2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第2講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入講義 理（含解析）.doc

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第2講　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 [考綱解讀]　1.理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件．(重點(diǎn)) 2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義，能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，并能將復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示． 3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)形式的四則運(yùn)算，并了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [考向預(yù)測]　 從近三年高考情況來看，本講在高考中屬于必考內(nèi)容. 預(yù)測2020年將會考查：①復(fù)數(shù)的基本概念與四則運(yùn)算；②復(fù)數(shù)模的計算；③復(fù)數(shù)的幾何意義. 題型為客觀題，難度一般不大，屬于基礎(chǔ)題型. 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 (1)運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (4)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 ①復(fù)數(shù)加法的幾何意義：若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量，不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是＋所對應(yīng)的復(fù)數(shù)． ②復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1－z2是－即所對應(yīng)的復(fù)數(shù)． 4．模的運(yùn)算性質(zhì)：①|(zhì)z|2＝||2＝z；②|z1z2|＝|z1||z2|；③＝. 1．概念辨析 (1)關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有兩個根．(　　) (2)若復(fù)數(shù)a＋bi中a＝0，則此復(fù)數(shù)必是純虛數(shù)．(　　) (3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?　　) (4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．(　　) 答案　(1)√　(2)　(3)　(4)√ 2．小題熱身 (1)(2017全國卷Ⅱ)＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　D 解析?。剑剑?－i.故選D. (2)(2018北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　設(shè)復(fù)數(shù)z＝＝＝＝＝＋i，所以z的共軛復(fù)數(shù)＝－i，對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限． (3)(2018華南師大附中一模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝cos3＋isin3(i為虛數(shù)單位)，則|z|為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　|z|＝＝1. (4)設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2－i，z2＝a＋2i(i為虛數(shù)單位，a∈R)，若z1z2∈R，則a＝________. 答案　4 解析　因為z1z2＝(2－i)(a＋2i) ＝2a＋2＋(4－a)i， 且z1z2是實數(shù)，所以4－a＝0即a＝4. 題型 　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 1．設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案　C 解析　因為m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)， 所以解得m＝－2. 2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于(　　) A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4 答案　A 解析　因為(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi， 所以a＝3，b＝－2. 3．(2018合肥一檢)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝的虛部是(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　B 解析　復(fù)數(shù)z＝＝＝－i，則z的虛部為－. 4．(2018全國卷Ⅰ)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　C 解析　因為z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故選C. 有關(guān)處理復(fù)數(shù)基本概念問題的關(guān)鍵 因為復(fù)數(shù)的分類、相等、模、共軛復(fù)數(shù)等問題都與實部與虛部有關(guān)，所以處理復(fù)數(shù)有關(guān)基本概念問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實部和虛部，即轉(zhuǎn)化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理. 1．(2019安徽安慶模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，那么實數(shù)a的值為(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案　C 解析?。?，由題意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.故選C. 2．已知集合A＝N，B＝{x∈R|z＝3＋xi，且|z|＝5}(i為虛數(shù)單位)，則A∩B＝________. 答案　{4} 解析　因為|z|＝＝5，所以x＝4， 所以B＝{－4,4}， 所以A∩B＝{4}． 3．(2017浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 答案　5　2 解析　因為(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1. 所以a2＋b2＝5，ab＝2. 題型 　復(fù)數(shù)的幾何意義 1．(2019福州質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，則＝(　　) A．1＋i B.＋i C．1＋i D．1＋i 答案　B 解析　因為復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故選B. 2．若復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝－x上，則z＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 解析　因為z＝＝－i， 且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝－x上， 所以－1＝－，a＝2， 所以z＝(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2. 3．若復(fù)數(shù)z滿足①|(zhì)z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為________． 答案　4π 解析　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)圖形的面積為5π－π＝4π. 條件探究1　把舉例說明1中的“實軸”改為“虛軸”，求z1z2. 解　因為復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i.所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－22＝－5. 條件探究2　將舉例說明1中z1對應(yīng)的向量繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90，得z2對應(yīng)的向量，試求. 解　 如圖所示， z1＝2＋i，z2＝－1＋2i， 所以＝ ＝＝－i. 復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用 1．復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. 2．由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀． 提醒：|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離. 1．在復(fù)平面內(nèi)，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，則在?OACB中，點(diǎn)C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．2＋2i B．2－2i C．1＋i D．1－i 答案　A 解析　在?OACB中，＝＋＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以點(diǎn)C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋2i. 2．如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長是1，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足(z1－i)z＝1，則復(fù)數(shù)z1＝(　　) A．－＋i B.＋i C.－i D．－－i 答案　B 解析　由圖可知z＝2＋i，因為(z1－i)z＝1， 所以z1＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i. 題型 　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 角度1　復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算 1．(1)(2018天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝________； (2)已知i是虛數(shù)單位，8＋2018＝________. 答案　(1)4－i　(2)1＋i 解析　(1)＝＝＝4－i. (2)原式＝8＋1009＝i8＋1009＝i8＋i1009＝1＋i4252＋1＝1＋i. 角度2　復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用 2．若復(fù)數(shù)(1－i)(cosθ＋isinθ)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實數(shù)θ的取值范圍是________． 答案　，k∈Z 解析　(1－i)(cosθ＋isinθ) ＝(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i， 此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)． 由題意得 角θ終邊所在的區(qū)域如圖所示． 所以2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z. 1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略 (1)復(fù)數(shù)的加減法 在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時，可類比合并同類項，運(yùn)用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可． (2)復(fù)數(shù)的乘法 復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可． (3)復(fù)數(shù)的除法 除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式． 2．記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度 (1)(1i)2＝2i； (2)＝i； (3)＝－i； (4)＝b－ai； (5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 1．(2018太原二模)＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　A 解析?。? ＝＝＝2. 2．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝1－i，則||＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵z＝，∴||＝|z|＝＝＝. 3．復(fù)數(shù)z＝cos75＋isin75(i是虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)，z2對應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限． 答案　二 解析　z2＝(cos75＋isin75)2 ＝(cos275－sin275)＋(2sin75cos75)i ＝cos150＋isin150 ＝－＋i，其對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．