2018-2019年高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 課時跟蹤訓練14 離散型隨機變量的均值 新人教A版選修2-3.doc

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課時跟蹤訓練(十四) 離散型隨機變量的均值 (時間45分鐘) 題型對點練(時間20分鐘) 題組一　離散型隨機變量的均值 1．籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，沒命中得0分，已知某籃球運動員命中的概率為0.8，則罰球一次得分ξ的均值是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 [解析]　因為P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝10.8＋00.2＝0.8.故選B. [答案]　B 2．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，則E(Y)＝________. [解析]　因為X～B，所以E(X)＝.又E(X)＝15，則n＝30.所以Y～B. 故E(Y)＝30＝10. [答案]　10 3．某中學選派40名學生參加北京市高中生技術設計創(chuàng)意大賽的培訓，他們參加培訓的次數(shù)統(tǒng)計如下表所示： 培訓次數(shù) 1 2 3 參加人數(shù) 5 15 20 (1)從這40名學生中任選3名，求這3名學生中至少有2名學生參加培訓次數(shù)恰好相等的概率； (2)從這40名學生中任選2名，用X表示這2人參加培訓次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及均值E(X)． [解]　(1)這3名學生中至少有2名學生參加培訓次數(shù)恰好相等的概率P＝1－＝. (2)由題意知X＝0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 則隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 所以X的均值E(X)＝0＋1＋2＝. 題組二　離散型隨機變量均值的性質 4．隨機變量X的分布列如下表，則E(5X＋4)等于(　　) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B．11 C．2.2 D．2.3 [解析]　由已知得E(X)＝00.3＋20.2＋40.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝52.4＋4＝16.故選A. [答案]　A 5．若ξ是一個隨機變量，則E(ξ－E(ξ))的值為(　　) A．無法求 B．0 C．E(ξ) D．2E(ξ) [解析]　因為E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b(a，b為常數(shù))，而E(ξ)為常數(shù)，所以E(ξ－E(ξ))＝E(ξ)－E(ξ)＝0.故選B. [答案]　B 6．某次考試中，第一大題由12個選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________． [解析]　設小王選對的個數(shù)為X，得分為Y＝5X，則X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48. [答案]　48 題組三　均值的實際應用 7．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于(　　) A. B. C. D. [解析]　125個小正方體中8個三面涂漆，36個兩面涂漆，54個一面涂漆，27個沒有涂漆，∴從中隨機取一個正方體，涂漆面數(shù)X的均值E(X)＝0＋1＋2＋3＝＝. [答案]　B 8．交5元錢，可以參加一次摸獎．一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標有“1元錢”，2個標有“5元錢”，抽獎者只能從中任取2個球，他所得獎金是所抽2個球上標的錢數(shù)之和．求抽獎人獲利的均值． [解]　設X為抽到的2個球上標的錢數(shù)之和， 則X的可能取值如下： X＝2，抽到兩個標有“1元錢”的球； X＝6，抽到一個標有“1元錢”的球，一個標有“5元錢”的球； X＝10，抽到兩個標有“5元錢”的球． 由題意可知 P(X＝2)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝10)＝＝. 因此E(X)＝2＋6＋10＝＝. 若用Y表示抽獎人獲利的可能值，則Y＝X－5，故獲利的均值E(Y)＝E(X)－5＝－5＝－＝－1.4. 9．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個． (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與均值． [解]　(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 綜上知，X的分布列為 X 0 1 2 P 故E(X)＝0＋1＋2＝. 綜合提升練(時間25分鐘) 一、選擇題 1．已知隨機變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，則m的值為(　　) X 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. [解析]　由Y＝12X＋7得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，從而E(X)＝，所以E(X)＝1＋2m＋3n＋4＝，又m＋n＋＋＝1，聯(lián)立解得m＝.故選A. [答案]　A 2．今有兩臺獨立工作在兩地的雷達，每臺雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標的概率分別為0.9和0.85，設發(fā)現(xiàn)目標的雷達臺數(shù)為X，則E(X)等于(　　) A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22 [解析]　P(X＝0)＝(1－0.9)(1－0.85)＝0.10.15＝0.015； P(X＝1)＝0.9(1－0.85)＋0.85(1－0.9)＝0.22； P(X＝2)＝0.90.85＝0.765. ∴E(X)＝00.015＋10.22＋20.765＝1.75. [答案]　B 3．某人進行一項試驗，若試驗成功，則停止試驗，若試驗失敗，再重新試驗一次，若試驗3次均失敗，則放棄試驗．若此人每次試驗成功的概率為，則此人試驗次數(shù)ξ的均值是(　　) A. B. C. D. [解析]　試驗次數(shù)ξ的可能取值為1,2,3， 則P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ∴E(ξ)＝1＋2＋3＝. [答案]　B 二、填空題 4．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1(不計其他得分情況)，則ab的最大值為________． [解析]　由已知可得3a＋2b＋0c＝1，即3a＋2b＝1，∴ab＝3a2b≤2＝2＝.當且僅當3a＝2b＝時取等號，即ab的最大值為. [答案]　 5．一盒子中有10個籌碼，其中5個標有2元，5個標有5元，某人從此盒子中隨機有放回地抽取3個籌碼，若他獲得的獎金數(shù)等于所抽3個籌碼的錢數(shù)之和，則他獲得獎金數(shù)X的均值為________． [解析]　由于有放回地抽取，所以每次取到2元和5元籌碼的概率一樣，均為，則獲得獎金數(shù)X的分布列如下： X 6 9 12 15 P 3 C3 C3 C3 ∴E(X)＝6＋9＋12＋15＝＝. [答案]　 三、解答題 6．某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院，現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)． (1)求選出的3名同學來自互不相同的學院的概率； (2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． [解]　(1)設“選出的3名同學來自互不相同的學院”為事件A，則 P(A)＝＝. 所以，選出的3名同學來自互不相同的學院的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 所以，隨機變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 7．本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分，每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時． (1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率； (2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ)． [解]　(1)由題意得，甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為，. 記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A，則 P(A)＝＋＋＝. 故甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為. (2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝2)＝＋＝； P(ξ＝4)＝＋＋＝； P(ξ＝6)＝＋＝； P(ξ＝8)＝＝. ∴甲、乙兩人所付的租車費用之和ξ的分布列為 ξ 0 2 4 6 8 P ∴E(ξ)＝0＋2＋4＋6＋8＝.