2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)學(xué)案.doc

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第四章　平面向量與復(fù)數(shù) 第1課時(shí)　平面向量的概念與線性運(yùn)算 ① 了解向量的實(shí)際背景；理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義. ② 掌握向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義；理解向量共線定理. ③ 了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義． 　　掌握向量加、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，以及兩個(gè)向量共線的充要條件． 1. (必修4P62習(xí)題5改編)下列命題：① 零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；② 若a，b都是單位向量，則a＝b；③ 向量與相等．則所有正確的命題是________．(填序號(hào)) 答案：① 解析：根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量與互為相反向量，故③錯(cuò)誤． 2. 在四邊形ABCD中，若＝＋，則四邊形ABCD的形狀是__________． 答案：平行四邊形 解析：依題意知AC是以AB，AD為相鄰兩邊的平行四邊形的對(duì)角線，所以四邊形ABCD是平行四邊形． 3. 在△ABC中，＝c，＝b，若點(diǎn)D滿足＝2，則＝____________． 答案：b＋c 解析：如圖，因?yàn)樵凇鰽BC中，＝c，＝b，且點(diǎn)D滿足＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c. 4. 設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________． 答案： 解析：因?yàn)橄蛄喀薬＋b與a＋2b平行，設(shè)λa＋b＝k(a＋2b)，則所以λ＝. 5. (必修4P73習(xí)題15改編)已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j.若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)該滿足的條件是________．(填序號(hào)) ① m＋n＝1；② m＋n＝－1；③ mn＝1；④ mn＝－1. 答案：③ 解析：由A，B，D共線可設(shè)＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此即有mn＝1. 1. 向量的有關(guān)概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)，記作||. (2) 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量． (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上． 規(guī)定：0與任一向量平行． (5) 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量． 2. 向量加法與減法運(yùn)算 (1) 向量的加法 ① 定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法． ② 法則：三角形法則；平行四邊形法則． ③ 運(yùn)算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (2) 向量的減法 ① 定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法． ② 法則：三角形法則． 3. 向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 (1) 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ② 當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. (2) 運(yùn)算律：設(shè)λ，μ∈R，則： ① λ(μa)＝(λμ)a； ② (λ＋μ)a＝λa＋μa； ③ λ(a＋b)＝λa＋λb． 4. 向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．  ,　　　　　　　　　1　平面向量的基本概念) ,　　　　　1)　(1) 給出下列六個(gè)命題： ① 兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ② 若|a|＝|b|，則a＝b； ③ 若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形； ④ 在?ABCD中，一定有＝； ⑤ 若m＝n，n＝p，則m＝p； ⑥ 若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中錯(cuò)誤的命題是________．(填序號(hào)) (2) 給出以下命題： ① 對(duì)于實(shí)數(shù)p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb； ② 對(duì)于實(shí)數(shù)p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa； ③ 若pa＝pb(p∈R)，則a＝b； ④ 若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，則p＝q. 其中正確的命題是__________．(填序號(hào)) 答案：(1) ①②③⑥　(2) ①②④ 解析：(1) 兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故①不正確；|a|＝|b|，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確；＝，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以③不正確；零向量與任一向量平行，故a∥b，b∥c時(shí)，若b＝0，則a與c不一定平行，故⑥不正確． (2) 根據(jù)實(shí)數(shù)與向量乘積的定義及其運(yùn)算律，可知①②④正確；③不一定正確，因?yàn)楫?dāng)p＝0時(shí)，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b. 設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是________． 答案：3 解析：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②、③也是假命題． ,　　　　　　　　　2　平面向量的線性表示) ,　　　　　2)　如圖，在△ABC中，＝＝.若＝λ＋μ，則λ＋μ＝__________． 答案： 解析：由題意，＝，＝，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 又＝λ＋μ，∴ λ＝μ＝，λ＋μ＝. 變式訓(xùn)練 已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則向量＝__________．(用，表示) 答案：＋ 解析：∵ ＝2，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. ,　　　　　　　　　3　共線向量) ,　　　　　3)　(1) (2017鎮(zhèn)江期末)設(shè)向量a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)_______． (2) 已知D為△ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_________． 