2018版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)6 函數(shù)的極值與導數(shù) 新人教A版選修2-2.doc

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課時作業(yè)6　函數(shù)的極值與導數(shù) |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為(　　) A．－e B．－1 C．1－e D．0 解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.當x∈(0,1)時，f′(x)>0，當x∈(1，e)時，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1. 答案：B 2．函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(　　) A．無極大值點，有四個極小值點 B．有三個極大值點，兩個極小值點 C．有兩個極大值點，兩個極小值點 D．有四個極大值點，無極小值點 解析：由導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系知，當f′(x0)＝0時，在x0的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則f(x)在x＝x0處取得極大值；若在x0的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則f(x)在x＝x0處取得極小值，設(shè)y＝f′(x)圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值． 答案：C 3．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R有唯一的極值，且x＝1是f(x)的極小值點，則(　　) A．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0 B．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0 C．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0 D．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0 解析：由極小值點的定義，知極小值點左右兩側(cè)的導函數(shù)值是左負右正，又函數(shù)f(x)，x∈R有唯一的極值，故當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0. 答案：C 4．對于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題：①f(x)是增函數(shù)，無極值；②f(x)是減函數(shù)，無極值；③f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．其中正確的命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0， 得x>2或x<0，令f′(x)<0，得00，f′(x)＝a－＝，∴當a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點． 答案：0 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．求下列函數(shù)的極值： (1)f(x)＝x3－x2－3x； (2)f(x)＝x4－4x3＋5； (3)f(x)＝. 解析：(1)函數(shù)的定義域為R. f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 由此可知當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示： 當x＝－1時，f(x)有極大值. 當x＝3時，f(x)有極小值－9. (2)因為f(x)＝x4－4x3＋5， 所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)． 令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： 故當x＝3時函數(shù)取得極小值，且f(3)＝－22. (3)函數(shù)f(x)＝的定義域為(0，＋∞)， 且f′(x)＝. 令f′(x)＝＝0， 得x＝e. 當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： 故當x＝e時函數(shù)取得極大值，且f(e)＝. 10．設(shè)f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解析：(1)因為f(x)＝alnx＋＋x＋1， 所以f′(x)＝－＋. 因為曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸， 所以該切線斜率為0，即f′(1)＝0， 即a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)， f′(x)＝－－＋＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定義域內(nèi)，舍去)． 當x∈(0,1)時，f′(x)<0， 故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0， 故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. |能力提升|(20分鐘，40分) 11．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是(　　) 解析：方法一：由y＝f′(x)的圖象可以清晰地看出，當x∈(0,2)時，f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)，只有C項符合，故選C. 方法二：在導函數(shù)f′(x)的圖象中，零點0的左側(cè)函數(shù)值為正，右側(cè)為負，由此可知原函數(shù)f(x)在x＝0時取得極大值．又零點2的左側(cè)為負，右側(cè)為正，由此可知原函數(shù)f(x)在x＝2時取得極小值，只有選項C符合，故選C. 答案：C 12．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則a的取值范圍為________． 解析：f′(x)＝3x2－3a. 當a≤0時，在區(qū)間(0,1)上無極值． 當a>0時，令f′(x)>0，解得x>或x<－， 令f′(x)<0，解得－0； 當－11時，f′(x)>0. 所以由f(x)的單調(diào)性可知， f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1， 在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. 作出f(x)的大致圖象如圖所示： 因為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，結(jié)合f(x)的圖象可知，m的取值范圍是(－3,1)．