2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題2 三角函數(shù)、解三角形 第2講 小題考法——三角恒等變換與解三角形學(xué)案.doc

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第2講　小題考法——三角恒等變換與解三角形 一、主干知識(shí)要記牢 1．兩組三角公式 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β． ②cos(αβ)＝cos αcos β?sin αsin β． ③tan(αβ)＝． 輔助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)． (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α． ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． 降冪公式：sin2α＝，cos2α＝． ③tan 2α＝． 2．正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 3．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C． 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝． 4．三角形面積公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C． 二、二級(jí)結(jié)論要用好 1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C． 2．△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列的充要條件是B＝60． 3．△ABC為正三角形的充要條件是A，B，C成等差數(shù)列，且a，b，c成等比數(shù)列． 4．S△ABC＝(R為△ABC外接圓半徑)． 三、易錯(cuò)易混要明了 1．對(duì)三角函數(shù)的給值求角問(wèn)題，應(yīng)選擇該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)，這樣，由三角函數(shù)值才可以唯一確定角，若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好． 2．利用正弦定理解三角形時(shí)，注意解的個(gè)數(shù)，可能有一解、兩解或無(wú)解．在△ABC中，A>B?sin A>sin B． 考點(diǎn)一　三角恒等變換與求值 1．三角恒等變換的策略 (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．解決條件求值問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn) (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來(lái)表示未知角． (2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示． (3)求解三角函數(shù)中的給值求角問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大?。? 1．(2018邵陽(yáng)模擬)若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,2)，則sin(　C　) A．－ B．－ C． D． 解析　由題得sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以sin＝sin α＋cos α＝－＝，故選C． 2．(2018延安一模)已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，則sin θcos θ＋cos2θ的值為(　C　) A． B． C． D． 解析　∵sin＋3cos(π－θ)＝cos θ－3cos θ＝ －2cos θ＝ sin(－θ)， ∴tan θ＝2，則sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝，故選C． 3．(2018湖北聯(lián)考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，則θ＝(　D　) A．或 B．或 C．或 D．或 解析　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π， ∴cos ＞0，sin ＜0， ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝， ∴cos＝， ∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ.k∈Z， 即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z， ∵3π≤θ≤4π，∴θ＝或，故選D． 考點(diǎn)二　利用正、余弦定理解三角形 解三角形問(wèn)題的求解策略 已知條件 解題思路 兩角A，B與一邊a 由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c 兩邊b，c及其夾角A 由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C 三邊a，b，c 由余弦定理可求出角A，B，C 兩邊a，b及其中一邊的對(duì)角A 由正弦定理＝可求出另一邊b的對(duì)角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，而通過(guò)＝求角B時(shí)，可能有一解或兩解或無(wú)解的情況 1．(2018濰坊二模)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且＝，則A＝(　C　) A． B． C． D． 解析　∵＝， ∴由正弦定理可得＝， 即abcos B＝(2c－b)bcos A．∴由余弦定理可得 ab＝(2c－b)b， 整理可得bc＝b2＋c2－a2.∴cos A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.故選C． 2．(2018武漢一模)在△ABC中，AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是(　A　) A． B． C． D． 解析　＝，所以sin C＝sin A，所以0＜sin C≤，因AB＜BC，C必定為銳角，故C∈． 3．(2018郴州二模)在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，則角C的值　?。? 解析　在△ABC中，由(a2＋b2－c2)tan C＝ab，整理得＝，即cos C＝，∵cos C≠0，∴sin C＝，∵C為△ABC內(nèi)角，∴C＝或，因?yàn)棣BC為銳角三角形，∴C＝，故答案為． 考點(diǎn)三　正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 解三角形實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題思路 (1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解已知條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 1．如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且∠BAC＝135.若山高AD＝100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度約為_(kāi)_22.6__m/s(精確到0.1，≈1.414，≈2.236)． 解析　因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以∠BAD＝60，∠CAD＝45.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC＝14v． 在Rt△ADB中，AB＝＝＝200． 在Rt△ADC中，AC＝＝＝100． 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos∠BAC， 即(14v)2＝(100)2＋2002－2100200cos 135，所以v＝≈22.6， 所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s． 2．如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過(guò)420 s后看山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹開(kāi)_2_650__m．(?。?.4，＝1.7) 解析　如圖，作CD垂直于AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D， 由題意知∠A＝15，∠DBC＝45，∴∠ACB＝30． 又在△ABC中，AB＝50420＝21 000， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝sin 15＝10 500(－)． ∵CD⊥AD，∴CD＝BCsin∠DBC＝10 500(－)＝10 500(－1)＝7 350． 故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10 000－7 350＝2 650(m)．