答案：(1) －1　(2) －2 解析：(1) ∵ ＝a＋b，＝a－2b，∴ ＝＋＝2a－b.∵ A，B，D三點(diǎn)共線，∴ ，共線．設(shè)＝λ，∴ 2a＋pb＝λ(2a－b)，∴ 2＝2λ，p＝－λ，∴ λ＝1，p＝－1. (2) 如圖所示，由＝λ且＋＋＝0，可知P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此＝－2，則λ＝－2. 變式訓(xùn)練 已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c與d同向，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_________． 答案：1 解析：由于c與d同向，設(shè)c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.因?yàn)閗＞0，所以λ＞0，故λ＝1. ,　　　　　　　　　4　向量共線的應(yīng)用) ,　　　　　4)　已知D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)M在DC上且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為_(kāi)_________． 答案：3∶5 解析：由5＝＋3，得2＝2＋3－3，即2(－)＝3(－)，即2＝3，故＝，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5. 如圖，△ABC中，在AC上取一點(diǎn)N，使AN＝AC；在AB上取一點(diǎn)M，使AM＝AB；在BN的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使得NP＝BN；在CM的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使得＝λ時(shí)，＝，試確定λ的值． 解：∵ ＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ， 又＝， ∴ ＋λ＝，即λ＝， ∴ λ＝. 1. 下列各式不能化簡(jiǎn)為的是________．(填序號(hào)) ① (＋)＋；② (＋)＋(＋)；③ ＋－；④ －＋. 答案：③ 解析：對(duì)于①，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；對(duì)于②，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；對(duì)于③，＋－＝＋2；對(duì)于④，－＋＝＋＝. 2. (2017南京模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP＝AB，BQ＝BC.用，表示，則＝________． 答案：＋ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 3. 如圖，已知＝，用，表示，則＝________． 答案：－＋ 解析：∵ ＝，∴ －＝(－)， ∴ ＝－＋. 4. 如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)D.若＝x＋y，則x＋y的取值范圍是__________． 答案：(－∞，－1) 解析：由于A，B，D三點(diǎn)共線，設(shè)＝α，則＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三點(diǎn)共線，且點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓上，與方向相反，則存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1. 1. 已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且＝a，＝b，給出下列命題：① ＝a－b；② ＝a＋b；③ ＝－a＋b；④ ＋＋＝0. 其中正確的命題為_(kāi)_______．(填序號(hào)) 答案：②③④ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴ ＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴ 正確的命題為②③④. 2. 已知m，n滿足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，則|m＋n|＝________． 答案：3 解析：由平行四邊形的對(duì)角線與邊的關(guān)系，得|m－n|與|m＋n|為以m，n為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26.又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3. 3. 如圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120，點(diǎn)C在弧AB上，且∠COB＝30.若＝λ＋μ，求λ＋μ的值． 解：如圖，作CD∥OB，交OA于點(diǎn)D，作CE∥OA，交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則＝＋. 由題意知，∠COD＝90， ∴ 在△OCE中，∠OCE＝90，∠COB＝30. ∵ ||＝，∴ ||＝||＝1，||＝2， ∴ ＝＝，＝＝，即λ＝，μ＝，故λ＋μ＝. 4. (2017鹽城模擬)如圖，經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，則＋的值為_(kāi)_______． 答案：3 解析：設(shè)＝a，＝b，由題意知＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b.由P，G，Q三點(diǎn)共線，得存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，從而消去λ，得＋＝3. 1. 解決與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問(wèn)題，其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性，以及兩個(gè)向量相等必須滿足：①模相等；②方向相同． 2. 在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解． 3. 平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)．利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)．[備課札記](méi) 第2課時(shí)　平面向量的基本定理及 坐標(biāo)表示(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)75～76頁(yè)) ① 了解平面向量的基本定理及其意義. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 　　能正確用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算，以及熟練掌握用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 1. (2017蘇州期末)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a＋b＝________． 