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1.1
第一課時 正弦定理
預(yù)習(xí)課本P5～8，思考并完成以下問題
(1)直角三角形中的邊角關(guān)系是怎樣的？
(2)什么是正弦定理？
(3)正弦定理可進行怎樣的變形？
1．正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦之比相等，即＝＝＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．
2．正弦定理的變形：
(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin_C＝csin_A.
(5)＝＝＝.
[點睛] 正弦定理的變形實現(xiàn)了角化邊、邊化角的轉(zhuǎn)換，應(yīng)根據(jù)需要進行選擇．
3．解三角形
(1)解三角形是指由六個元素(三條邊和三個角)中的三個元素(至少有一個是邊)，求其余三個未知元素的過程．
(2)利用正弦定理可解決以下兩類解三角形問題：
①已知三角形的兩角及任一邊，求其他兩邊和一角；
②已知三角形的兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊 和角)．
[點睛] 已知兩邊和其中一邊所對角求另一邊的對角時可能會出現(xiàn)無解、一解、兩解的情況．如下表所示(已知a，b，A，求B)
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a
b
a≤b
解的個數(shù)
無解
一解
兩解
一解
一解
無解
1．在△ABC中，a＝4，A＝45，B＝60，則邊b＝________.
解析：由正弦定理，有＝，所以b＝＝＝2.
答案：2
2．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，則AB＝________.
解析：由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.
答案：2
3．在△ABC中，若A＝60，B＝45，BC＝3，則AC＝________.
解析：由正弦定理，得＝，
即＝，∴AC＝＝2.
答案：2
4．△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，則符合條件的三角形有________個．
解析：因為asin B＝，所以asin Ba，所以C>A，所以A＝45.
所以B＝180－60－45＝75.
因為＝，
所以b＝＝＝＝＋1.
已知兩邊及一邊的對角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．
(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一．
(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．
[活學(xué)活用]
1．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30，則B＝________.
解析：因為，a＝5，c＝10，A＝30，根據(jù)正弦定理可知＝所以，sin C＝＝，所以C＝45或135，即B＝105或15.
答案：105或15
2．△ABC中，B＝45，b＝，a＝1，則角A＝________.
解析：由正弦定理得，＝，解得sin A＝，所以A＝30或A＝150.又因b>a，所以B>A，則A＝30.
答案：30
正弦定理的變形應(yīng)用
[典例] 在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45，B＝30，則b＝________.
[解析] 由正弦定理知＝，
所以，＝，b＝sin B＝＝－1.
[答案] －1
利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理，這是正弦定理的一種重要作用，也是處理三角形問題的重要手段．正弦定理的變形有多種形式，要根據(jù)題目選擇合適的變形進行使用．
[活學(xué)活用]
在△ABC中，若acos A＝bsin B，則sin Acos A＋cos2B＝________.
解析：由正弦定理，可得sin Acos A＝sin2B，即sin Acos A＝1－cos2B，所以sin Acos A＋cos2B＝1.
答案：1
層級一 學(xué)業(yè)水平達標(biāo)
1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60，B＝45，則AC＝________.
解析：由正弦定理得＝，即＝，所以AC＝4.
答案：4
2．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，則a＝______.
解析：由正弦定理得＝，又b＝5，B＝，sin A＝，所以＝，a＝.
答案：
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，則sin B＝________.
解析：根據(jù)正弦定理＝，可得＝，解得sin B＝.
答案：
4．在△ABC中，B＝30，C＝120，則a∶b∶c＝________.
解析：A＝180－30－120＝30，由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
5．在△ABC中，a＝bsin A，則△ABC一定是________．
解析：由題意有＝b＝，則sin B＝1，即角B為直角，故△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
6．在△ABC中，已知c＝，A＝45，a＝2，則B＝________.
解析：∵＝，
∴sin C＝＝＝，
∴C＝60或120，當(dāng)C＝60時，B＝180－45－60＝75，當(dāng)C＝120時，B＝180－45－120＝15.
答案：75或15
7．已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝c＝＋且A＝75，則b＝________.
