2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關系學案 新人教A版必修4.doc
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1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關系 學習目標 1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關系(重點).2.會用同角三角函數(shù)的基本關系進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明(難點)． 知識點 同角三角函數(shù)的基本關系 1．同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商數(shù)關系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)． 2．同角三角函數(shù)基本關系式的變形 (1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式： sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α． (2)tan α＝的變形公式： sin α＝cos_αtan_α；cos α＝． 【預習評價】 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin2＋cos2＝1.( ) (3)對任意的角α，都有tan α＝成立．( ) 提示 (1) 在同角三角函數(shù)的基本關系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1． (2)√ 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1． (3) 當α＝＋kπ，k∈Z時就不成立． 題型一 利用同角三角函數(shù)的基本關系求值 【例1】 (1)若sin α＝－，且α為第三象限角，則tan α的值等于( ) A． B．－ C． D．－ 解析 ∵α為第三象限角， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝． 答案 C (2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝________． 解析 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝， 即2sin αcos α＝－<0， 又α∈(0，π)，則sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)， 故sin α－cos α＝＝， 可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－． 答案 － 規(guī)律方法 求三角函數(shù)值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知三角函數(shù)值之間的關系式求其它三角函數(shù)值的問題，我們可利用平方關系或商數(shù)關系求解，其關鍵在于運用方程的思想及(sin αcos α)2＝12sin αcos α的等價轉(zhuǎn)化，分析解決問題的突破口． 【訓練1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角， (1)當α是第二象限角時，則 sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝＝－． (2)當α是第三象限角時，則 sin α＝－＝－，tan α＝. 互動 探究 題型二 齊次式的求值問題 【探究1】 已知tan α＝2，求的值． 解?。剑剑? 【探究2】 已知tan α＝2，求． 解?。剑剑? 【探究3】 已知tan α＝2，求的值． 解?。剑剑剑? 【探究4】 已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值． 解 2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝ ＝＝＝． 【探究5】 已知＝，求sin αcos α的值． 解 方法一 由＝得cos α＋2sin α＝15cos α－5sin α，即sin α＝2cos α， ∴sin αcos α＝＝＝． 方法二 由方法一中sin α＝2cos α可得tan α＝2， ∴sin αcos α＝＝＝． 規(guī)律方法 已知角α的正切求關于sin α，cos α的齊次式的方法 (1)關于sin α，cos α的齊次式就是式子中的每一項都是關于sin α，cos α的式子且它們的次數(shù)之和相同，設為n次，將分子分母同除以cos α的n次冪，其式子可化為關于tan α的式子，再代入求值． (2)若無分母時，把分母看作1，并將1用sin2 α＋cos2 α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關于tan α的式子，再代入求值． 題型三 三角函數(shù)式的化簡與證明 【例2】 (1)化簡：sin2αtan α＋＋2sin αcos α； 解 原式＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α ＝ ＝＝ (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1． 證明 因為tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2 所以＋1＝2(＋1)， 通分可得＝ 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1． 規(guī)律方法 1.三角函數(shù)式的化簡技巧 (1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的． (2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的． (3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的． 2．含有條件的三角恒等式證明的常用方法 (1)直推法：從條件直推到結論； (2)代入法：將條件代入到結論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明； (3)換元法：把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，利用代數(shù)即可完成證明． 【訓練2】 (1)化簡：； 解 原式＝ ＝ ＝＝＝1． (2)求證：＝． 證明 ∵右邊＝ ＝＝ ＝＝＝左邊， ∴原等式成立． 課堂達標 1．若cos α＝－，且α是第二象限角，則tan α的值等于( ) A． B．－ C． D．－ 解析 由題意可得sin α＝＝， ∴tan α＝＝－． 答案 B 2．已知sin α＝，tan α＝－，則cos α＝( ) A．－ B． C．－ D． 解析 由sin α＝>0，tan α＝－<0，可知α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－． 答案 A 3．化簡－的結果是________． 解析 原式＝＝ ＝＝－． 答案 － 4．已知cos α＝－，且tan α>0，則＝________． 解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝ ＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－． 答案?。? 5．已知＝2，計算下列各式的值： (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1． 解 由＝2，化簡，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3． (1)原式＝＝＝． (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝． 課堂小結 1．同角三角函數(shù)的基本關系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角為“同角”． 2．已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇．一般是先選用平方關系，再用商數(shù)關系．在應用平方關系求sin α或cos α時，其正負號是由角α所在象限來決定，切不可不加分析，憑想象亂寫公式． 3．在三角函數(shù)的變換求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值． 4．在進行三角函數(shù)式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關系式變形的出發(fā)點．利用同角三角函數(shù)的基本關系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法． 5．在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用的技巧有：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數(shù)的個數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；(4)對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數(shù)關系來求解． 基礎過關 1．化簡的結果是( ) A．cos 160 B．|cos 160| C．cos 160 D．－cos 160 解析 ＝＝|cos 160| ＝－cos 160． 答案 D 2．已知sin α－cos α＝－，則sin αcos α等于( ) A． B．－ C．－ D． 解析 因為sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－． 答案 C 3．已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( ) A．－ B． C．－ D． 解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝＝， 又tan θ＝2，故原式＝＝． 答案 D 4．在△ABC中，若tan A＝，則sin A＝________． 解析 由tan A＝>0且角A是△ABC的內(nèi)角可得 0
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