（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第二章 不等式 2.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題講義（含解析）.docx

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2.3　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 最新考綱 考情考向分析 了解二元一次不等式的幾何意義，掌握平面區(qū)域與二元一次不等式組之間的關(guān)系，并會求解簡單的二元線性規(guī)劃問題. 以畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域、目標函數(shù)最值的求法為主，兼顧由最優(yōu)解(可行域)情況確定參數(shù)的范圍，加強轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識．本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進行考查，難度中低檔. 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C>0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題 概念方法微思考 1．不等式x≥0表示的平面區(qū)域是什么？ 提示　不等式x≥0表示的區(qū)域是y軸的右側(cè)(包括y軸)． 2．可行解一定是最優(yōu)解嗎？二者有何關(guān)系？ 提示　不一定．最優(yōu)解是可行解中的一個或多個． 最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一． 題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集．(　√　) (2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　) (4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示．(　√　) (5)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的．(　　) (6)最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．(　√　) (7)目標函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　) 題組二　教材改編 2．[P86T3]不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 答案　B 解析　x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影部分． 題組三　易錯自糾 3．下列各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是(　　) A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 答案　C 解析　把各點的坐標代入可得(－1,3)不適合，故選C. 4．(2018全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________． 答案　6 解析　作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示． 由z＝3x＋2y，得y＝－x＋. 作直線l0：y＝－x，平移直線l0，當直線y＝－x＋過點(2,0)時，z取最大值，zmax＝32＋20＝6. 5．已知x，y滿足約束條件若使得z＝ax＋y取最大值的點(x，y)有無數(shù)個，則a的值為________． 答案?。? 解析　先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，當直線y＝－ax＋z和直線AB重合時，z取得最大值的點(x，y)有無數(shù)個，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1. 題型一　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 命題點1　不含參數(shù)的平面區(qū)域問題 例1在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是(　　) A.B.C．2D．2 答案　B 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點O(0,0)，B(－2，0)和A(1，)為頂點的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)， 由圖知該平面區(qū)域的面積為2＝，故選B. 命題點2　含參數(shù)的平面區(qū)域問題 例2(2018嘉興市基礎(chǔ)測試)若不等式組表示的平面區(qū)域為一個三角形的內(nèi)部區(qū)域，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖所示，當直線x＋y＝a在直線x＋y＝(該直線經(jīng)過直線x－y＝0和直線3x＋y＝3的交點)的下方時，原不等式組表示的平面區(qū)域為一個三角形的內(nèi)部區(qū)域，因此a<，故選C. 思維升華平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型 (1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀． (2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數(shù)進行必要的討論． 跟蹤訓練1(1)不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．梯形 C．等腰直角三角形 D．正方形 答案　C 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，易知平面區(qū)域的形狀為等腰直角三角形(陰影部分，含邊界)． (2)已知由不等式組確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，則k的值為(　　) A．