2018年秋高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修1 -2.doc
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2.2.2 反證法 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2. 理解反證法的思考過程,會用反證法證明數(shù)學(xué)問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 反證法的定義及證題的關(guān)鍵 思考1:反證法的實(shí)質(zhì)是什么? [提示]反證法的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論,推出矛盾,從而證明原結(jié)論是正確的. 思考2:有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理,這種說法對嗎?為什么? [提示]反證法是間接證明中的一種方法,其證明過程是邏輯非常嚴(yán)密的演繹推理. [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)反證法屬于間接證明問題的方法. ( ) (2) 反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題. ( ) (3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾. ( ) [答案] (1)√ (2) (3)√ 2.“ab C.a(chǎn)=b D.a(chǎn)=b或a>b [答案] D 3.用反證法證明“如果a>b,那么> ”,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________. [答案] ≤ 4.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,下列選項(xiàng)中可以作為條件使用的有________.(填序號) ①結(jié)論的反設(shè);②已知條件;③定義、公理、定理等;④原結(jié)論. ①②③ [反證法的“歸謬”是反證法的核心,其含義是:從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā),引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理,推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果.] [合 作 探 究攻 重 難] 用反證法證明否定性命題 已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列.求證:,,不成等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號:48662083】 [證明] 假設(shè),,成等差數(shù)列,則+=2,即a+c+2=4b. ∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,即b=, ∴a+c+2=4,∴(-)2=0,即=. 從而a=b=c,與a,b,c不成等差數(shù)列矛盾, 故,,不成等差數(shù)列. [規(guī)律方法] 1.用反證法證明否定性命題的適用類型 結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題,此類問題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法. 2.用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 1.設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓心,C是SB上一點(diǎn),求證:AC與平面SOB不垂直. [證明] 假設(shè)AC⊥平面SOB,如圖 ∵直線SO在平面SOB內(nèi), ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圓O,∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圓O. 這顯然出現(xiàn)矛盾,所以假設(shè)不成立,即AC與平面SOB不垂直. 用反證法證明唯一性命題 求證方程2x=3有且只有一個(gè)根. 【導(dǎo)學(xué)號:48662084】 [證明] ∵2x=3,∴x=log23,這說明方程2x=3有根.下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的:假設(shè)方程2x=3至少有兩個(gè)根b1,b2(b1≠b2), 則2b1=3,2b2=3, 兩式相除得2b1-b2=1. 若b1-b2>0,則2b1-b2>1,這與2b1-b2=1相矛盾. 若b1-b2<0,則2b1-b2<1,這也與2b1-b2=1相矛盾. ∴b1-b2=0,則b1=b2. ∴假設(shè)不成立,從而原命題得證. [規(guī)律方法] 巧用反證法證明唯一性命題 (1)當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)”“唯一存在”“只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)的命題時(shí),由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾,故常用反證法證明. (2)用反證法證題時(shí),如果欲證明命題的反面情況只有一種,那么只要將這種情況駁倒了就可以;若結(jié)論的反面情況有多種,則必須將所有的反面情況一一駁倒,才能推斷結(jié)論成立. (3)證明“有且只有一個(gè)”的問題,需要證明兩個(gè)命題,即存在性和唯一性. [跟蹤訓(xùn)練] 2.求證:兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn). [證明] 假設(shè)結(jié)論不成立,則有兩種可能:無交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn). 若直線a,b無交點(diǎn),則a∥b或a,b是異面直線,與已知矛盾. 若直線a,b不只有一個(gè)交點(diǎn),則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A,B就有兩條直線,這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾. 綜上所述,兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn). 用反證法證明“至多”“至少”問題 [探究問題] 1.你能闡述一下“至少有一個(gè)、至多有一個(gè)、至少有n個(gè)”等量詞的含義嗎? 提示: 量詞 含義 至少有一個(gè) 有n個(gè),其中n≥1 至多有一個(gè) 有0或1個(gè) 至少有n個(gè) 大于等于n個(gè) 2.在反證法證明中,你能說出 “至少有一個(gè)、至多有一個(gè)、至少有n個(gè)”等量詞的反設(shè)詞嗎? 提示: 量詞 反設(shè)詞 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 至少有n個(gè) 至多有n-1個(gè) 已知a≥-1,求證三個(gè)方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解. [證明] 假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)根,則三個(gè)方程中:它們的判別式都小于0,即: ? 這與已知a≥-1矛盾,所以假設(shè)不成立,故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解. 母題探究:1.(變條件)將本題改為:已知下列三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍? [解] 若方程沒有一個(gè)有實(shí)根, 則解得 故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根,實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2.(變條件)將本題條件改為三個(gè)方程中至多有2個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解] 假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根,則 即 解得即a∈?. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為實(shí)數(shù)R. [規(guī)律方法] 當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、 “都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語時(shí),宜用反證法. 提醒:對于此類問題,需仔細(xì)體會“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”等字眼的含義,弄清結(jié)論的否定是什么,避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”,下列假設(shè)中正確的是( ) A.有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角 B.有三個(gè)內(nèi)角是鈍角 C.至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角 D.沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角 C [“最多只有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”,故選C.] 2.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)( ) 【導(dǎo)學(xué)號:48662085】 A.一個(gè)是正數(shù),一個(gè)是負(fù)數(shù) B.兩個(gè)都是正數(shù) C.至少有一個(gè)正數(shù) D.兩個(gè)都是負(fù)數(shù) C [假設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x1、x2,且x1≤0,x2≤0,則x1+x2≤0,這與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾,所以兩個(gè)實(shí)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù),故應(yīng)選C.] 3.已知平面α∩平面β=直線a,直線b?α,直線c?β,b∩a=A,c∥a,求證:b與c是異面直線,若利用反證法證明,則應(yīng)假設(shè)________. b與c平行或相交 [∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種:異面、平行、相交,∴應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交.] 4.用反證法證明命題:“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟: ①∠A+∠B+∠C=90+90+∠C>180,這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾,則∠A=∠B=90不成立; ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角; ③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角,不妨設(shè)∠A=∠B=90. 正確順序的序號排列為________. 【導(dǎo)學(xué)號:48662086】 ③①② [根據(jù)反證法證題的三步驟:否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論.] 5. 設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列. [證明] 假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1S3, 即a(1+q)2=a1a1(1+q+q2), 因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,這與公比q≠0矛盾. 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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