答案：(3，9) 解析：2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)． 2. (必修4P79練習(xí)9改編)已知M(3，－2)，N(－5，2)，且＝，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________． 答案：(－1，0) 解析：設(shè)P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)，而＝(－8，4)＝(－4，2)，∴解得 3. (必修4P82練習(xí)8改編)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝__________． 答案：－6 解析：因?yàn)閍∥b，所以－2m－43＝0，解得m＝－6. 4. (必修4P79練習(xí)4改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案：(1，5) 解析：設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 5. 設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 答案：?。? 解析：由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb. 因?yàn)閍＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理，得所以 1. 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底． 如果作為基底的兩個(gè)基向量互相垂直，則稱其為正交基底，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2. 平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 (1) 已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a(chǎn)∥b?x1y2－x2y1＝0. [備課札記](méi)  ,　　　　　　　　　1　平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算) ,　　　　　1)　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1) 求3a＋b－3c； (2) 求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3) 求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2) ∵ mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ 解得 (3) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵ ＝－＝3c， ∴ ＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴ M的坐標(biāo)為(0，20)． 又＝－＝－2b， ∴ ＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴ N的坐標(biāo)為(9，2)， ∴ ＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 變式訓(xùn)練 如圖，已知點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 解：如圖，以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形可以有三種情況：① ?ABCD；② ?ADBC；③ ?ABDC.設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)， ① 若是?ABCD，則由＝，得 (0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)， ∴ ∴ ∴ D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－4)(如圖中所示的D1點(diǎn))． ② 若是?ADBC，則由＝，得 (0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)， 即(1，4)＝(x－1，y)， 解得x＝2，y＝4. ∴ D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)(如圖中所示的D2點(diǎn))． ③ 若是?ABDC，則由＝，得 (0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)． 解得x＝－2，y＝0. ∴ D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，0)(如圖中所示的D3點(diǎn))． ∴ 以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－4)或(2，4)或(－2，0)． ,　　　　　　　　　2　向量共線充要條件的坐標(biāo)表示及應(yīng)用) ,　　　　　2)　已知向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2)． (1) 若D，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有∥； (2) 若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足什么條件？ (1) 證明：由題意，＝－＝(2，1)，＝－＝. 因?yàn)?－1(m－4)＝0，所以∥. (2) 解：＝－＝(2，1)，＝－＝(1－m，m＋6)． 若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點(diǎn)不共線． 當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，存在λ使＝λ，即(2，1)＝λ(1－m，m＋6)，得解得m＝－. 所以當(dāng)m≠－時(shí)，點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形． 變式訓(xùn)練 已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k的取值集合為_(kāi)_________． 答案：{1} 解析：若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量與共線． 因?yàn)椋剑?2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. ,　　　　　　　　　3　平面向量基本定理及應(yīng)用) ,　　　　　3)　如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)＝a，＝b，＝xa＋yb，則x，y分別為_(kāi)_________． 答案：， 解析：令＝λ，由題意，可知＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)a＋λb；同理，令＝μ，則＝＋＝＋μ＝＋μ＝μa＋(1－μ)b. 因?yàn)閍，b不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以＝a＋b.故x＝，y＝. (2017南通調(diào)研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______． 答案： 解析：設(shè)＝k，k∈R. 因?yàn)椋剑剑玨＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋， 且＝m＋， 所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝. 