIR 格型濾波器 IIR濾波器的格型結構受限于全極點系統(tǒng)函數 可以根據FIR格型結構開發(fā) 設一個全極點系統(tǒng)函數由下式給定 全極點 IIR 濾波器格型結構