2018年秋高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第2課時 組合的綜合應用學案 新人教A版選修2-3.doc

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第2課時　組合的綜合應用 學習目標：1.學會運用組合的概念，分析簡單的實際問題．(重點)2.能解決無限制條件的組合問題．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．組合的有關概念 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 組合數(shù)用符號C表示，其公式為C＝＝. (m，n∈N*，m≤n)，特別地C＝C＝1. 2．組合與排列的異同點 共同點：排列與組合都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素． 不同點：排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關． 3．應用組合知識解決實際問題的四個步驟 (1)判斷：判斷實際問題是否是組合問題． (2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題． (3)計算：利用組合數(shù)公式結合兩個計數(shù)原理計算． (4)結論：根據(jù)計算結果寫出方案個數(shù)． [基礎自測] 1．以下四個命題，屬于組合問題的是(　　) A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列 B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌 C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星 D．從13位司機中任選出兩位開兩輛車往返甲、乙兩地 C　[從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題．] 2．若5名代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有(　　) 【導學號：95032059】 A．A種　　　　　　　 B．45種 C．54種 D．C種 D　[由于4張同樣的參觀券分給5名代表，每人最多分一張，從5名代表中選4人滿足分配要求，故有C種．] 3．某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有(　　) A．C種 B．A種 C．AA種 D．CC種 D　[每個被選的人都無順序差別，是組合問題．分兩步完成：第一步，選女工，有C種選法；第二步，選男工，有C種選法．故共有CC種不同的選法．] 4．設集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，則集合A中含有3個元素的子集共有________個． 10　[從5個元素中取出3個元素組成一組就是集合A的子集，則共有C＝10個子集．] [合 作 探 究攻 重 難] 無限制條件的組合問題 　現(xiàn)有10名學生，男生6人，女生4人． (1)要選2名男生去參加乒乓球賽，有多少種不同選法？ (2)要選男、女生各2人參賽，有多少種不同選法？ (3)要選2人去參賽，有多少種不同選法？ 【導學號：95032060】 [思路探究]　首先要分清是組合還是排列問題，與順序有關即為排列，與順序無關即為組合，一定要理解清楚題意． [解]　(1)從6名男生中選2人的組合數(shù)是C＝15種． (2)分兩步完成，先從6名男生中選2人，再從4名女生中選2人，均為組合．CC＝90種． (3)從10名學生中選2名的組合數(shù)C＝45種． [規(guī)律方法]　解簡單的組合應用題時，要先判斷它是不是組合問題，取出的元素只是組成一組，與順序無關則是組合問題；取出的元素排成一列，與順序有關則是排列問題．只有當該問題能構成組合模型時，才能運用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時還應注意兩個計數(shù)原理的運用，在分類和分步時，注意有無重復或遺漏． [跟蹤訓練] 1．有兩條平行直線a和b，在直線a上取4個點，直線b上取5個點，以這些點為頂點作三角形，這樣的三角形共有(　　) A．70個　　B．80個　　　C．82個　　D．84個 A　[分兩類分別求即可，共有CC＋CC＝30＋40＝70.] 2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動．若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答) 【導學號：95032061】 140　[第一步，安排周六有C種方法，第二步，安排周日有C種方法，所以不同的安排方案共有CC＝140種．] 有限制條件的組合問題 　高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動． (1)其中某一女生必須在內，不同的取法有多少種？ (2)其中某一女生不能在內，不同的取法有多少種？ (3)恰有2名女生在內，不同的取法有多少種？ (4)至少有2名女生在內，不同的取法有多少種？ (5)至多有2名女生在內，不同的取法有多少種？ [思路探究]　可從整體上分析，進行合理分類，弄清關鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用兩個計數(shù)原理解決． [解]　(1)從余下的34名學生中選取2名， 有C＝561(種)． ∴不同的取法有561種． (2)從34名可選學生中選取3名，有C種． 或者C－C＝C＝5 984種． ∴不同的取法有5 984種． (3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有CC＝2 100種． ∴不同的取法有2 100種． (4)選取2名女生有CC種，選取3名女生有C種，共有選取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555種． ∴不同的取法有2 555種． (5)選取3名的總數(shù)有C，因此選取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090種． ∴不同的取法有6 090種． [規(guī)律方法]　常見的限制條件及解題方法 1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)． 2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解． 3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解． [跟蹤訓練] 3．某地區(qū)發(fā)生了特別重大鐵路交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名奔赴事故現(xiàn)場搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問： (1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調方法有多少種？ [解]　(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC＝90種抽調方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 法一：(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家，共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法； 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有 CC＋CC＋CC＝185種抽調方法． 法二：(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有： C－CC－C＝185種抽調方法． (3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答． ①沒有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115種抽調方法． 分組(分配)問題 　6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法： (1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本； (2)分為三份，每份兩本； (3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本； (4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本； (5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本. 