2019版高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形學案.doc

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第三章　三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形 第1課時　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) ① 了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義. ② 了解弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化. ③ 理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切． ① 能進行角度與弧度的互化. ② 能判斷角所在的象限，會判斷半角和倍角所在的象限. ③ 準確理解任意角的三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準確判斷三角函數(shù)值的符號． 1. (必修4P10習題9改編)小明從家步行到學校需要15 min，則這段時間內鐘表的分針走過的角度是________．　 答案：－90 解析：利用定義得分針是順時針走的，形成的角是負角．又周角為360，所以15＝90，即分針走過的角度是－90. 2. (必修4P10習題4改編)若角θ的終邊與角的終邊相同，則在[0，2π)內終邊與角的終邊相同的角的集合為__________________．(用列舉法表示) 答案： 解析：由題意θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝＋kπ(k∈Z)． 由0≤<2π，即0≤＋kπ<2π知－≤k<，k∈Z. ∴ k＝0或1.故在[0，2π)內終邊與角的終邊相同的角的集合為. 3. (必修4P9例3改編)已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為__________． 答案：6 解析：設扇形的半徑為R，則R2α＝2，∴ R24＝2.而R2＝1，∴ R＝1，∴ 扇形的周長為2R＋αR＝2＋4＝6. 4. 已知角θ的終邊經(jīng)過點P(8，m＋1)，且sin θ＝，則m＝________． 答案：5 解析：sin θ＝＝，解得m＝5. 5. 函數(shù)y＝lg(2cos x－1)的定義域為____________． 答案：(k∈Z) 解析：∵ 2cos x－1＞0，∴ cos x＞.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，∴ x∈(k∈Z)． 1. 任意角 (1) 角的概念的推廣 ① 按旋轉方向不同分為正角、負角、零角． ② 按終邊位置不同分為象限角和軸線角． (2) 終邊相同的角 終邊與角α相同的角可寫成α＋k360(k∈Z)． (3) 弧度制 ① 1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角． ② 規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑． ③ 弧度與角度的換算：360＝2π rad；180＝π rad；1＝ rad；1 rad＝度． ④ 弧長公式：l＝|α|r． 扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2． 2. 任意角的三角函數(shù) (1) 任意角的三角函數(shù)的定義 設P(x，y)是角α終邊上任意一點，且|PO|＝r(r＞0)，則有sin α＝，cos α＝，tan α＝，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)． (2) 三角函數(shù)在各象限內的正值口訣是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函數(shù)值 角α α弧度數(shù) sin α cos α tan α 0 0 0 1 0 30 45 1 60 90 1 0 / 120 － － 續(xù)表 角α α弧度數(shù) sin α cos α tan α 135 － －1 150 － － 180 π 0 －1 0 270 －1 0 / 3. 三角函數(shù)線 設角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM垂直x軸于點M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知， 點P的坐標為(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan α＝AT．我們把有向線段OM，MP，AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線． 三角函數(shù)線 [備課札記] ,　　　　　　　　　1　象限角及終邊相同的角) ,　　　　　1)　(1) 已知α＝－2 017，則與角α終邊相同的最小正角為________，最大負角為________． (2) (必修4P10習題12改編)已知角α是第三象限角，試判斷： ① π－α是第幾象限角？② 是第幾象限角？③ 2α的終邊在什么位置？ (1) 答案：143?。?17 解析：α可以寫成－6360＋143的形式，則與α終邊相同的角可以寫成k360＋143(k∈Z)的形式．當k＝0時，可得與角α終邊相同的最小正角為143，當k＝－1時，可得最大負角為－217. (2) 解：①∵ α是第三象限角， ∴ 2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z. ∴ －2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z. ∴ π－α是第四象限角． ② ∵ kπ＋<0)，扇形所在圓的半徑為R. (1) 若α＝90，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積； (2) 若扇形的周長是一定值C cm(C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 解：(1) 設弧長為l，弓形面積為S弓，又α＝90＝，R＝10，則l＝10＝5π(cm)， S弓＝S扇－S三角形＝5π10－102＝25π－50 (cm2)． (2) 扇形周長C＝2R＋l＝(2R＋αR)cm，∴ R＝cm， ∴ S扇＝αR2＝α＝＝≤. 當且僅當α2＝4，即α＝2時，扇形面積有最大值 cm2. 1. 給出下列命題： ① 第二象限角大于第一象限角； ② 三角形的內角是第一象限角或第二象限角； ③ 不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關； ④ 若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同； ⑤ 若cos θ<0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確的命題是________．(填序號) 答案：③ 解析：由于第一象限角370大于第二象限角100，故①錯；當三角形的內角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；正弦值相等，但角的終邊不一定相同，故④錯；當θ＝π時，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤錯．綜上可知，只有③正確． 2. 已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝________． 答案：－ 解析：取終邊上一點(a，2a)(a≠0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. 3. (2017揚州一中月考改編)已知角α的終邊與單位圓x2＋y2＝1交于點P，則cos α＝________． 