2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測八 立體幾何（提升卷）單元檢測 文（含解析） 新人教A版.docx

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單元檢測八　立體幾何(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上． 3．本次考試時間100分鐘，滿分130分． 4．請在密封線內作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．長方體的一個頂點上三條棱長分別是3,4,5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是(　　) A．25πB．50πC．125πD．都不對 答案　B 解析　長方體的8個頂點都在同一球面上，則這個球是長方體的外接球，所以球直徑等于長方體的體對角線長，即R＝＝，所以球的表面積為4πR2＝4π2＝50π，故選B. 2.如圖所示的正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是(　　) A．6cmB．8cmC．(2＋3) cmD．(2＋2) cm 答案　B 解析　由斜二測畫法知，原圖四邊形OABC為平行四邊形，OB⊥OA，OA＝1 cm，OB＝2cm，所以AB＝3cm，因此其周長為(3＋1)2＝8cm. 3．(2018廣東省廣州市培正中學模擬)下列命題中，錯誤的是(　　 ) A．平行于同一平面的兩個平面平行 B．平行于同一直線的兩個平面平行 C．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么這條直線必和另一個平面相交 D．一條直線與兩個平行平面所成的角相等 答案　B 解析　選項A正確，是面面平行的傳遞性．選項B錯誤，比如正方體的兩相鄰側面與一側棱都平行，但兩側面所在平面相交．選項C正確，由反證法，若直線與另一平面不相交，則直線在平面內或直線與平面平行，與直線與第一個平面相交矛盾．選項D正確，由線面角定義可知正確． 4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，且EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為(　　) A.B．5C．6D. 答案　D 解析　分別取AB，CD的中點G，H，連接EG，GH，EH，把該多面體分割成一個四棱錐與一個三棱柱，可求得四棱錐的體積為3，三棱柱的體積為，所以整個多面體的體積為. 5．如圖，一個空間幾何體的正視圖，側視圖，俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊的長為1，那么這個幾何體的體積為(　　 ) A.B.C.D．1 答案　A 解析　由三視圖還原可知，原圖形是底面是直角邊為1的等腰直角三角形，兩側面也是直角邊為1的等腰直角三角形，另一側面是邊長為的等邊三角形的三棱錐． 所以體積為V＝1＝，選A. 6．設a，b是異面直線，則以下四個命題：①存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面；②存在分別經過直線a和b的兩個平行平面；③經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b；④經過直線a有且只有一個平面平行于直線b，其中正確的個數(shù)為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　對于①，可以在兩個互相垂直的平面中，分別畫一條直線，當這兩條直線異面時，可判斷①正確；對于②，可在兩個平行平面中，分別畫一條直線，當這兩條直線異面時，可判斷②正確；對于③，當這兩條直線不垂直時，不存在這樣的平面滿足題意，可判斷③錯誤；對于④，假設過直線a有兩個平面α，β與直線b平行，則平面α，β相交于直線a，過直線b作一平面γ與平面α，β相交于兩條直線m，n都與直線b平行，可得a與b平行，所以假設不成立，所以④正確，故選C. 7．(2018廣東省廣州市培正中學模擬)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1＝45，∠CDC1＝30，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是(　　 ) A.B.C.D. 答案　C 解析　由∠DAD1＝45，∠CDC1＝30，可設AD＝DD1＝1，CD＝.連接BC1，BD. 由AD1∥BC1，所以異面直線AD1與DC1所成的角，即∠BC1D. 在△BDC1中，BC1＝，BD＝2，C1D＝2，由余弦定理可得cos∠BC1D＝＝＝， 所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是，選C. 8．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是(　　) A．相交B．平行C．異面D．不確定 答案　B 解析　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC， ∴l(xiāng)⊥平面ABC. ∵m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC?平面ABC， ∴m⊥平面ABC， ∴l(xiāng)∥m，故選B. 9．已知α，β是兩個平面，直線l?α，l?β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中兩個為條件，另一個為結論構成三個命題，則其中正確的命題有(　　) A．①③?②；①②?③ B．①③?②；②③?① C．①②?③；②③?① D．①③?②；①②?③；②③?① 答案　A 解析　因為α⊥β，所以在β內找到一條直線m，使m⊥α，又因為l⊥α，所以l∥m.又因為l?β，所以l∥β，即①③?②；因為l∥β，所以過l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因為l⊥α，所以n⊥α，又因為n?β，所以α⊥β，即①②?③.故選A. 10．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n 答案　C 解析　∵互相垂直的平面α，β交于直線l，直線m, n滿足m∥α，∴m∥β或m?β或m與β相交，∵n⊥β，l?β，∴n⊥l.故選C. 11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC與MN所成的角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 答案　C 解析　連接BC1，AD1，D1C. ∵M，N分別為BC，CC1的中點，∴MN∥BC1. 又易證得BC1∥AD1，∴MN∥AD1. ∴∠D1AC即為異面直線AC和MN所成的角． ∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴AC＝AD1＝D1C.即△D1AC為正三角形， ∴∠D1AC＝60.故C正確． 12.點P在正方體側面BCC1B1及其邊界上運動，并且保持AP⊥BD1，則點P的軌跡為(　　) A．線段B1C B．BB1的中點與CC1的中點連成的線段 C．