（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第13練 空間幾何體精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

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第13練　空間幾何體 [明晰考情]　1.命題角度：空間幾何體的三視圖，球與多面體的組合，一般以計(jì)算面積、體積的形式出現(xiàn).2.題目難度：中等或中等偏上. 考點(diǎn)一　空間幾何體的三視圖與直觀圖 要點(diǎn)重組　(1)三視圖畫(huà)法的基本原則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫(huà)圖時(shí)看不到的線畫(huà)成虛線. (2)由三視圖還原幾何體的步驟 — ↓ — ↓ — (3)直觀圖畫(huà)法的規(guī)則：斜二測(cè)畫(huà)法. 1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正(主)視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正(主)視圖為(　　) 答案　A 解析　在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀圖如圖所示，作頂點(diǎn)A，C在xOz平面的投影A′，C′，可得四面體的正(主)視圖.故選A. 2.(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A.1B.2C.3D.4 答案　C 解析　由三視圖得到空間幾何體，如圖所示， 則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1， 所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC. 又BC⊥AB，AB∩PA＝A， AB，PA?平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. 又PB?平面PAB，所以BC⊥PB. 在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝， 所以△PCD為銳角三角形. 所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個(gè).故選C. 3.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的直觀圖是(　　) 答案　D 解析　先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可知選項(xiàng)D正確. 4.已知正三棱錐V－ABC的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該正三棱錐側(cè)(左)視圖的面積是________. 答案　6 解析　如圖，由俯視圖可知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2， 則AO＝2sin60＝2. 所以VO＝＝2， 則VA′＝2. 所以該正三棱錐的側(cè)(左)視圖的面積為 22＝6. 考點(diǎn)二　空間幾何體的表面積與體積 方法技巧　(1)求三棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. (3)已知幾何體的三視圖，可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量，然后求解表面積和體積. 5.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為(　　) A.3 B. C.1 D. 答案　C 解析　∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC. 又ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C. ∵四邊形BB1C1C為矩形，∴＝S四邊形BB1C1C＝2＝. 又AD＝2＝， ∴＝AD＝＝1. 故選C. 6.(2018渭南質(zhì)檢)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積是(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形，高為1的三棱錐，故得到體積為211＝. 7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A.12B.15C.18D.21 答案　C 解析　由三視圖可得該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,3的長(zhǎng)方體切去一半得到的，其直觀圖如圖所示. 其體積為433＝18，故選C. 8.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)_______. 答案　π 解析　由題意，得圓錐的底面周長(zhǎng)為2π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr＝2π，解得r＝1， ∴圓錐的高為h＝＝. ∴圓錐的體積為V＝πr2h＝π. 考點(diǎn)三　多面體與球 要點(diǎn)重組　(1)設(shè)球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r＝. (2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，當(dāng)球外接于長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí)，球的直徑等于正方體底面的對(duì)角線長(zhǎng). (3)若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的外接球半徑為a，內(nèi)切球半徑為a. 9.已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60，則球O的表面積為(　　) A.4πB.12πC.16πD.64π 答案　C 解析　在△ABC中，由余弦定理得， BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos60＝3， ∴AC2＝AB2＋BC2， 即AB⊥BC. 又SA⊥平面ABC， ∴SA⊥AB，SA⊥BC， ∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以AB＝1，BC＝，SA＝2為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體， ∴球O的直徑為＝4， 故球O的表面積為4π22＝16π. 10.(2017全國(guó)Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A.π B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形. ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π1＝. 11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為(　　) A. B.16π C.9π D. 答案　A 解析　由圖知，R2＝(4－R)2＋2， ∴R2＝16－8R＋R2＋2， ∴R＝. ∴S表＝4πR2＝4π＝，故選A. 12.一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_(kāi)_______. 答案　 解析　設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，球O的半徑為R， 則V圓錐＝πa2a＝πa3. 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a， 故V球＝3＝πa3， 故其體積比值為. 1.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A.17πB.18πC.20πD.28π 答案　A 解析　由三視圖可知，該幾何體是球截去后所得幾何體，則R3＝，解得R＝2，所以它的表面積為4πR2＋πR2＝14π＋3π＝17π. 2.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積之比為(　　) A.1∶1 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2 答案　A 解析　由題意可得正(主)視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的，側(cè)(左)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積之比是1∶1. 3.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案　C 解析　易知△AOB的面積確定，若三棱錐O－ABC的底面OAB上的高最大，則其體積最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉，所以VO－ABC＝R2R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π. 解題秘籍　(1)三視圖都是幾何體的投影，要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征. (2)多面體與球的切、接問(wèn)題，要明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置，利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系，要熟悉長(zhǎng)方體與球的各種組合. 1.(2018浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為2,1，高為2， ∴該幾何體的體積為V＝2＝6. 故選C. 2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為(　　) A.＋ B.π＋ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　該幾何體為半圓錐，其表面積為＋2＝＋. 3.如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開(kāi)圖，則多面體ABCDE的體積為(　　) A.2B.C.D. 答案　D 解析　多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－＝，故選D. 4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，下圖畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A.12＋6＋18 B.9＋6＋18 C.9＋8＋18 D.9＋6＋12 答案　B 解析　作出該幾何體的直觀圖如圖所示(所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn))，故所求幾何體的表面積S＝23＋23＋46＋34＋43＝9＋6＋18，故選B. 5.某錐體的三視圖如圖所示，用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分，則截面面積為(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 答案　C 解析　三視圖表示的幾何體(如圖)是四棱錐(鑲嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中)，且四棱錐F－ABCD的底面為正方形ABCD，面積為4，設(shè)截面面積為S，所截得小四棱錐的高為h， 則 解得S＝2. 6.(2018丹東期末)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖、側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　該幾何體是一個(gè)半球，上面有一個(gè)三棱錐，體積為 V＝111＋π3＝＋，故選A. 7.(2018全國(guó)Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正(主)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)(左)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A.2 B.2 C.3 D.2 答案　B 解析　先畫(huà)出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示. 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑. |ON|＝16＝4，|OM|＝2， ∴|MN|＝＝＝2. 故選B. 8.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，四棱錐S－ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　) A.πB.πC.πD.π 答案　D 解析　作如圖所示的輔助線，其中O為球心，設(shè)OG1＝x，則OB1＝SO＝2－x，由正方體的性質(zhì)知，B1G1＝，則在Rt△OB1G1中，由OB＝G1B＋OG，得(2－x)2＝x2＋2，解得x＝，所以球的半徑R＝OB1＝，所以球的表面積為S＝4πR2＝π，故選D. 9.如圖，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40，過(guò)點(diǎn)A作截面△AEF，則截面△AEF的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________. 答案　6 解析　沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖， 則AA′即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且∠AVA′＝340＝120，VA＝VA′＝2. 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6. 10.(2018三門(mén)峽期末)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”，若某“陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該“陽(yáng)馬”最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______. 答案　5 解析　由三視圖知，幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖所示. 其中PA⊥平面ABCD，∴PA＝3，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5， ∴PB＝＝5，PC＝＝5，PD＝＝. ∴該幾何體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為5. 11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為_(kāi)_______. 答案　2 解析　依題意得，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1截去四棱錐A－BEDC得到的，故其體積V＝223－2＝2. 12.已知三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______. 答案　 解析　連接BF，由題意，得△BCD為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心. ∵點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F， ∴BF＝＝， ∴AF＝＝. 設(shè)球心O到平面BCD的距離為h， 則1＋h2＝＋2， 解得h＝， ∴外接球的半徑r＝＝， 故該三棱錐外接球的表面積為4π＝.