－3B．－1C．3D．1 答案　B 解析　作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示， 可知該區(qū)域是等腰直角三角形且面積為8. 由于直線y＝kx＋2恒過點B(0,2)，且原點的坐標恒滿足y－kx≤2， 當k＝0時，y≤2，此時平面區(qū)域Ω的面積為6， 由于6<7，由此可得k<0.由 可得D， 依題意應(yīng)有2＝1， 解得k＝－1或k＝3(舍去)，故選B. 題型二　求目標函數(shù)的最值問題 命題點1　求線性目標函數(shù)的最值 例3(2018溫州市適應(yīng)性考試)若實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的取值范圍是(　　) A．[3,4] B．[3,12] C．[3,9] D．[4,9] 答案　C 解析　畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，作出直線2x＋y＝0，結(jié)合圖象，平移直線2x＋y＝0得，在點A(3,3)處目標函數(shù)取最大值9，在點B(1,1)處目標函數(shù)取最小值3，故選C. 命題點2　求非線性目標函數(shù)的最值 例4已知實數(shù)x，y滿足則z＝的取值范圍是________． 答案　 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，這是一個三角形區(qū)域(包含邊界)，三角形的三個頂點的坐標分別為B(1,2)，C，D(2,3)，的幾何意義是可行域內(nèi)任一點(x，y)與點(－2,0)連線的斜率，記P(－2,0)，連接PB，PC，由于直線PB的斜率為，直線PC的斜率為，由圖可知z＝的取值范圍是. 命題點3　求參數(shù)值或取值范圍 例5(1)(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)已知x，y∈R滿足條件若目標函數(shù)z＝ax＋y僅在點(2,3)處取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　D 解析　作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，目標函數(shù)z＝ax＋y可化為y＝－ax＋z，且目標函數(shù)僅在點A(2,3)處取到最大值，所以－a－1，故選D. (2)(2018杭州七校聯(lián)考)若x，y滿足約束條件z＝2x＋y的最大值為8，則實數(shù)a的值為(　　) A．－2B．－1C．1D．2 答案　C 解析　將目標函數(shù)變形為y＝－2x＋z，當z取最大值時，直線的縱截距最大，易知直線x＋y－5＝0與2x－y－1＝0的交點(2,3)不能使得目標函數(shù)取得最大值8.因為直線ax－2y＋1＝0恒過定點，所以要使目標函數(shù)能取到最大值，需－1<<，即－2－1，顯然a＝0不符合題意．作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖1或圖2中陰影部分(含邊界)所示，作直線2x＋y＝0，平移該直線，易知，當平移到過直線x＋y－2＝0與ax－y－a＝0的交點時，z取得最大值， 由得代入2x＋y＝得a＝1，故選C. 方法二　由z＝2x＋y存在最大值，可知a>－1，顯然a＝0不符合題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖1或圖2中陰影部分(含邊界)所示，作直線2x＋y＝0，平移該直線，易知，當平移到過直線x＋y－2＝0與ax－y－a＝0的交點時，z取得最大值，由得代入ax－y－a＝0得a＝1，故選C. 1．(2017浙江)若x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的取值范圍是(　　) A．[0,6] B．[0,4] C．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案　D 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 由題意可知，當直線y＝－x＋過點A(2,1)時，z取得最小值，即zmin＝2＋21＝4. 所以z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)． 故選D. 2．(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)不等式組所表示的區(qū)域面積為S(m∈R)．若S≤1，則(　　) A．m≤－2 B．－2≤m≤0 C．03，解得a<－1或a>3.作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A，E(3,6)．當點E(3,6)在直線x＋2y＝a2－2a的上方時，3＋26>a2－2a，即－30，易知目標函數(shù)z＝y(tǒng)－|x|＝y(tǒng)－x在點D處取得最大值，即－＝，解得a＝0(舍去)或a＝4；當點E(3,6)在直線x＋2y＝a2－2a的下方或在直線上時，3＋26≤a2－2a，解得a≤－3或a≥5，故有a≤－3或a≥5，此時可行域為三角形ABE及其內(nèi)部(不包含線段AB)，則x>0，目標函數(shù)z＝y(tǒng)－|x|＝y(tǒng)－x在點E(3,6)處取得最大值，則6－3＝，解得a＝.綜上，實數(shù)a的取值組成的集合是. 16．(2018浙江金華一中模擬)若實數(shù)x，y滿足則|x－2y－1|＋3|x－y|的取值范圍為________． 答案　 解析　設(shè)目標函數(shù)z＝|x－2y－1|＋3|x－y|.如圖所示，分四種情況： ①當時，z＝4x－5y－1，滿足約束條件下的平面區(qū)域，只有一個點A(1,0)，此時z＝3； ②當時，z＝－2x＋y－1，滿足約束條件下的平面區(qū)域不存在； ③當時，z＝2x－y＋1，滿足約束條件下的平面區(qū)域為△ADE，則直線z＝2x－y＋1經(jīng)過點D時，取得最小值，經(jīng)過點A(1,0)時，取得最大值3； ④當時，z＝－4x＋5y＋1，滿足約束條件下的平面區(qū)域為四邊形BCED，則直線z＝－4x＋5y＋1經(jīng)過點D時，取得最小值，經(jīng)過點C(2,3)時，取得最大值8. 綜上可知z＝|x－2y－1|＋3|x－y|的最小值為，最大值為8，即|x－2y－1|＋3|x－y|的取值范圍是.