2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.2 綜合法和分析法教案 新人教A版選修4-5.docx
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2.2綜合法和分析法 一、教學(xué)目標(biāo) 1.了解綜合法與分析法證明不等式的思考過(guò)程與特點(diǎn). 2.會(huì)用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式. 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 了解綜合法與分析法證明不等式的思考過(guò)程與特點(diǎn). 四、教學(xué)難點(diǎn) 會(huì)用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式. 五、教學(xué)過(guò)程 (一)導(dǎo)入新課 已知a>0,b>0,2c>a+b,求證:c-<a. 【證明】 要證c-<a, 只需證明c<a+, 即證b-a<2, 當(dāng)b-a<0時(shí),顯然成立; 當(dāng)b-a≥0時(shí),只需證明b2+a2-2ab<4c2-4ab, 即證(a+b)2<4c2, 由2c>a+b知上式成立. 所以原不等式成立. (二)講授新課 教材整理1 綜合法 一般地,從 出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做 ,又叫或 . 教材整理2 分析法 證明命題時(shí),我們還常常從要證的 出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為 或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做 ,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法. (三)重難點(diǎn)精講 題型一、用綜合法證明不等式 例1已知a,b,c是正數(shù),求證: ≥abc. 【精彩點(diǎn)撥】 由a,b,c是正數(shù),聯(lián)想去分母,轉(zhuǎn)化證明b2c2+c2a2+a2b2≥abc(a+b+c),利用x2+y2≥2xy可證.或?qū)⒃坏仁阶冃螢椋輆+b+c后,再進(jìn)行證明. 【自主解答】 法一 ∵a,b,c是正數(shù), ∴b2c2+c2a2≥2abc2,b2c2+a2b2≥2ab2c,c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(b2c2+c2a2+a2b2)≥2(abc2+ab2c+a2bc), 即b2c2+c2a2+a2b2≥abc(a+b+c). 又a+b+c>0, ∴≥abc. 法二 ∵a,b,c是正數(shù), ∴+≥2=2c. 同理+≥2a,+≥2b, ∴2≥2(a+b+c). 又a>0, b>0,c>0, ∴b2c2+a2c2+a2b2≥abc(a+b+c). 故≥abc. 規(guī)律總結(jié): 1.綜合法證明不等式,揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系,為此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系,合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式(切入點(diǎn)),這是證明的關(guān)鍵. 2.綜合法證明不等式的主要依據(jù):(1)不等式的基本性質(zhì);(2)基本不等式及其變形;(3)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式等. [再練一題] 1.已知a>0,b>0,c>0,且abc=2. 求證:(1+a)(1+b)(1+c)>8. 【證明】 ∵a>0,b>0,c>0, ∴1+a≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),取等號(hào), 1+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí),取等號(hào), 1+c≥2,當(dāng)且僅當(dāng)c=1時(shí),取等號(hào). ∵abc=2, ∴a,b,c不能同時(shí)取1,∴“=”不同時(shí)成立. ∴(1+a)(1+b)(1+c)>8=8. 即(1+a)(1+b)(1+c)>8. 題型二、綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 例2設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,且0<a<1,求證:loga(ax+by)<+loga2. 【精彩點(diǎn)撥】 要證的不等式為對(duì)數(shù)不等式,結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),先用分析法探路,轉(zhuǎn)化為要證明一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論,然后再利用綜合法證明. 【自主解答】 由于0<a<1,則t=logax(x>0)為減函數(shù). 欲證loga(ax+ay)<+loga2,只需證ax+ay>2a. ∵y+x2=0,0<a<1, ∴x+y=x-x2=-+≤. 當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),(x+y)max=, ∴ax+y≥a,≥a.① 又ax+ay≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)取等號(hào)), ② ∴ax+ay≥2a.③ 由于①,②等號(hào)不能同時(shí)成立, ∴③式等號(hào)不成立,即ax+ay>2a成立. 故原不等式loga(ax+ay)<+loga2成立. 規(guī)律總結(jié): 1.通過(guò)等式或不等式運(yùn)算,將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式,從而使原不等式易于證明.體現(xiàn)了分析法與綜合法之間互為前提、互相滲透、相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系. 2.函數(shù)與不等式綜合交匯,應(yīng)注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運(yùn)用. [再練一題] 2.已知a,b,c都是正數(shù),求證:2≤3-. 【證明】 法一 要證2≤3-,只需證a+b-2≤a+b+c-3, 即-2≤c-3, 移項(xiàng),得c+2≥3. 由a,b,c都為正數(shù),得c+2=c++≥3,∴原不等式成立. 法二 ∵a,b,c都是正數(shù), ∴c++≥3=3, 即c+2≥3, 故-2≤c-3, ∴a+b-2≤a+b+c-3, ∴2≤3. 題型三、分析法證明不等式 例3已知a>b>0,求證:<-<. 【精彩點(diǎn)撥】 本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜,不易觀察出怎樣由a>b>0得到要證明的不等式,因而可以用分析法先變形要證明的不等式,從中找到證題的線索. 【自主解答】 要證原不等式成立, 只需證<a+b-2<, 即證<(-)2<. 只需證<-<, 即<1<, 即<1<. 只需證<1<. ∵a>b>0,∴<1<成立. ∴原不等式成立. 規(guī)律總結(jié): 1.解答本題的關(guān)鍵是在不等式兩邊非負(fù)的條件下,利用不等式的開(kāi)方性質(zhì)尋找結(jié)論成立的充分條件,采用分析法是常用方法.證明過(guò)程一要注意格式規(guī)范,二要注意邏輯關(guān)系嚴(yán)密、準(zhǔn)確. 2.當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系,或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí),可用分析法來(lái)尋找證明途徑.常常利用移項(xiàng)、去分母、平方、開(kāi)方等方法進(jìn)行分析探路. [再練一題] 3.已知a>0,求證: -≥a+-2. 【證明】 因?yàn)閍>0,要證原不等式成立,只需證 +2≥a++, 即證a2++4+4 ≥+2+2, 只需證≥a+, 即證2≥a2++2, 只需證a2+≥2. 由基本不等式知a2+≥2顯然成立, 所以原不等式成立. (四)歸納小結(jié) 綜合法與分析法— (五)隨堂檢測(cè) 1.已知a<0,-1<b<0,則( ) A.a(chǎn)>ab>ab2 B.a(chǎn)b2>ab>a C.a(chǎn)b>a>ab2 D.ab>ab2>a 【解析】 ∵-1<b<0, ∴1>b2>0>b. 又a<0,∴ab>ab2>a. 【答案】 D 2.下列三個(gè)不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a.其中能使<成立的充分條件有( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】?、賏<0<b?<;②b<a<0?<;③b<0<a?>.故選A. 【答案】 A 3.已知a,b∈(0,+∞),Ρ=,Q=,則P,Q的大小關(guān)系是________. 【解析】 ∵a+b≥, ∴≥. 【答案】 P≤Q 六、板書(shū)設(shè)計(jì) 2.2綜合法和分析法 教材整理1 綜合法 教材整理2 分析法 例1: 例2: 例3: 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí):2.2綜合法和分析法 八、教學(xué)反思- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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