解析：sin A＝sin 75＝sin (30＋45)＝sin 30cos 45＋sin 45cos 30＝，
由a＝c＝＋，可知，C＝75，
所以B＝30，sin B＝，
由正弦定理得b＝sin B＝＝2.
答案：2
8．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若A＝105，B＝45，b＝2，則c＝________.
解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，
C＝180－(A＋B)＝30.
根據(jù)正弦定理：c＝＝＝2.
答案：2
9．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30，求a.
解：由正弦定理得＝，
所以sin B＝＝，
因為b>c，所以B>C＝30.
所以B＝60或B＝120.
當(dāng)B＝60時，A＝90，
則a＝＝12.
當(dāng)B＝120時，A＝30，
則a＝c＝6.
所以a＝6或a＝12.
10．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，求證：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2ab sin C.
證明：因為左邊＝4R2sin2Asin 2B＋4R2sin2Bsin 2A
＝8R2sin2Asin Bcos B＋8R2sin2Bsin Acos A
＝8R2sin Asin B(sin Acos B＋cos Asin B)
＝8R2sin Asin Bsin(A＋B)＝8R2sin Asin Bsin C
＝2(2Rsin A)(2Rsin B)sin C＝2absin C＝右邊，
所以等式成立．
層級二 應(yīng)試能力達標(biāo)
1．在△ABC中，若A＝60，a＝，則＝________.
解析：利用正弦定理變形，得＝＝＝，所以＝＝2.
答案：2
2．在△ABC中，已知b＝4，c＝8，B＝30，則a＝________.
解析：由正弦定理，得sin C＝＝＝1.
所以C＝90，A＝180－90－30＝60.
又由正弦定理，
得a＝＝＝4.
答案：4
3．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45，則A等于______．
解析：由正弦定理得，＝，解得sin A＝，又a>b，所以A＝60或120.
答案：60或120
4．在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為x，b，c，若滿足b＝2，B＝45的△ABC恰有兩解，則x的取值范圍是________．
解析：要使△ABC恰有兩解，xsin 45<2b，∴B＝30，∴C＝90，∴△ABC為直角三角形，由勾股定理得c＝2.
答案：2
8．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，b＝，A＋C＝2B，則A＝________.
解析：因為所以B＝，又因為＝，所以sin A＝＝＝，所以A＝45.
答案：45
9.如圖，一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60，行駛4 h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15，求此時船與燈塔的距離．
解：如題圖，由正弦定理得，
＝，
所以BC＝30 km.
∴此時船與燈塔的距離為30 km.
10．在△ABC中，已知a＝2bcos C，求證：△ABC為等腰三角形．
解：因為，a＝2bcos C，
所以，由正弦定理得2Rsin A＝4Rsin Bcos C.
所以2cos Csin B＝sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．所以sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin (B－C)＝0.所以B－C＝nπ(n∈Z)．
又因為B，C是三角形的內(nèi)角，
所以B＝C，即△ABC為等腰三角形．
層級二 應(yīng)試能力達標(biāo)
1．在△ABC中，lg(sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg(sin C－sin A)，則該三角形的形狀是________．
解析：由已知條件，lg(sin A＋sin C)＋lg(sin C－sin A)＝lg sin2B，
∴sin2C－sin2A＝sin2B.
由正弦定理可得c2＝a2＋b2.
故三角形為直角三角形．
答案：直角三角形
2.如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105，則AB＝________ m.
解析：因為∠ACB＝45，∠CAB＝105，所以∠ABC＝30，根據(jù)正弦定理得＝，解得AB＝50 m.
答案：50
3．在△ABC中，已知＝，則△ABC的形狀為________．
解析：因為＝，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以＝.
又因為sin Asin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B.
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為________．
解析：依據(jù)題設(shè)條件的特點，由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，從而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝.
答案：直角三角形
5．在△ABC中，b＝8，c＝8，S△ABC＝16，則A＝________.
解析：由S△ABC＝bcsin A得sin A＝，又因為0
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2018年高中數(shù)學(xué)
第一章
解三角形
1.1
正弦定理學(xué)案
蘇教版選修5
2018
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數(shù)學(xué)
三角形
正弦
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