答案： 解析：∵ r＝1，∴ cos α＝＝. 4. (2017蘇北四市期末)已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案：(－2，3] 解析：∵ cos α≤0，sin α>0， ∴ 角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴ ∴ －20，即sin x－cos x<0. 則sin x－cos x＝－＝－＝－. (1) sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x) ＝＝－. (2) 由得則tan x＝－. 即＝＝. 變式訓練 (2017鹽城模擬)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為________． 答案： 解析：∵ <α<，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2＝， ∴ cos α－sin α＝. ,　　　　　2)　(必修4P23習題12(2)改編)化簡： (－)(－)． 解：原式＝[－][－]＝(－)(－)＝ ＝ 若α為第二象限角，則cos α＋sin α＝________． 答案：0 解析：原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α.因為α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0. ,　　　　　　　　　2　誘導公式及其運用) ,　　　　　3)　已知sin＝，則sin＋sin2的值為__________． 答案： 解析：由誘導公式得sin ＝－sin＝－，sin2＝cos2＝，則sin＋sin2＝－＝. 變式訓練 已知cos＝a(|a|≤1)，則cos＋sin＝__________． 答案：0 解析：由題意知，cos＝cos＝ －cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， ∴ cos＋sin＝0. ,　　　　　　　　　3　同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式的綜合應用) ,　　　　　4)　(1) 設tan(5π＋α)＝m，求的值； (2) 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個內角． 解：(1) 由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m， ∴ ＝＝＝. (2) 由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝. (ⅰ) 當cos A＝時，cos B＝. 又∵ A，B是三角形的內角， ∴ A＝，B＝，∴ C＝π－(A＋B)＝. (ⅱ) 當cos A＝－時，cos B＝－. 又∵ A，B是三角形的內角， ∴ A＝，B＝，不合題意． 綜上知，A＝，B＝，C＝. 變式訓練 (1) (2017江西聯(lián)考)已知tan(π－α)＝－，且α∈，求的值； (2) 在△ABC中，若sin(3π－A)＝sin(π－B)，cos＝cos(π－B)．試判斷三角形的形狀． 解：(1) 由已知得tan α＝，＝＝＝＝－. (2) 由題設條件，得sin A＝sin B，－sin A＝－cos B， ∴ sin B＝cos B，∴ tan B＝1. ∵ B∈(0，π)，∴ B＝， ∴ sin A＝＝1. 又A∈(0，π)，∴ A＝，∴ C＝. ∴ △ABC是等腰直角三角形． 1. 已知cos 31＝a，則sin 239tan 149的值是________． 答案： 解析：sin 239tan 149＝sin(270－31)tan(180－31)＝(－cos 31)(－tan 31)＝sin 31＝. 2. 已知α為銳角，且tan(π－α)＋3＝0，則sin α的值是________． 答案： 解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即＝3，sin α＝3cos α，所以sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝.因為α為銳角，所以sin α＝. (解法2)因為α為銳角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如圖所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC＝3，則AC＝1，所以AB＝＝，故sin α＝＝. 3. (2017南通調研)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ＝________． 答案：－ 解析：∵ sin θ＋cos θ＝，∴ 2sin θcos θ＝， ∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，∴ sin θ－cos θ＝或－.∵ θ∈，∴ sin θ，求x的取值范圍． 解：(1) 周期T＝＝π，∴ ω＝2. ∵ f＝cos＝cos＝－sin φ＝.又－<φ<0，∴ φ＝－. (2) 由(1)得f(x)＝cos，列表如下： x 0 π π π π 2x－ － 0 π π π f(x) 1 0 －1 0 圖象如圖： (3)∵ cos>，∴ 2kπ－<2x－<2kπ＋，∴ 2kπ＋<2x<2kπ＋， ∴ kπ＋0)的形式，再將ωx＋φ看成整體，利用正弦函數(shù)y＝sin x的性質進行求解． ●題組練透 1. 將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ＞0)個單位，若所得的圖象過點，則φ的最小值為__________． 答案： 解析：易知y＝sin 2(x＋φ)，即y＝sin(2x＋2φ)．∵ 圖象過點，∴ sin＝，∴ ＋2φ＝＋2kπ或＋2φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝kπ或φ＝＋kπ，k∈Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值為.Ｋ  2. 設函數(shù)y＝sin(0＜x＜π)，當且僅當x＝時，y取得最大值，則正數(shù)ω的值為__________． 答案：2 解析：當x＝時，令ωx＋＝，則正數(shù)ω＝2. 3. 函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為________． 答案：－ 解析：由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為－. 4. 設函數(shù)f(x)＝2sin的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)． (1) 求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2) 當x∈時，試求y＝f的最值，并寫出取得最值時自變量x的值． 解：(1) 因為f(x)的最小正周期為π，所以T＝＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin＝0.又|φ|＜，所以φ＝－，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x.則2x∈(k∈Z)，解得函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2) 當x∈時，2x－∈，y＝f＝2sin 2＝2sin. 