2018版高中數學 第3章 不等式 3.2 均值不等式學案 新人教B版必修5.doc

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3.2　均值不等式 1.了解均值不等式的證明過程. 2.能利用均值不等式證明簡單的不等式及比較代數式的大小.(重點、難點) 3.熟練掌握利用均值不等式求函數的最值問題.(重點) [基礎初探] 教材整理1　均值不等式 閱讀教材P69～P71，完成下列問題. 1.重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a＝b時取“＝”). 2.均值不等式≤ (1)均值不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號. 3.算術平均數與幾何平均數 (1)設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為； (2)均值不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.(　　) (2)若a≠0，則a＋≥2＝4.(　　) (3)若a>0，b>0，則ab≤.(　　) (4)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(　　) (5)若ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為2.(　　) 【解析】　(1).任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當a，b都為正數時，不等式a＋b≥2成立. (2).只有當a>0時，根據均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立. (3)√.因為≤，所以ab≤. (4).因為不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；而≥成立的條件是a，b均為非負實數. (5)√.因為a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，當且僅當a＝b＝1時取等號，故a＋b的最小值為2. 【答案】　(1)　(2)　(3)√　(4)　(5)√ 教材整理2　均值不等式的應用 閱讀教材P70例1～P71例3，完成下列問題. 用均值不等式求最值的規(guī)律 (1)兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值. (2)兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩個正數的積為定值，一定存在兩數相等時，它們的和有最小值.(　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，則ab≤4.(　　) (3)當x>1時，函數f(x)＝x＋≥2，所以函數f(x)的最小值是2.(　　) (4)如果log3m＋log3n＝4，則m＋n的最小值為9.(　　) (5)若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，則xy的最大值為.(　　) 【解析】　(1)√.由均值不等式求最值條件可知. (2)√.因為≤＝＝2，所以ab≤4. (3).因為當x>1時，x－1>0，則f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3. 當且僅當x－1＝，即x＝2時，函數f(x)的取到最小值3. (4).因為由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而≥＝9， 所以m＋n≥18，當且僅當m＝n＝9時， m＋n取到最小值18. (5)√.因為x，y∈R＋，而4xy≤＝＝，所以xy≤. 當且僅當x＝4y，即x＝，y＝時取等號. 【答案】　(1)√　(2)√　(3)　(4)　(5)√ [小組合作型] 利用均值不等式比較代數式的大小 　(1)已知a，b，c是兩兩不等的實數，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關系是______. (2)給出下列命題： ①若x∈R，則x＋≥2； ②若a＞0，b＞0，則lg a＋lg b≥2； ③若a＜0，b＜0，則ab＋≥2； ④不等式＋≥2成立的條件是x＞0且y＞0.其中正確命題的序號是________. 【精彩點撥】　(1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c兩兩乘積的和，聯(lián)想均值不等式求解. (2)解本小題關鍵是弄清均值不等式適用的條件. 【自主解答】　(1)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q. (2)只有當x>0時，才能由均值不等式得到x＋≥2＝2，故①錯誤；當a>0，b>0時，lg a∈R，lg b∈R，不一定有l(wèi)g a>0，lg b>0，故lg a＋lg b≥2不一定成立，故②錯誤；當a<0，b<0時，ab>0，由均值不等式可得ab＋≥2＝2，故③正確；由均值不等式可知，當>0，>0時，有＋≥2＝2成立，這時只需x與y同號即可，故④錯誤. 【答案】　(1)p>q　(2)③ 1.在理解均值不等式時，要從形式到內含中理解，特別要關注條件. 2.運用均值不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b. [再練一題] 1.設a>0，b>0，試比較，，，的大小，并說明理由. 【導學號：18082044】 【解】　∵a>0，b>0，∴＋≥， 即≥(當且僅當a＝b時取等號)， 又＝ ≤＝， ∴≤(當且僅當a＝b時等號成立)， 而≤，故≥≥≥(當且僅當a＝b時等號成立). 不等式的證明 　已知a，b，c為不全相等的正實數. 求證：a＋b＋c>＋＋. 【精彩點撥】　 【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c為不全相等的正實數，故等號不成立. ∴a＋b＋c>＋＋. 1.所證不等式一端出現(xiàn)“和式”，而另一端出現(xiàn)“積式”，這便是應用均值不等式的“題眼”.可嘗試用均值不等式證明. 2.利用均值不等式證明不等式的策略 從已證不等式及問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質及有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后轉化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 3.利用均值不等式證明不等式的注意點 (1)多次使用均值不等式時，要注意等號能否成立； (2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用； (3)對不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，形成均值不等式模型，再使用. [再練一題] 2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：≥9. 【證明】　法一：因為a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋. 故＝＝ 5＋2≥5＋4＝9. 所以≥9(當且僅當a＝b＝時取等號). 法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋， 因為a，b為正數，a＋b＝1， 所以ab≤＝，于是≥4，≥8. 因此≥1＋8＝9(當且僅當a＝b＝時等號成立). 均值不等式的實際應用 　如圖321，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成. 現(xiàn)有36 m長的鋼筋網材料，每間虎籠的長、寬分別設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？ 圖321 【導學號：18082045】 【精彩點撥】　設每間虎籠長x m，寬y m，則問題是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值. 