1. 已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，則c＝__________． 答案：(－23，－12) 解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，則c＝(－23，－12)． 2. 如圖，向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________． 答案：4 解析：以向量a，b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴ a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)． ∵ c＝λa＋μb，∴ 解得∴ ＝＝4. 3. 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且c>b>a，若向量m＝(a－b，1)和n＝(b－c，1)平行，且sin B＝，則當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，b＝________． 答案：2 解析：由向量m和n平行知a＋c＝2b?、?， 由acsin B＝?ac＝?、?， 由c>b>a知B為銳角，則cos B＝， 即＝?、?， 由①②③可得b＝2. 4. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O.若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為_(kāi)_________． 答案： 解析：∵ AO為△ABC的角平分線，∴ 存在實(shí)數(shù)λ(λ≠0)使＝λ，即＝λ＋λ， ∴ 　① 設(shè)AB邊上的中線與AB交于點(diǎn)D，則＝2x＋y. ∵ C，O，D三點(diǎn)共線，∴ 2x＋y＝1?、? 由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝. 1. 已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x的值為_(kāi)_________． 答案：4 解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，顯然2a＋b≠0， 則有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， ∴ ?x＝4(x＝－4舍去)． 2. (2017南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________． 答案： 解析：由題意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 3. 在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為_(kāi)_______． 答案： 解析：∵ M為邊BC上任意一點(diǎn)， ∴ 可設(shè)＝x＋y(x＋y＝1)． ∵ N為AM的中點(diǎn)，∴ ＝＝x＋y＝λ＋μ.∴ λ＋μ＝(x＋y)＝. 4. 如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實(shí)數(shù))，則＋的最小值為_(kāi)_______． 答案： 解析：(解法1)設(shè)＝a，＝b，則＝－a＋b； 設(shè)＝λ，則＝＋＝a＋λb. 因?yàn)椋絤a＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n， 消去λ得m＋n＝1， ＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝. (解法2)以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)， 設(shè)＝λ＝(－3λ，4λ)，則＝＋＝(4－3λ，4λ)． 因?yàn)椋絤＋n＝(4m，4n), 所以有 4－3λ＝4m，4λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下同解法1)． 1. 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是惟一的． 2. 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫(xiě)錯(cuò)坐標(biāo)． 3. 向量共線問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值．[備課札記](méi)  第3課時(shí)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的 應(yīng)用舉例(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)77～79頁(yè)) ① 理解平面向量數(shù)量積的含義.② 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能利用數(shù)量積表示兩個(gè)向量夾角的余弦，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)非零向量是否垂直． ① 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示.② 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題． 1. (必修4P90習(xí)題19(2)改編)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)x＝____________． 答案：9 解析：由a⊥(a－b)知，a2＝ab，即5＝x－4，則x＝9. 2. 已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為_(kāi)_________． 答案： 解析：設(shè)a與b夾角為θ，由已知，ab＝2，|a|＝|b|＝2，cos θ＝＝.因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝. 3. (2017蘇北四市調(diào)研)已知平面向量a與b的夾角等于，若|a|＝2，|b|＝3，則|2a－3b|＝________． 答案： 解析：由題意可得ab＝|a||b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝. 4. (必修4P89習(xí)題第8(1)題改編)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1b2＝________． 答案：－6 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1b2＝(e1－2e2)(3e1＋4e2)＝3e－2e1e2－8e.因?yàn)閑1，e2為單位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1b2＝3－2－8＝3－1－8＝－6. 5. (必修4P90習(xí)題21改編)已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(－)(－)＝0，則△ABC的形狀是__________． 答案：等腰三角形 解析： (－)(－)＝(－)＝0，所以＝，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化簡(jiǎn)得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形． 1. 