當2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值2；當2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值－. ,　　　　　　　　　3　根據(jù)圖象和性質確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式) ,　　　　　3)　設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分圖象如圖所示． (1) 求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2) 當x∈時，求f(x)的取值范圍． 解：(1) 由圖象知，A＝2. 又＝－＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x＋φ)，將點代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)． 又－＜φ＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin. (2) 當x∈時，x＋∈， 所以sin∈， 即f(x)∈[－，2]． 變式訓練 已知函數(shù)f(x)＝2sin(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為. (1) 求f的值； (2) 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)的單調遞減區(qū)間． 解：(1) ∵ f(x)為偶函數(shù)， ∴ φ－＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z. ∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝. 由題意得＝2，解得ω＝2. 故f(x)＝2cos 2x，f＝2cos ＝. (2) 將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到f的圖象，所以g(x)＝f(－)＝2cos＝2cos. 當2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)時，g(x)單調遞減． 因此g(x)的單調遞減區(qū)間為[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)． ,　　　　　　　　　4　三角函數(shù)的應用) ,　　　　　4)　(必修4P42例2改編)如圖，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉動5圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間． (1) 將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)； (2) 點P第一次到達最高點大約需要多少時間？ 解：(1) 建立如圖所示的直角坐標系， 設角φ是以Ox為始邊，OP0為終邊的角． OP每秒鐘內所轉過的角為＝. 則OP在t(s)內所轉過的角為t. 由題意可知水輪逆時針轉動，得z＝4sin＋2. 當t＝0時，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－. 故所求函數(shù)解析式為z＝4sin＋2. (2) 令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1. 令t－＝，得t＝4， 故點P第一次到達最高點大約需要4 s. 如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面距離為0.8 m，且60 s轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面間的距離為h. (1) 求h與θ之間的函數(shù)解析式； (2) 設從OA開始轉動，經(jīng)過t s后到達OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少． 解：(1) 以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系． 則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－， 故點B的坐標為， ∴ h＝5.6＋4.8sin. (2) 點A在圓上轉動的角速度是 rad/s， 故t s轉過的弧度數(shù)為t， ∴ h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 到達最高點時，h＝10.4 m. 由sin＝1，得t－＝，∴ t＝30 s， ∴ 纜車到達最高點時，用的最少時間為30 s. 1. 已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，且它的圖象過點，則φ的值為__________． 答案：－ 解析：f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的最小正周期為π，則ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，它的圖象過點，則sin＝－，故φ＝－. 2. 函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示．若A，B兩點之間的距離AB＝5，則ω的值為________． 答案： 解析：AB＝5，|yA－yB|＝4，則|xA－xB|＝3＝，則T＝6，則＝6，ω＝. 3. 將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位得到的圖象關于點對稱，則φ＝________． 答案： 解析：由題意得平移以后的函數(shù)為y＝sin，因為圖象關于點對稱，所以2＋＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．因為0<φ<π，所以φ＝. 4. 函數(shù)f(x)＝cos(πx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1) 求φ及圖中x0的值； (2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：(1) 由圖可知，f(0)＝f(x0)＝， 即cos φ＝，cos(πx0＋φ)＝. 又φ∈，x0>0，所以φ＝，x0＝. (2) 由(1)可知f(x)＝cos. 因為x∈，所以－≤πx＋≤. 所以當πx＋＝0，即x＝－時，f(x)取得最大值1； 當πx＋＝，即x＝時，f(x)取得最小值0. 1. (2017南師附中、淮陰中學、海門中學、天一中學四校聯(lián)考)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，若函數(shù)f(x)的圖象過原點，則φ＝________． 答案： 解析：將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數(shù)f(x)＝sin＝sin的圖象，若函數(shù)f(x)的圖象過原點，則f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z.又0<φ<π，則φ＝. 2. 若函數(shù)y＝sin(ωx－φ)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是______． 答案：2， 解析：由題圖可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2.又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)．而|φ|<，所以φ＝. 3. (2017第三次全國大聯(lián)考江蘇卷)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ(0<φ<π)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經(jīng)過點P，則φ的值為________． 答案： 解析：由題意，可得sin θ＝.因為－＜θ＜，所以θ＝.