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第二講 三角恒等變換與解三角形
年份
卷別
考查角度及命題位置
命題分析及學科素養(yǎng)
2018
Ⅰ卷
利用正、余弦定理解三角形T16
命題分析
三角變換及解三角形是高考考查的熱點，然而單獨考查三角變換的題目較少，題目往往以解三角形為背景，在應用正弦定理、余弦定理的同時，經常應用三角變換進行化簡，綜合性比較強，但難度不大．
學科素養(yǎng)
三角變換及解三角形在學生能力考查中主要考查邏輯推理及數學運算兩大素養(yǎng)，通過三角恒等變換及正、余弦定理來求解相關問題.
Ⅱ卷
二倍角公式應用及余弦定理解三角形T7
Ⅲ卷
三角變換求值T14
解三角形T11
2017
Ⅰ卷
三角變換求值T15
正弦定理解三角形T11
Ⅲ卷
三角函數求值T4
正弦定理解三角形T15
2016
Ⅰ卷
利用余弦定理解三角形T4
Ⅱ卷
利用正弦定理解三角形T15
Ⅲ卷
三角恒等變換求值問題T6
解三角形T9
三角恒等變換
授課提示：對應學生用書第23頁
[悟通——方法結論]
三角函數恒等變換“四大策略”
(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等；
(2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
[全練——快速解答]
1．(2018合肥模擬)sin 18sin 78－cos 162cos 78＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin 18sin 78－cos 162cos 78＝sin 18sin 78＋cos 18cos 78＝cos(78－18)＝cos 60＝，故選D.
答案：D
2．(2018高考全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝.
故選B.
答案：B
3．(2018沈陽模擬)已知tan θ＝2，則＋sin2θ的值為( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tan θ＝2代入，得原式＝，故選C.
答案：C
4．(2017高考全國卷Ⅰ)已知α∈(0，)，tan α＝2，則cos(α－)＝________.
解析：∵α∈(0，)，tan α＝2，∴sin α＝，cos α＝，∴cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝(＋)＝.
答案：
【類題通法】
三角函數式的化簡方法及基本思路
(1)化簡方法
弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換，輔助角公式等．
(2)化簡基本思路
“一角二名三結構”，即：
一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯系，把角進行合理地拆分，從而正確使用公式；
二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”，關于sin αcos α的齊次分式化切等；
三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等．
解三角形的基本問題及應用
授課提示：對應學生用書第23頁
[悟通——方法結論]
正、余弦定理、三角形面積公式
(1)＝＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(1)(2017高考全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝( )
A. B.
C. D.
解析：因為sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0，因為sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因為A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0
1，AC＝AB＋，當△ABC的周長最短時，BC的長是________．
解析：設AC＝b，AB＝c，BC＝a，△ABC的周長為l，
由b＝c＋，得l＝a＋b＋c＝a＋2c＋.
又cos 60＝＝，即ab＝a2＋b2－c2，
得a＝a2＋2－c2，
即c＝.
l＝a＋2c＋＝a＋＋
＝＋
＝3＋
≥3＋，
當且僅當a－1＝時，△ABC的周長最短，
此時a＝1＋，即BC的長是1＋.
答案：1＋
解三角形的綜合問題
授課提示：對應學生用書第24頁
[悟通——方法結論]
三角形中的常用結論
(1)A＋B＝π－C，＝－.
(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然．
(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(4)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C(A，B，C≠)．
(2017高考全國卷Ⅱ)(12分)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)；
(2)若，，求b.
[學審題]
條件信息
想到方法
注意什么
信息?：兩角和與半角的三角等式關系
三角形內角和定理及倍角公式
(1)三角形中的三角恒等關系式化簡時，三角形內角和定理及倍角公式的正確使用
(2)轉化與化歸思想、整體代入思想在解題過程中的應用
信息?：求cos B
化已知條件為cos B的關系式
信息?：a＋c＝6
尋找平方后與余弦定理中a2＋c2的關系式
信息?：三角形面積為2
利用面積公式來求ac的值
[規(guī)范解答] (1)由題設及A＋B＋C＝π得
sin B＝8sin2， (2分)
即sin B＝4(1－cos B)， (3分)
故17cos2B－32cos B＋15＝0， (4分)
解得cos B＝，cos B＝1(舍去)． (6分)
(2)由cos B＝，得sin B＝， (7分)
故S△ABC＝acsin B＝ac. (8分)
又S△ABC＝2，則ac＝. (9分)
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) (10分)
＝36－2
＝4. (11分)
所以b＝2. (12分)
【類題通法】
1．與三角形面積有關的問題的解題模型
2．學科素養(yǎng)：通過三角恒等變換與利用正、余弦定理著重考查邏輯推理與數學運算兩大素養(yǎng)．
[練通——即學即用]
(2018長郡中學模擬)在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin Acos2A－cos(B＋C)＝sin 3A＋.
(1)求A的大??；
(2)若b＝2，求△ABC面積的取值范圍．
解析：(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cos A?、?，
∵3A＝2A＋A，∴sin 3A＝sin(2A＋A)＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A?、冢?
又sin 2A＝2sin Acos A ③，
cos 2A＝2cos2A－1?、埽?
將①②③④代入已知，得2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋，
整理得sin A＋cos A＝，即sin＝，
又A∈，
∴A＋＝，即A＝.
(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，
∵△ABC為銳角三角形，
∴－B∈且B∈，
解得B∈，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴c＝＝＝＋1，
又B∈，∴∈，∴c∈(1,4)，
∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈.
授課提示：對應學生用書第115頁
一、選擇題
1．(2018合肥調研)已知x∈，且cos＝sin2x，則tan等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
解析：由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，
∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，
∴tan＝＝.
答案：A
2．(2018成都模擬)已知sin α＝，α∈，則cos的值為( )
A. B.
C. D.
解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝，
sin 2α＝2sin αcos α＝2＝＝，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝1－＝，
∴cos＝－＝.
答案：A
3．(2018昆明三中、五溪一中聯考)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于( )
A． B．
C．－ D．－
解析：因為2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，
即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
＝4，
所以＝4，
解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
答案：C
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若0，∴cos B<0，∠BDC＝，
所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.
在△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠BCA
＝2＋6－2＝2，
所以AB＝，所以∠ABC＝，
在△BCD中，＝，
即＝，解得CD＝.
答案：
三、解答題
13．(2018武漢調研)在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0.
(1)求角A的值；
(2)若b＝且b≤a，求a的取值范圍．
解析：(1)由cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0，
得2sin2B－2sin2A＋2＝0，
化簡得sin A＝，又△ABC為銳角三角形，故A＝.
(2)∵b＝≤a，∴c≥a，∴≤C<，
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專題二
三角函數、平面向量
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三角恒等變換與解三角形教案
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