2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-1 圓的標準方程.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-1 圓的標準方程 項目 內(nèi)容 課題 4.1.1 圓的標準方程 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.使學生掌握圓的標準方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程,能根據(jù)圓的標準方程寫出圓的圓心、半徑,進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程,通過圓的標準方程解決實際問題的學習,形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣,培養(yǎng)學生分析、概括的思維能力. 3.理解掌握圓的切線的求法.包括已知切點求切線,從圓外一點引切線,已知切線斜率求切線等.把握運動變化原則,培養(yǎng)學生樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點,欣賞和體驗圓的對稱性,感受數(shù)學美. 教學重、 難點 教學重點：圓的標準方程的推導(dǎo)過程和圓的標準方程特點的明確. 教學難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標準方程. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導(dǎo)入新課 同學們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題:圓的標準方程. 推進新課 新知探究 提出問題 ①已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離? ②具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？ ③圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？ 圖1 ④我們知道,在平面直角坐標系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么? ⑤如果已知圓心坐標為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程? ⑥圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時,圓的方程是什么？ 討論結(jié)果：①根據(jù)兩點之間的距離公式,得 |AB|=, |CD|=. ②平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓). ③圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小. ④確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了. ⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r＞0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導(dǎo)學生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件=r.① 將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.② 若點M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點M的坐標滿足方程②,反之若點M的坐標滿足方程②,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標準方程. ⑥這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標和圓的半徑.當圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2. 提出問題 ①根據(jù)圓的標準方程說明確定圓的方程的條件是什么? ②確定圓的方程的方法和步驟是什么? ③坐標平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷? 討論結(jié)果：①圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標準方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件. ②確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為： 1根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組； 3解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程. ③點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法： 當點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 當點M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為: 1點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,點在圓外; 2點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上; 3點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,點在圓內(nèi). 應(yīng)用示例 例1 寫出下列各圓的標準方程： (1)圓心在原點,半徑是3； ⑵圓心在點C(3,4),半徑是; (3)經(jīng)過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)； (4)圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切. 解:(1)由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標準方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9. (2)由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標準方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5. (3)方法一:圓的半徑r=|CP|==5,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二:設(shè)圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因為圓經(jīng)過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標準方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定. (4)設(shè)圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=. 點評：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程. 例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上. 解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標準方程是 (x-2)2+(y+3)2=25, 把點M1(5,-7),M2(-,,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 則M1的坐標滿足方程,M1在圓上.M2的坐標不滿足方程,M2不在圓上. 點評:本題要求首先根據(jù)坐標與半徑大小寫出圓的標準方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標法的思想,根據(jù)圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標滿足方程來看在不在圓上——從代數(shù)到幾何. 例3 △ABC的三個頂點的坐標是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程. 活動：教師引導(dǎo)學生從圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標準方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法. 解法一:設(shè)所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上, 它們的坐標都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是 解此方程組得所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:線段AB的中點坐標為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). ① 同理線段AC的中點坐標為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). ② 解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標為(2,-3),半徑r==5,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 點評:△ABC外接圓的圓心是△ABC的外心,它是△ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路. . 變式訓(xùn)練 一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程. 解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標為(a,a+2). 則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2. 因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上, 所以解得 所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=. 解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點坐標為(,), 所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0. 因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上, 所以由解得,即圓心坐標為C(-,). 又因為圓的半徑r=|OC|=, 所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=. 點評:(1)圓的標準方程中有a、b、r三個量,要求圓的標準方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法. (2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用. 例3 求下列圓的方程: (1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1). (2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22. 解:(1)設(shè)圓心坐標為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標為(1,-2),半徑r==.所以所求圓的標準方程為(x-1)2+(y+2) 2=2. (2)設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d==.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=4. 點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標準方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應(yīng)用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習1、2. 拓展提升 1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程. 活動:學生思考交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法. 解:首先兩平行線的距離d==2,所以半徑為r==1. 方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1. 方法二：解方程組因此圓心坐標為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1. 點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理. 課堂小結(jié) ①圓的標準方程. ②點與圓的位置關(guān)系的判斷方法. ③根據(jù)已知條件求圓的標準方程的方法. ④利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程. ⑤直徑端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 作業(yè) 1.復(fù)習初中有關(guān)點與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容. 2.預(yù)習有關(guān)圓的切線方程的求法. 3.課本習題4.1 A組第2、3題. 板書設(shè)計 4.1.1 圓的標準方程 1、 圓的標準方程的推導(dǎo) 例1 2、 圓的標準方程 例2 3、 點與圓的位置關(guān)系 變式 教學反思 圓是學生比較熟悉的曲線,求圓的標準方程既是本節(jié)課的教學重點也是難點,為此先讓學生熟悉圓心、半徑與圓的標準方程之間的關(guān)系,逐步理解三個參數(shù)的重要性,自然形成待定系數(shù)法的解題思路,在突出重點的同時突破了難點.利用圓的標準方程由淺入深的解決問題,并通過圓的方程在實際問題中的應(yīng)用,增強學生應(yīng)用數(shù)學的意識.另外,為了培養(yǎng)學生的理性思維,在例題中,設(shè)計了由特殊到一般的學習思路,培養(yǎng)學生的歸納概括能力.在問題的設(shè)計中,我用一題多解的探究,縱向挖掘知識深度,橫向加強知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神,并且使學生的有效思維量加大,隨時對所學知識和方法產(chǎn)生有意注意,能力與知識的形成相伴而行,不但突出了重點,更使難點的突破水到渠成.