線段BC1 D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段 答案　A 解析　∵AP⊥BD1恒成立， ∴要保證AP所在的平面始終垂直于BD1. ∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，AC，AB1?平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C，∴P點在線段B1C上運動．故選A. 第Ⅱ卷(非選擇題　共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．往一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為________厘米． 答案　12 解析　V＝Sh＝πr2h＝πR3， R＝＝＝12. 14.如圖，E，F(xiàn)分別為正方體的平面ADD1A1、平面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是____________．(填序號) 答案　②③ 解析　因為正方體是對稱的幾何體， 所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：自上而下、自左至右、由前及后三個方向的射影， 也就是在平面ABCD、平面CDD1C1、平面BCC1B1上的射影．四邊形BFD1E在平面ABCD和平面CDD1C1上的射影相同，如圖②所示； 四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內，它在平面BCC1B1上的射影顯然是一條線段，如圖③所示． 故②③正確． 15.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝__________. 答案　90 解析　因為C1B1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN. 又因為MN⊥MB1，MB1，C1B1?平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1， 所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90. 16.如圖，∠BAC＝90，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________． 答案　AB，BC，AC　AB 解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)如圖，在直三棱柱(側棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點D是AB的中點． (1)求證：AC⊥B1C； (2)求證：AC1∥平面CDB1. 證明　(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， 又AC?平面ABC，∴CC1⊥AC. 又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC. ∵CC1，BC?平面BB1C1C，CC1∩BC＝C， ∴AC⊥平面BB1C1C， 又B1C?平面BB1C1C，∴AC⊥B1C. (2)取A1B1的中點D1，連接C1D1，D1D和AD1， ∵AD∥D1B1，且AD＝D1B1， ∴四邊形ADB1D1為平行四邊形，∴AD1∥DB1， 又∵AD1?平面CDB1，DB1?平面CDB1， ∴AD1∥平面CDB1. ∵CC1∥DD1，且CC1＝DD1， ∴四邊形CC1D1D為平行四邊形，∴C1D1∥CD， 又∵CD?平面CDB1，C1D1?平面CDB1， ∴C1D1∥平面CDB1， ∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1?平面AC1D1， ∴平面AC1D1∥平面CDB1， 又AC1?平面AC1D1，∴AC1∥平面CDB1. 18．(12分)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點． (1)求證：PB∥平面EAC； (2)求證：AE⊥平面PCD； (3)當為何值時，PB⊥AC? (1)證明　連接BD交AC于O，連接EO， 因為O，E分別為BD，PD的中點，所以EO∥PB， 因為EO?平面EAC，PB?平面EAC，所以PB∥平面EAC. (2)證明　 ? ?平面PDC⊥平面PAD， 正三角形PAD中，E為PD的中點，所以AE⊥PD， 又平面PDC∩平面PAD＝PD，所以AE⊥平面PCD. (3)解　設N為AD中點，連接PN，則PN⊥AD. 又平面PAD⊥底面ABCD，所以PN⊥底面ABCD. 所以，NB為PB在平面ABCD上的射影． 要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設AD＝BC＝1，AB＝x，AN＝，由∠ANB＝∠BAC， 得Rt△NAB∽Rt△ABC，＝?AB2＝ANBC?x2＝，解得x＝， 所以，當＝時，PB⊥AC. 19．(13分)如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面四邊形ABCD為菱形，AB＝2，BD＝2，M，N分別是線段PA，PC的中點． (1)求證：MN∥平面ABCD； (2)求異面直線MN與BC所成角的大小． (1)證明　連接AC交BD于點O， ∵M，N分別是線段PA，PC的中點， ∴MN∥AC， ∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD. (2)解　由(1)知，∠ACB就是異面直線MN與BC所成的角或其補角． ∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，BD＝2， ∴在Rt△BOC中，BC＝2，BO＝，∴∠OCB＝60， ∴異面直線MN與BC所成的角為60. 20．(13分)(2017北京)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點． (1)求證：PA⊥BD； (2)求證：平面BDE⊥平面PAC； (3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積． (1)證明　因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB，BC?平面ABC，AB∩BC＝B， 所以PA⊥平面ABC， 又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD. (2)證明　因為AB＝BC，D為AC中點，所以BD⊥AC， 由(1)知，PA⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 又因為BD?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)解　因為PA∥平面BDE，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BDE＝DE， 所以PA∥DE. 因為D為AC的中點，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 所以三棱錐E－BCD的體積V＝BDDCDE＝.