2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 1 參數(shù)方程的概念講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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1．參數(shù)方程的概念 　 1．參數(shù)方程的概念 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t(θ，φ，…)的函數(shù)：①，并且對(duì)于每一個(gè)t的允許值，方程組①所確定的點(diǎn)(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程． 2．參數(shù)的意義 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)． 參數(shù)方程表示的曲線上的點(diǎn) 　　[例1]　已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)判斷點(diǎn)A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)與曲線C的位置關(guān)系； (2)若點(diǎn)F(10，a)在曲線C上，求實(shí)數(shù)a的值． [解]　(1)把點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)代入方程組，解得t＝0，所以點(diǎn)A(1,0)在曲線上．把點(diǎn)B(5,4)的坐標(biāo)代入方程組，解得t＝2，所以點(diǎn)B(5,4)也在曲線上．把點(diǎn)E(3,2)的坐標(biāo)代入方程組，得到即故方程組無解，所以點(diǎn)E不在曲線上． (2)因?yàn)辄c(diǎn)F(10，a)在曲線C上， 所以解得或所以a＝6. 參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式，點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷，與平面直角坐標(biāo)方程下的判斷方法是一致的． 1．已知點(diǎn)M(2，－2)在曲線C：(t為參數(shù))上，則其對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值為________． 解析：由t＋＝2，解得t＝1. 答案：1 2．已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)，a∈R)．點(diǎn)M(5,4)在該曲線上，求常數(shù)a. 解：∵點(diǎn)M(5,4)在曲線C上，∴解得 ∴a的值為1. 求曲線的參數(shù)方程 [例2]　如圖，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰長(zhǎng)為a，頂點(diǎn)B，A分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，求點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程． [思路點(diǎn)撥]　解決此類問題關(guān)鍵是參數(shù)的選?。纠杏捎贏，B的滑動(dòng)而引起點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，故可以O(shè)B的長(zhǎng)為參數(shù)，或以角為參數(shù)，此時(shí)不妨取BP與x軸正向夾角為參數(shù)來求解． [解]　法一：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于Q.如圖所示，則Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t為參數(shù)(0＜t＜a)．∵|OA|＝，∴|BQ|＝.∴點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(0＜t＜a)． 法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q，如圖所示．取∠QBP＝θ，θ為參數(shù)，則∠ABO＝－θ.在Rt△OAB中，|OB|＝acos＝asin θ.在Rt△QBP中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.∴點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為 求曲線參數(shù)方程的主要步驟 (1)畫出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)．畫圖時(shí)要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系． (2)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)．參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)唯一確定．例如，在研究運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，通常選時(shí)間為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，通常選旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)．此外，離某一定點(diǎn)的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數(shù)． (3)根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略． 3．設(shè)飛機(jī)以v＝150 m/s 作水平勻速飛行，若在飛行高度h＝490 m處投彈，求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程(設(shè)炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度)．(g＝9.8 m/s 2) 解：如圖，A為投彈點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,490)，B為目標(biāo)．記炸彈飛行的時(shí)間為t，在A點(diǎn)t＝0，設(shè)M(x，y)為飛行曲線上的任一點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)時(shí)刻t，炸彈初速度v0＝150 m/s，用物理學(xué)知識(shí)，分別計(jì)算水平、豎直方向上的路程，得(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))，這是炸彈飛行曲線的參數(shù)方程． 一、選擇題 1．下列方程可以作為x軸的參數(shù)方程的是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　x軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)可取任意實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)為0. 2．當(dāng)參數(shù)θ變化時(shí)，由點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)所確定的曲線過點(diǎn)(　　) A．(2,3) B．(1,5) C. D．(2,0) 解析：選D　當(dāng)2cos θ＝2，即cos θ＝1時(shí)，3sin θ＝0，所以過點(diǎn)(2,0)． 3．在方程(θ為參數(shù))所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(2，－7) B. C. D．(1,0) 解析：選C　將點(diǎn)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程，若能求出θ，則點(diǎn)在曲線上，經(jīng)檢驗(yàn)，知C滿足條件． 4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2，∴ 二、填空題 5．已知曲線(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)，下列各點(diǎn)A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲線上的點(diǎn)是________． 解析：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：θ＝0或π，將B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，方程無解，故A點(diǎn)在曲線上． 答案：A(1,3) 6．若曲線經(jīng)過點(diǎn)，則a＝________. 解析：將點(diǎn)代入曲線方程得cos θ＝，a＝2sin θ＝2 ＝. 答案： 7．動(dòng)點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動(dòng)，它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M位于A(1,1)，則點(diǎn)M的參數(shù)方程為__________． 解析：設(shè)M(x，y)，則在x軸上的位移為x＝1＋9t，在y軸上的位移為y＝1＋12t.∴其參數(shù)方程為 答案： 三、解答題 8.如圖，已知定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)Q是圓C：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，∠AOQ的平分線交AQ于點(diǎn)M，當(dāng)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程． 解：設(shè)點(diǎn)O到AQ的距離為d， 則|AM| d＝|OA||OM|sin ∠AOM， |QM|d＝|OQ||OM|sin ∠QOM， 又∠AOM＝∠QOM， 所以＝＝2，所以＝AQ―→. 設(shè)點(diǎn)Q(cos θ，sin θ)，M(x，y)， 則(x－2，y－0)＝(cos θ－2，sin θ－0)， 即x＝＋cos θ，y＝sin θ， 故點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 9.某飛機(jī)進(jìn)行投彈演習(xí)，已知飛機(jī)離地面高度為H＝2 000 m，水平飛行速度為v1＝100 m/s，如圖所示． (1)求飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移和離地面的高度； (2)如果飛機(jī)追擊一輛速度為v2＝20 m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？(g＝10 m/s2) 解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)炸彈投出機(jī)艙的時(shí)刻為0 s，在時(shí)刻t s時(shí)其坐標(biāo)為M(x，y)， 易知炸彈在飛行時(shí)作平拋運(yùn)動(dòng)， 依題意得 即 令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20， 所以飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移為100t m，離地面的高度為(2 000－5t2)m，其中0≤t≤20. (2)易知炸彈的水平方向運(yùn)動(dòng)和汽車的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)．以汽車為參考系，水平方向上s相對(duì)＝v相對(duì)t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)20＝1 600 m. 10．試確定過M(0,1)作橢圓x2＋＝1的弦的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：設(shè)過M(0,1)的弦所在的直線方程為y＝kx＋1， 其與橢圓的交點(diǎn)為(x1，y1)和(x2，y2)． 設(shè)中點(diǎn)P(x，y)，則有x＝，y＝. 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， ∴x1＋x2＝，y1＋y2＝， ∴就是以動(dòng)弦斜率k為參數(shù)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程．