2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式高效演練學(xué)案.doc

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第1講 一元二次方程根的判別式 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用．本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。 【知識(shí)梳理】 一元二次方程的根的判別式 一元二次方程，用配方法將其變形為： (1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： (2) 當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根： (3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實(shí)數(shù)根． 由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為： 【高效演練】 1.關(guān)于的方程的根的情況描述正確的是（） A．為任何實(shí)數(shù)，方程都沒有實(shí)數(shù)根 B．為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．根據(jù)的取值不同，方程根的情況分為沒有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種 【解析】求出一元二次方程根的判別式的值，然后據(jù)此判別，從而得出答案： ∵一元二次方程根的判別式為△=（2k）2－4（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0， ∴不論k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。故選B。 【答案】B 2.若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。? A. k≥0 B. k＞0 C. k≥ D. k＞ 【解析】由題意得，得， 又，綜上則選A 【答案】A 3.下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ） A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．方程（其中a為常數(shù)，且）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 4.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【解析】∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根， ∴ ，解得，且.故選B. 【答案】B 5.若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，則的值可以是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【解析】把兩函數(shù)的解析式組成方程組，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程解答問題，求出k的取值范圍，找出符合條件的k的值即可： ∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點(diǎn)， ∴無解，即無解，整理得x2+2x-k=0， ∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。 四個(gè)選項(xiàng)中只有-2＜-1，所以只有A符合條件。故選A。 【答案】A。 6.如圖，直線=+2與雙曲線=在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，那么m的取值范圍在數(shù)軸上表示為【 】 【解析】因?yàn)橹本€=+2與雙曲線=在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩方程求出m的取值范圍即可，然后在數(shù)軸上表示出m的取值范圍： 由+2=得2+2+3﹣m=0， ∵=+2與=有兩個(gè)交點(diǎn)， ∴方程2+2+3﹣m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根。 即△=4﹣4（3﹣m）＞0，解得m＞2。 又∵雙曲線在二、四象限，∴m﹣3＜0?！鄊＜3。 ∴m的取值范圍為：2＜m＜3。故在數(shù)軸上表示為B。故選B。 【答案】B。 7．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則的取之范圍為（ ） A. B. C. D. 【解析】根據(jù)題意得k?2≠0且△＝（2k＋1）?4（k?2）＞0， 解得：k＞且k≠2．故選C． 【答案】C 8.若關(guān)于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(　　) A. k＞5 B. k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k≤5 【解析】 關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根, 當(dāng)時(shí)，方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根. 當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程， 解得： 且綜上所述， . 故選D. 【答案】D 9.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1＋x2＝x1x2，則m的值是(　　) A. －2或3 B. 3 C. －2 D. －3或2 【答案】C 10.方程ax2+x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是________。 【解析】∵方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， ∴ ，解得且. 【答案】a＜且a≠0 11.有七張正面分別標(biāo)有數(shù)字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，則使關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且以x為自變量的二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的概率是 。 【解析】∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0。 ∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。 將（1，0）代入； 得：a2+a﹣2=0，解得a1=1，a2=﹣2。 可見，符合要求的點(diǎn)為0，2，3?！郟（符合要求）=。 【答案】。 12.二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為 【答案】3 13.已知關(guān)于的方程 （1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足,求實(shí)數(shù)k的值. 【解析】分析：（1）根據(jù)方程有實(shí)根可得△≥0，進(jìn)而可得[-2（k-3）]2-41（k2-4k-1）≥0，再解即可； （2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2（k-3），x1?x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1?x2= k2-4k-1可計(jì)算出m的值． 解析：（1）∵x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有實(shí)數(shù)根， ∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0， 解得：k≤5； （2）∵方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2， ∴x1+x2=2（k-3），x1?x2= k2-4k-1． ∵x12+x22=x1x2+7， ∴(x1+x2)2-3x1x2-7=0， ∴k2-12k+32=0，解得：k1=4，k2=8． 又∵k≤5，∴k=4．【答案】（1）k≤5；（2）4. 14.已知a，b，c為一個(gè)三角形的三條邊長，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 試判斷這個(gè)三角形的形狀。【解析】分析：把方程化為一般形式可得：(b+c)x?2ax?b+c=0，由由b、c的實(shí)際意義可知b+c＞0，即原方程是關(guān)于的一元二次方程；由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得“△=0”，列出關(guān)系式化簡，由勾股定理逆定理可判斷該三角形為直角三角形. 解析：方程化為一般形式可得：(b+c)x?2ax?b+c=0， 由b、c的實(shí)際意義可知：b+c＞0 ∴原方程是關(guān)于的一元二次方程， ∵原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, ∴△=(?2a)?4(b+c)(c?b)=0 整理,得：4a+4b?4c=0，即a+b?c=0， 移項(xiàng),得：a2+b2=c2 ∴由直角三角形勾股定理逆定理可知：這個(gè)三角形是直角三角形. 【答案】直角三角形