《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理學(xué)案 新人教A版必修5.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理學(xué)案 新人教A版必修5.doc（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.1.2 余弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握余弦定理及其推論．(重點(diǎn)).2.掌握正、余弦定理的綜合應(yīng)用．(重點(diǎn)).3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀．(易錯(cuò)點(diǎn))
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
1．余弦定理
文字
表述
三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍
公式
表達(dá)
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
變形
cos A＝；cos B＝；cos C＝.
思考：在△ABC中，若a2
a2＋b2?C為鈍角；c2b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．( )
(3)在△ABC中，已知兩邊和其夾角時(shí)，△ABC不唯一．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)
提示：由余弦定理可知，已知△ABC的兩邊和其夾角時(shí)，第三邊是唯一確定的，所以△ABC是唯一的，(3)錯(cuò)誤．
2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120，則邊c＝________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432030】
2 [根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－246cos 120＝76，c＝2.]
3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，則B＝________.
60 [cos B＝＝＝，B＝60.]
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432031】
120 [∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
又∵A為△ABC的內(nèi)角，
∴A＝120.]
5．以下說法正確的是________(填序號(hào))．
①在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形；
③利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例．
②③④ [①錯(cuò)誤．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正確．余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形．
③正確．結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識(shí)可知正確．
④正確．余弦定理可以看作勾股定理的推廣．]
[合 作 探 究攻 重 難]
已知兩邊與一角解三角形
在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30，求角A，角C和邊a.
[解] 法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a3cos 30，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
當(dāng)a＝3時(shí)，A＝30，∴C＝120.
當(dāng)a＝6時(shí)，由正弦定理sin A＝＝＝1.
∴A＝90，∴C＝60.
法二：由bcsin 30＝3＝知本題有兩解．
由正弦定理sin C＝＝＝，
∴C＝60或120，當(dāng)C＝60時(shí)，A＝90，
由勾股定理a＝＝＝6，
當(dāng)C＝120時(shí)，A＝30，△ABC為等腰三角形，
∴a＝3.
[規(guī)律方法] 已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解.
若用正弦定理求解，需對(duì)角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(在(0，π)上，余弦值所對(duì)角的值是唯一的)，故用余弦定理求解較好.
[跟蹤訓(xùn)練]
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45，解這個(gè)三角形.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432032】
[解] 根據(jù)余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－22(＋)cos 45＝8，∴b＝2.
又∵cos A＝＝＝，
∴A＝60，C＝180－(A＋B)＝75.
已知三邊解三角形
已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大?。?
思路探究：已知三角形三邊的比，可設(shè)出三邊的長，從而問題轉(zhuǎn)化為已知三邊求三角，可利用余弦定理求解．
[解] 設(shè)a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，
有cosA＝＝＝，
∴∠A＝45.同理可得cos B＝，∠B＝60.
∴∠C＝180－∠A－∠B＝75.
[規(guī)律方法]
(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一．
(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．
[跟蹤訓(xùn)練]
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432033】
[解] ∵a>c>b，∴A為最大角，
由余弦定理的推論，得：
cos A＝＝＝－，
∴A＝120，∴sin A＝sin 120＝.
由正弦定理＝，得：
sin C＝＝＝，
∴最大角A為120，sin C＝.
正、余弦定理的綜合應(yīng)用
[探究問題]
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2C成立嗎？反之說法正確嗎？為什么？
提示：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R.
由正弦定理的變形，將a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之將sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說法均正確．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則C＝成立嗎？反之若C＝，則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？
提示：因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝，反之若C＝，則cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判斷△ABC的形狀.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432034】
思路探究：
[解] 法一：(角化邊)∵(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，
∴由正、余弦定理可得：
b＝a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC為直角三角形或等腰三角形．
法二：(邊化角)根據(jù)正弦定理，原等式可化為：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，
∴sin Bcos B＝sin Acos A.
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A”換為“acos A＋bcos B＝ccos C”其它條件不變，試判斷三角形的形狀．
[解] 由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知條件得a＋b＋c＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(變條件)將例題中的條件“(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A”換為“l(fā)g a－lg c＝lgsin B＝－lg 且B為銳角”判斷△ABC的形狀．
[解] 由lgsin B＝－lg ＝lg ，
可得sin B＝，又B為銳角，∴B＝45.
由lg a－lg c＝－lg ，得＝，∴c＝a.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴b2＝a2＋2a2－2a2＝a2，
∴a＝b，即A＝B.又B＝45，
∴△ABC為等腰直角三角形．
[規(guī)律方法] 判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀.
[當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基]
1．已知a，b，c是△ABC的三邊長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C的大小為( )
A．60 B．90
C．120 D．150
C [由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－，∴C＝120.]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432035】
A. B.
C. D.
B [由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝＝＝，所以C＝，故選B.]
3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．
等腰三角形 [法一：∵a＝2bcos C＝2b＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC為等腰三角形．
法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又－180
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2018年秋高中數(shù)學(xué)
第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.2
余弦定理學(xué)案
新人教A版必修5
2018
高中數(shù)學(xué)
三角形
正弦
定理
余弦
理學(xué)
新人
必修
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