【自主解答】　設每間虎籠長x m，寬y m， 則由條件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 設每間虎籠面積為S，則S＝xy. 法一：由于2x＋3y≥2＝2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax＝，當且僅當2x＝3y時，等號成立. 由解得 故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大. 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x>0， ∴00.∴S≤＝. 當且僅當6－y＝y(tǒng)，即y＝3時，等號成立，此時x＝4.5. 故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大. 1.在應用均值不等式解決實際問題時，應注意如下思路和方法： (1)先理解題意，設出變量，一般把要求最值的量定為函數； (2)建立相應的函數關系，把實際問題抽象成函數的最大值或最小值問題； (3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 2.對于函數y＝x＋(k>0)，可以證明x∈(0，]及[－，0)上均為減函數，在[，＋∞)及(－∞，－]上都是增函數.求此函數的最值時，若所給的范圍含，可用均值不等式，不包含就用函數的單調性. [再練一題] 3.某漁業(yè)公司今年年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元.從第二年起包括維修費在內每年所需費用比上年增加4萬元.該船每年捕撈總收入50萬元. (1)問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？ (2)問捕撈幾年后的平均利潤最大，最大是多少？ 【解】　(1)設該船捕撈n年后的總盈利y萬元，則 y＝50n－98－ ＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102， ∴當捕撈10年后總盈利最大，最大是102萬元. (2)年平均利潤為＝－2 ≤－2＝12， 當且僅當n＝，即n＝7時上式取等號. ∴當捕撈7年后年平均利潤最大，最大是12萬元. [探究共研型] 利用均值不等式求最值 探究1　由x2＋y2≥2xy知xy≤，當且僅當x＝y(tǒng)時“＝”成立，能說xy的最大值是嗎？能說x2＋y2的最小值為2xy嗎？ 【提示】　最值是一個定值(常數)，而x2＋y2或2xy都隨x，y的變化而變化，不是定值，故上述說法均錯誤.要利用均值不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必須保證一端是定值，方可使用. 探究2　小明同學初學利用均值不等式求最值時，是這樣進行的： “因為y＝x＋≥2＝2，當且僅當x＝，即x2＝1時“＝”號成立，所以y＝x＋的最小值為2.”你認為他的求解正確嗎？為什么？ 【提示】　不正確.因為利用均值不等式求最值，必須滿足x與都是正數，而本題x可能為正，也可能為負.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正確解法應為：當x>0時，y＝x＋≥2＝2，當且僅當x＝，即x＝1時取“＝”，y＝x＋的最小值是2；當x<0時，y＝－≤－2＝－2，當且僅當x＝，即x＝－1時，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2. 探究3　已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以嗎？為什么？ “解：∵y＝＝x＋≥2＝4， ∴當x≥3時，y＝的最值為4.” 【提示】　不可以，因為在利用基本不等求解最值時，雖然將所求代數式進行變形，使其符合均值不等式的結構特征，但是必須符合“正”、“定”、“等”的條件，缺一不可.本解法忽略了等號成立的條件，即“＝”號不成立.本問題可采用y＝x＋的單調性求解. 　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知00，求f(x)＝的最大值； (4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 【精彩點撥】　變形所求代數式的結構形式，使用符合均值不等式的結構特征. (1)4x－2＋＝4x－5＋＋3. (2)x(1－2x)＝2x(1－2x). (3)＝. (4)x＋y＝(x＋y)1＝(x＋y). 【自主解答】　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 當且僅當5－4x＝，即x＝1時，上式等號成立， 故當x＝1時，ymax＝1. (2)∵00， ∴y＝2x(1－2x)≤＝＝. ∴當且僅當2x＝1－2x，即x＝時，ymax＝. (3)f(x)＝＝. ∵x>0，∴x＋≥2＝2， ∴f(x)≤＝1，當且僅當x＝，即x＝1時等號成立. (4)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16， 當且僅當＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12時，上式取等號. 故當x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16. 1.本例題目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先對其變形. 2.應用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的條件進行，若具備這些條件，可直接運用均值不等式，若不具備這些條件，則應進行適當的變形. 3.利用均值不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創(chuàng)設應用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：一不正，用其相反數，改變不等號方向；二不定，應湊出定和或定積；三不等，一般用單調性. [再練一題] 4.已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】　∵a>0，b>0，∴2a＋b>0，∴要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，當且僅當a＝b時，等號成立.∴m≤9.故應選B. 【答案】　B 1.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A.ab≤ B.ab≥ C.a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3 【解析】　由a＋b＝2，得ab≤＝1，排除選項A，B.由≥2，得a2＋b2≥2. 【答案】　C 2.已知x＞1，y＞1且lg x＋lg y＝4，則lg xlg y的最大值是(　　) A.4　　　B.2　　　C.1　　　D. 【解析】　∵x＞1，y＞1，∴l(xiāng)g x＞0，lg y＞0，lg xlg y≤＝4，當且僅當lg x＝lg y＝2，即x＝y(tǒng)＝100時取等號. 【答案】　A 3.函數y＝log2(x＞1)的最小值為(　　) A.－3　　　B.3　　　C.4　　　D.－4 【解析】　∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8，當且僅當x＝2時，取“＝”， ∴l(xiāng)og2≥3，∴ymin＝3. 【答案】　B 4.若正數a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________. 【解析】　∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9. 【答案】　[9，＋∞) 5.(1)當x＜時，求函數y＝x＋的最大值； (2)設0＜x＜2，求函數y＝的最大值. 【解】　(1)y＝(2x－3)＋＋ ＝－＋. 當x＜時，有3－2x＞0， ∴＋≥2＝4， 當且僅當＝，即x＝－時取等號. 于是y≤－4＋＝－，故函數的最大值為－. (2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0， ∴y＝＝≤＝， 當且僅當x＝2－x，即x＝1時取等號， ∴當x＝1時，函數y＝的最大值為.