2018年秋高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機變量的方差學案 新人教A版選修2-3.doc

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2.3.2　離散型隨機變量的方差 學習目標：1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．(重點)3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．離散型隨機變量的方差、標準差 (1)定義：設離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)＝為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨機變量X的方差，其算術平方根為隨機變量X的標準差． (2)意義：隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小． 2．隨機變量的方差與樣本方差的關系 隨機變量的方差是總體的方差，它是一個常數(shù)，樣本的方差則是隨機變量，是隨樣本的變化而變化的．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差． 3．服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差 (1)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)． 4．離散型隨機變量方差的線性運算性質(zhì) 設a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)． [基礎自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； (　　) (2)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平； (　　) (3)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動水平． (　　) (4)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定． (　　) [解析]　(1)　因為離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (2)　因為離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了隨機變量偏離于期望的平均程度． (3)√　由方差的意義可知． (4)　離散型隨機變量的方差越大，說明隨機變量的穩(wěn)定性越差，方差越小，穩(wěn)定性越好． [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．若隨機變量X服從兩點分布，且在一次試驗中事件A發(fā)生的概率P＝0.5，則E(X)和D(X)分別為(　　) 【導學號：95032190】 A．0.25　0.5　　　　　　 B．0.5　0.75 C．0.5　0.25 D．1　0.75 C　[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.] 3．已知隨機變量ξ，D(ξ)＝，則ξ的標準差為________． 　[ξ的標準差＝＝.] 4．已知隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P 則ξ的均值為________，方差為________. 【導學號：95032191】 －　　[均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)＋0＋1＝－； 方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋(x3－E(ξ))2p3＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 求隨機變量的方差與標準差 　已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)計算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． [解]　(1)由分布列的性質(zhì)，知＋＋a＝1，故a＝，從而X2的分布列為 X2 0 1 P (2)法一：(直接法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. 故X的方差D(X)＝＋＋＝. 法二：(公式法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－，X2的均值E(X2)＝0＋1＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. [規(guī)律方法]　方差的計算需要一定的運算能力，公式的記憶不能出錯！在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失為一種比較實用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應用，如D(aX＋b)＝a2D(X)． [跟蹤訓練] 1．已知η的分布列為： η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及標準差； (2)設Y＝2η－E(η)，求D(Y)． [解]　(1)∵E(η)＝0＋10＋20＋50＋60＝16， D(η)＝(0－16)2＋(10－16)2＋(20－16)2＋(50－16)2＋(60－16)2＝384， ∴＝8. (2)∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－E(η)) ＝22D(η)＝4384＝1 536. 兩點分布與二項分布的方差 　設X的分布列為P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)，則D(3X)＝(　　) 【導學號：95032192】 A．10　　　　　　　 B．30 C．15 D．5 A　[由P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)可知隨機變量服從二項分布X～B 所以D(X)＝5＝， D(3X)＝9D(X)＝10.] 母題探究：1.(變換條件、改變問法)本例題改為隨機變量X服從二項分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二項分布的參數(shù)n，p的值． [解]　由E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96及X～B(n，p)知 即解得 所以二項分布的參數(shù)n＝6，p＝0.4. 2．(改變問法)本例題條件不變，求E(3X＋2)． [解]　由例題可知X～B 所以E(X)＝5＝. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7. [規(guī)律方法]　求離散型隨機變量的均值與方差的關注點 (1)寫出離散型隨機變量的分布列． (2)正確應用均值與方差的公式進行計算． (3)對于二項分布，關鍵是通過題設環(huán)境確定隨機變量服從二項分布，然后直接應用公式計算． 均值、方差的實際應用 [探究問題] 1．A，B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表： A機床 次品數(shù)X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B機床 次品數(shù)X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 試求E(X1)，E(X2)． [提示]　E(X1)＝00.7＋10.2＋20.06＋30.04＝0.44. E(X2)＝00.8＋10.06＋20.04＋30.10＝0.44. 2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？ [提示]　不能．因為E(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，試想利用什么指標可以比較A、B兩臺機床加工質(zhì)量？ [提示]　利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定． 　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術. 【導學號：95032193】 [思路探究]　(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列． (2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的均值，然后再看其方差值． [解]　(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得： E(ξ)＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2； E(η)＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7； D(ξ)＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96； D(η)＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)D(X2)，則自動包裝機________的質(zhì)量較好． 乙　[因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機的質(zhì)量穩(wěn)定．] 5．為防止風沙危害，某地政府決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)＝4，D(X)＝，求n，p的值. 【導學號：95032195】 [解]　由題意知，X服從二項分布B(n，p)， 由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝， 得1－p＝， ∴p＝，n＝6.