2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意的三角函數(shù) 1.2.1 第1課時(shí) 任意角的三角函數(shù)的定義學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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第1課時(shí)　任意角的三角函數(shù)的定義 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號(hào)．(易錯(cuò)點(diǎn))3.掌握公式——并會(huì)應(yīng)用． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．單位圓 在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓． 2．任意角的三角函數(shù)的定義 (1)條件在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么： 圖121 (2)結(jié)論 ①y叫做α的正弦，記作sin_α，即sin α＝y(tǒng)； ②x叫做α的余弦，記作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，記作tan_α，即tan α＝(x≠0)． (3)總結(jié) 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)． 3．正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域 三角函數(shù) 定義域 sin α R cos α R tan α 4．正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào) (1)圖示： 圖122 (2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．誘導(dǎo)公式一 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)sin α表示sin與α的乘積．(　　) (2)設(shè)角α終邊上的點(diǎn)P(x，y)，r＝|OP|≠0，則sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　) (3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　　) (4)終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0.(　　) [解析]　(1)錯(cuò)誤．sin α表示角α的正弦值，是一個(gè)“整體”． (2)錯(cuò)誤．由任意角的正弦函數(shù)的定義知，sin α＝.但y變化時(shí)，sin α是定值． (3)正確． (4)錯(cuò)誤．終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值不存在． [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．已知sin α＞0，cos α＜0，則角α是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)知，角α是第二象限角．] 3．sinπ＝________. 　[sinπ＝sin＝sin＝.] 4．角α終邊與單位圓相交于點(diǎn)M，則cos α＋sin α的值為________． 　[cos α＝x＝，sin α＝y(tǒng)＝， 故cos α＋sin α＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．一般地，設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r，則sin α，cos α，tan α為何值？ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．sin α，cos α，tan α的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？ 提示：sin α，cos α，tan α的值只與α的終邊位置有關(guān)，不隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變． 　(1)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，則sin θ＋tan θ的值為________． (2)已知角α的終邊落在直線x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路探究]　(1) → (2)→ (1)或　[(1)因?yàn)閞＝，cos θ＝， 所以x＝. 又x≠0，所以x＝1，所以r＝. 又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角． 當(dāng)θ為第一象限角時(shí)，sin θ＝，tan θ＝3，則sin θ＋tan θ＝. 當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，sin θ＝，tan θ＝－3， 則sin θ＋tan θ＝.] (2)直線x＋y＝0，即y＝－x，經(jīng)過(guò)第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，)，則r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－)， 則r＝＝2， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 母題探究：1.將本例(2)的條件“x＋y＝0”改為“y＝2x”其他條件不變，結(jié)果又如何？ [解]　當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2. 當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)Q(－1，－2)， 由r＝|OQ|＝＝，得： sin α＝＝－，cos α＝＝－， tan α＝＝2. 2．將本例(2)的條件“落在直線x＋y＝0上”改為“過(guò)點(diǎn)P(－3a,4a) (a≠0)”，求2sin α＋cos α. [解]　因?yàn)閞＝ ＝5|a|， ①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. [規(guī)律方法]　由角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟： (1)已知角α的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種： ①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值． ②在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sin α＝，cos α＝.已知α的終邊求α的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便． (2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定，則需分類討論. 三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用 　(1)已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第四象限，則角α終邊在(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352022】 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判斷下列各式的符號(hào)： ①sin 145cos(－210)；②sin 3cos 4tan 5. [思路探究]　(1)先判斷tan α，cos α的符號(hào)，再判斷角α終邊在第幾象限． (2)先判斷已知角分別是第幾象限角，再確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，最后判斷乘積的符號(hào)． (1)C　[(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有由此可判斷角α終邊在第三象限．] (2)①∵145是第二象限角， ∴sin 145＞0， ∵－210＝－360＋150， ∴－210是第二象限角， ∴cos(－210)＜0， ∴sin 145cos(－210)＜0. ②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3cos 4tan 5＞0. [規(guī)律方法]　判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略： (1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限； (2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)； (3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤. 提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號(hào). [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． －2＜a≤3　[因?yàn)閏os α≤0，sin α＞0， 所以角α的終邊在第二象限或y軸非負(fù)半軸上，因?yàn)棣两K邊過(guò)(3a－9，a＋2)， 所以所以－2＜a≤3.] 2．設(shè)角α是第三象限角，且＝－sin，則角是第________象限角． 四　[角α是第三象限角，則角是第二、四象限角， ∵＝－sin，∴角是第四象限角．] 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用 　求值： (1)tan 405－sin 450＋cos 750； (2)sincos＋tancos. [解]　(1)原式＝tan(360＋45)－sin(360＋90)＋cos(2360＋30) ＝tan 45－sin 90＋cos 30 ＝1－1＋＝. (2)原式＝sincos＋tancos ＝sincos＋tancos＝＋1＝. [規(guī)律方法]　利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟 (1)定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z. (2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值． (3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值． [跟蹤訓(xùn)練] 3．化簡(jiǎn)下列各式： (1)a2sin(－1 350)＋b2tan 405－2abcos(－1 080)； (2)sin＋cosπtan 4π. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352023】 [解]　(1)原式＝a2sin(－4360＋90)＋b2tan(360＋45)－2abcos(－3360) ＝a2sin 90＋b2tan 45－2abcos 0 ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2. (2)sin＋cosπtan 4π ＝sin＋cosπtan 0＝sin＋0＝. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．sin(－315)的值是(　　) A．－　 B．－ C． D． C　[sin(－315)＝sin(－360＋45)＝sin 45＝.] 2．若sin θcos θ＞0，則θ在(　　) A．第一或第四象限 B．第一或第三象限 C．第一或第二象限 D．第二或第四象限 B　[因?yàn)閟in θcos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0所以θ在第三象限或第一象限．] 3．已知角α終邊過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，則tan α的值為(　　) A．1 B．－1 C． D．－ B　[由三角函數(shù)定義知tan α＝＝－1.] 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，若sin α＝，則sin β＝________. －　[設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)， 則角β的終邊與單位圓相交于點(diǎn)Q(x，－y)， 由題意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.] 5．求值：(1)sin 180＋cos 90＋tan 0. (2)cos＋tan. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352024】 [解]　(1)sin 180＋cos 90＋tan 0＝0＋0＋0＝0. (2)cos＋tan ＝cos＋tan ＝cos＋tan＝＋1＝.