因為g(x)＝sin，所以sin＝.又因為0＜φ＜π，所以－2φ＋∈，－2φ＋＝－，φ＝. 4. 已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為3，則 (1) m＝________； (2) 當f(x)在[a，b]上至少含20個零點時，b－a的最小值為________． 答案：(1) 0　(2) 解析：(1) f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin ＋m＋1. 因為0≤x≤，所以≤2x＋≤. 所以－≤sin≤1， f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，∴ m＝0. (2) 由(1)得f(x)＝2sin＋1，周期T＝＝π，在長為π的閉區(qū)間內有2個或3個零點． 由2sin＋1＝0，得sin＝－， 2x＋＝2kπ＋，k∈Z或2x＋＝2kπ＋，k∈Z， 所以x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z. 不妨設a＝，則當b＝9π＋時，f(x)在區(qū)間[a，b]上恰有19個零點，當b＝9π＋時恰有20個零點，此時b－a的最小值為9π＋＝. 1. 求三角函數(shù)的定義域實際上是解簡單的三角函數(shù)不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． 2. 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型： ① 形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)； ② 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)； ③ 形如y＝asin xcos x＋b(sin xcos x)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sin xcos x，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)．　 3. 對于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k函數(shù)的性質(定義域、值域、單調性、對稱性、最值等)，可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉化為研究y＝sin t的性質． 4. 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由最高(低)點的縱坐標確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標來確定φ，但由條件求得y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范圍，才能得出惟一解． 5. 由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(ω＞0)個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值． [備課札記] 第4課時　兩角和與差的正弦、余弦和 正切公式(對應學生用書(文)、(理)56～58頁) 掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式，能運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明． ① 了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程.② 能從兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、兩角和與差的正切公式，體會化歸思想的應用． 1. 設α∈，若sin α＝，則cos＝________． 答案： 解析：∵ α∈，且sin α＝，∴ cos α＝. ∴ cos＝cos αcos －sin αsin＝－＝. 2. (必修4P106練習4改編)sin 20cos 10 －cos 160sin 10＝__________． 答案： 解析：sin 20cos 10－cos 160sin 10＝sin 20cos 10＋cos 20sin 10＝sin 30＝. 3. (必修4P109練習8改編)函數(shù)y＝sin x＋cos x的值域是__________． 答案：[－2，2] 解析：y＝sin x＋cos x＝2sin∈[－2，2]． 4. (必修4P118習題9改編)若α＋β＝，則(tan α＋1)(tan β＋1)的值是________． 答案：2 解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan (1－tan αtan β)＋1＝2. 5. (必修4P110例6改編)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則的值為________． 答案： 解析：(解法1) ? 從而＝＝5＝. (解法2)設x＝，∵ ＝5， ∴ ＝＝＝＝5. ∴ x＝，即 ＝. 1. 兩角差的余弦公式推導過程 設單位圓上兩點P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，則∠P1OP2＝α－β(α>β)． 向量a＝＝(cos α，sin α)，b＝＝(cos β，sin β)， 則ab＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)， 由向量數(shù)量積的坐標表示，可知ab＝cos αcos β＋sin αsin β， 因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之間的關系及導出過程 3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； tan(α－β)＝； tan(α＋β)＝． 4. asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝.φ的終邊所在象限由a，b的符號來決定． 5. 常用公式變形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)； sin α＋cos α＝sin； sin α－cos α＝sin. [備課札記]  ,　　　　　　　　　1　利用角的和、差公式進行化簡、求值或證明) ,　　　　　1)　(1) 求值：＝__________； (2) (原創(chuàng))化簡：tan(18－θ)＋[tan(18－θ)＋tan(12＋θ)]＝__________． 答案：(1) 　(2) 1 解析：(1) 原式＝ ＝ ＝＝. (2) 原式＝tan(18－θ)＋[tan(18－θ)＋tan(12＋θ)]＝tan(18－θ)tan(12＋θ)＋tan[(18－θ)＋(12＋θ)][1－tan(18－θ)tan(12＋θ)] ＝tan(18－θ)tan(12＋θ)＋[1－tan(18－θ)tan(12＋θ)]＝1. 變式訓練 (1) (改編題)求4(cos 24cos 26－cos 66sin 26)－tan 40的值； (2) 化簡：sin(θ＋75)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋15)． 解：(1) 原式＝4(sin 66cos 26－cos 66sin 26)－tan 40 ＝4sin 40－＝ ＝＝ ＝＝＝. (2) 原式＝sin[(θ＋45)＋30]＋cos(θ＋45)－cos[(θ＋45)－30]＝sin(θ＋45)＋cos(θ＋45)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋45)－sin(θ＋45)＝0.,　　　　　　　　　2　給值求值、求角問題) ●典型示例 ,　　　　　2)　已知0＜α＜＜β＜π，tan＝－7，cos(β－α)＝. (1