【導學號：95032062】 [思路探究]　(1)是平均分組問題，與順序無關，相當于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個人一個人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是分組問題，分三步進行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”． [解]　(1)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到：CCC＝90種． (2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有CCC種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有A種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法． (3)這是“不均勻分組”問題，一共有CCC＝60種方法． (4)在(3)的基礎上再進行全排列，所以一共有CCCA＝360種方法． (5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有CCC＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有CC5CA＝360種方法；③“1、1、4型”，有CA＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法． [規(guī)律方法] 1．分清是分組問題還是分配問題，是解題的關鍵． 2．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種： (1)完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等． (2)部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！. (3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象． [跟蹤訓練] 4．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)． 36　[分兩步完成：第一步，將4名大學生按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有A種．所以滿足條件的分配方案有A＝36(種)．] 排列、組合的綜合應用 [探究問題] 1．從集合{1,2,3,4}中任取兩個不同元素相乘，有多少個不同的結果？完成的“這件事”指的是什么？ [提示]　共有C＝＝6(個)不同結果． 完成的“這件事”是指從集合{1,2,3,4}中任取兩個不同元素并相乘． 2．從集合{1,2,3,4}中任取兩個不同元素相除，有多少不同結果？這是排列問題，還是組合問題？完成的“這件事”指的是什么？ [提示]　共有A－2＝10(個)不同結果；這個問題屬于排列問題；完成的“這件事”是指從集合{1,2,3,4}中任取兩個不同元素并相除． 3．完成“從集合{0,1,2,3,4}中任取三個不同元素組成一個是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類，還是先分步？有多少個不同的結果？ [提示]　由于0不能排在百位，而個位必須是偶數(shù).0是否排在個位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個位分類進行．第一類：0在個位，則百位與十位共A種排法；第二類：0不在個位且不在百位，則需先從2,4中任選一個排個位再從剩下非零數(shù)字中取一個排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個排十位，共CCC＝18(種)不同的結果，由分類加法計數(shù)原理，完成“這件事”共有A＋CCC＝30(種)不同的結果． 　有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)： (1)有女生但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔任語文課代表； (3)某男生必須包括在內，但不擔任數(shù)學課代表； (4)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數(shù)學課代表. 【導學號：95032063】 [思路探究]　(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選取．(2)采用先選后排的方法．(3)先安排該男生，再選出其他人擔任四科課代表．(4)先安排語文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔任余下三科的課代表． [解]　(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC種，后排有A種， 共(CC＋CC)A＝5 400種． (2)除去該女生后，先選后排，有CA＝840種． (3)先選后排，但先安排該男生，有CCA＝3 360種． (4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共CCA＝360種． [規(guī)律方法]　 解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原則 1．按事情發(fā)生的過程進行分步． 2．按元素的性質進行分類．解決時通常從以下三個途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． [跟蹤訓練] 5．某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為(　　) A．360　　B．520　　　C．600　　D．720 C　[分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有CCA＝21024＝480種選法． 第二類，甲、乙都參加時，則有C(A－AA)＝10(24－12)＝120種選法． 所以共有480＋120＝600種選法．] [當 堂 達 標固 雙 基] 1．某研究性學習小組有4名男生和4名女生，一次問卷調查活動需要挑選3名同學參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為(　　) A．120　　　B．84　　　　C．52　　　D．48 C　[間接法：C－C＝52種．] 2．編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有(　　) 【導學號：95032064】 A．60種 B．20種 C．10種 D．8種 C　[四盞熄滅的燈產生的5個空檔中放入三盞亮燈，即C＝10.] 3．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有(　　) A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 B　[分兩種情況：①選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友有C＝6種方法；②選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友有C＝4種方法，所以不同的贈送方法共有6＋4＝10種，故選B.] 4．在直角坐標平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有________個． 225　[在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為CC＝1515＝225個．] 5．課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？ (1)只有一名女生； (2)兩隊長當選； (3)至少有一名隊長當選； (4)至多有兩名女生當選. 【導學號：95032065】 [解]　(1)一名女生，四名男生，故共有CC＝350種選法． (2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有CC＝165種選法． (3)至少有一名隊長當選含有兩類：有一名隊長當選和兩名隊長都當選． 故共有CC＋CC＝825種選法． 或采用間接法：C－C＝825種． (4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生，只有一名女生，沒有女生． 故共有CC＋CC＋C＝966種選法．