向量數(shù)量積的定義 (1) 向量a與b的夾角． (2) 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos_θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2. 向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ是a與b的夾角，則 (1) ea＝ae. (2) a⊥b ?ab＝0． (3) 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab＝|a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，ab＝－|a||b|； 特殊的，aa＝|a|2或|a|＝. (4) cos θ＝. (5) |ab|≤|a||b|. 3. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1) 交換律：ab＝ba. (2) 分配律：(a＋b)c＝ac＋bc. (3) 數(shù)乘結(jié)合律：(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)． 4. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2.故a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (2) 設(shè)a＝(x，y)，則|a|＝． (3) 若向量a＝(x1，y1)與向量b＝(x2，y2)的夾角為θ，則有cos θ＝＝. [備課札記](méi)  ,　　　　　　　　　1　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算) ,　　　　　1)　(1) (2017第三次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)在四邊形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，若|AC|＝4，＝12，＝，＝2，則＝________． (2) 已知邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC，＝，＝，AD與BE交于點(diǎn)P，則的值為_(kāi)_________． 答案：(1) 0　(2) 解析：(1) 因?yàn)椋?－2＝2－4＝12，2＝16，2＝4，所以＝2－2＝4－4＝0. (2) 以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，則的值為. 變式訓(xùn)練 (2017南通、揚(yáng)州、泰州調(diào)研)如圖，已知△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q.若||＝3，||＝5，則(＋)(－)的值為_(kāi)_________． 答案：－16 解析：由＝－，＝0，則(＋)(－)＝(2－)＝2＝(＋)(－)＝ 2－ 2＝32－52＝－16. ,　　　　　　　　　2　平面向量的平行與垂直問(wèn)題) ,　　　　　2)　(2017鎮(zhèn)江一模)已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n. (1) 求cos 2α的值； (2) 若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值． 解：(解法一)(1) 由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，且α∈，則cos α＝，sin α＝， 則cos 2α＝2cos2α－1＝2－1＝－. (2) 由α∈，β∈得，α－β∈. 因?yàn)閟in(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－＝. 因?yàn)棣隆?，則β＝. (解法2)(1) 由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2， 故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. 且cos2α＋sin2α＝1，α∈， 則sin α＝，cos α＝，則cos 2α＝2cos2α－1＝2－1＝－. (2) 由α∈，β∈得，α－β∈. 因?yàn)閟in(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－＝. 因?yàn)棣隆?，則β＝. 變式訓(xùn)練 平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥. (1) 求x與y之間的關(guān)系式； (2) 若⊥，求四邊形ABCD的面積． 解：(1) 由題意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)． 因?yàn)椤?，所?x＋4)y－(y－2)x＝0， 即x＋2y＝0. (2) 由題意＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)． 因?yàn)椤停? 所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即x2＋y2＋4x－2y－15＝0， 聯(lián)立 解得或 當(dāng)時(shí)，＝(8，0)，＝(0，－4)， S四邊形ABCD＝ACBD＝16； 當(dāng)時(shí)，＝(0，4)，＝(－8，0)，S四邊形ABCD＝ACBD＝16. 所以四邊形ABCD的面積為16. ,　　　　　　　　　3　平面向量的模與夾角問(wèn)題) ,　　　　　3)　(1) 已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120，則α的模的取值范圍是____________； (2) (2017鹽城模擬)已知||＝||＝，且＝1.若點(diǎn)C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是____________． 答案：(1) (0，]　(2) [－1，＋1] 解析：(1) 設(shè)△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60，|α|＝c，由正弦定理得＝，則＝c，即c＝sin C．又00，所以m＝. 3. 已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，z1，z2∈C，定義：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.給出下列命題： ① 對(duì)任意z∈C，都有D(z)>0； ② 若z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則D(z)＝D(z)恒成立； ③ 若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，則z1＝z2. 其中，真命題是________．(填序號(hào)) 答案：② 解析：若z＝0，則D(z)＝0，所以①錯(cuò)誤；因?yàn)镈(z)＝D(a－bi)＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝D(z)，所以②正確；設(shè)z1＝1＋i，z2＝1－i，則有D(z1)＝D(z2)，但z1≠z2，所以③錯(cuò)誤． 4. 若復(fù)數(shù)z＝a＋2i(i為虛數(shù)單位，a∈R)滿足|z|＝3，則a的值為_(kāi)_______． 答案： 解析：|z|＝＝3，則a＝. 5. 已知集合A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，i為虛數(shù)單位．若A∩B＝{2}，則純虛數(shù)z為_(kāi)_______． 答案：－2i 解析：∵ A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}． ∴ 2z2＝2或zi＝2