（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系講義（含解析）.docx
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8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 最新考綱 考情考向分析 1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關(guān)系的定義． 2.掌握可以作為推理依據(jù)的公理和定理. 主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的空間想象能力和邏輯推理能力. 1．四個公理 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． 公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面． 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． 2．直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． ②范圍：. 3．直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況． 4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． 5．等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補． 概念方法微思考 1．分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？ 提示 不一定．因為異面直線不同在任何一個平面內(nèi)．分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交． 2．空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角一定相等嗎？ 提示 不一定．如果這兩個角開口方向一致，則它們相等，若反向則互補． 題組一 思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.( √ ) (2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．( ) (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．( ) (4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．( √ ) (5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．( ) (6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．( ) 題組二 教材改編 2．[P52B組T1(2)]如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為( ) A．30 B．45 C．60 D．90 答案 C 解析 連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF， 故∠D1B1C即為所求的角． 又B1D1＝B1C＝D1C， ∴△B1D1C為等邊三角形， ∴∠D1B1C＝60. 3．[P45例2]如圖，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則 (1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形； (2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形． 答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD 解析 (1)∵四邊形EFGH為菱形， ∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)∵四邊形EFGH為正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD. 題組三 易錯自糾 4．α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是( ) A．垂直 B．相交 C．異面 D．平行 答案 D 解析 依題意，m∩α＝A，n?α， ∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行． 5.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過( ) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 答案 D 解析 ∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上． 同理可知，點C也在γ與β的交線上． 6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為______． 答案 3 解析 平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對． 題型一 平面基本性質(zhì)的應(yīng)用 例1如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． 證明 (1)如圖，連接EF，CD1，A1B. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面． (2)∵EF∥CD1，EF下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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