2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二 4-1-1 圓的標準方程 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二 4-1-1 圓的標準方程 教案 教學目標 1.知識與技能： （1）掌握圓的標準方程的形式；； （2）能夠根據(jù)題目給定條件求圓的標準方程； （3）能夠根據(jù)圓的標準方程找到圓心和半徑。 2.過程與方法：加深對數(shù)形結合思想和待定系數(shù)法的理解；增強應用數(shù)學的意識。 從高考發(fā)展的趨勢看，高考越來越重視學生的分析問題、解決問題的能力。因此，要求學生在學習中遇到問題時，不要急于求成，而要根據(jù)問題提供的信息回憶所學知識，涉及到轉化思想，數(shù)形結合的思想，應用平面解析幾何的相關知識。 經(jīng)歷公理的推導過程，體驗由特殊到一般、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。使學生初步學會把一些實際問題轉化為直線和平面的問題,關鍵是要使該問題是否滿足點、直線、平面以及它們之間的關系，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力 3.情感態(tài)度價值觀： （1）空間教學的核心問題是讓學生了解圓的特征，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些現(xiàn)象； （2）用有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學生掌握“理論來源于實踐，并把理論應用于實踐”的辨證思想 重點難點 1.教學重點：圓的標準方程的推導以及根據(jù)條件求圓的標準方程； 2.教學難點：根據(jù)條件求圓的標準方程 一、引入新課 知識鏈接： 1．兩點間的距離公式？ 2．具有什么性質的點的軌跡稱為圓？圓的定義？ 平面內與一定點的距離等于定長的點的軌跡稱為圓，定點是圓心，定長是半徑. 圓在我們的生活中無處不在，日出東方，車行天下，這些都是圓的具體表現(xiàn)形式．那么車輪為何設計為圓形，而不是其他的形狀？ 師生活動：若是方形，走起來顛簸，不舒服；不是圓形，轉不起來.正是圓，可以讓車輪上的每一點到軸心的距離相等，才保證了輪子轉起來而不顛簸. 【設計意圖】從身邊的實例引入，激發(fā)學生學習興趣，也為復習圓的定義做好鋪墊. 問題1：什么是圓？ 問題2：在平面直角坐標系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也可以確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個圓？ 【設計意圖】使學生在已有知識的基礎上，結合圓的定義回答出確定圓的兩個要素—圓心（定位）和半徑（定形）． 問題3：直線可以用一個方程表示，圓也可以用一個方程來表示嗎？ 【設計意圖】使學生在已有知識和經(jīng)驗的基礎上，探索新知，引出本課題． y x O A M 二、探究新知 問題4：已知圓的圓心坐標為，半徑為（其中、、都 是常數(shù)，），如何確定圓的方程？ 師生活動：類比直線點斜式方程的推導方法，引導學生回答求曲線的 方程的一般步驟． (1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?x，y)表示曲線上任意點M的坐標； (2)寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)|}； (3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0； (4)化方程f(x，y)=0為最簡形式； (5)說明化簡后的方程就是所求曲線的方程． 師生活動：師生共同完成圓的標準方程推導 （1）建系設點：由學生在黑板上板演，并問有無不同建立坐標系的方法．教師指出：這兩種建立坐標系的方法都對，原點在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導．因為C是定點，可設、半徑r，且設圓上任一點M坐標為． （2）寫點集：根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． （3）列方程：由兩點間的距離公式得：. （4）化簡方程：將上式兩邊平方得：． 方程就是圓心是、半徑是的圓的方程．我們把它叫做圓的標準方程． 【設計意圖】讓學生掌握圓的標準方程的推導方法,有學生自己化簡得出結論便于學生理解記憶． 三、理解新知 圓的標準方程：，其中圓心為，半徑為． 特別地，當圓心為原點O(0,0),圓的標準方程為 強調：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要三個量確定了且，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件．注意，確定，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決． 【設計意圖】便于學生理解掌握圓的標準方程，為準確地運用新知，作必要的鋪墊． 基礎檢測： 1. 說出下列圓的方程： (1) 圓心在原點,半徑為3 (2) 圓心在點C(3, -4), 半徑為7 (3)經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3) 2.說出下列方程所表示的圓的圓心坐標和半徑： (1) (x + 7)2 + ( y - 4)2 = 36 (2) (x - a)2 + y 2 = m2 （） (3) x2 + y2 - 4x + 10y + 28 = 0 【設計意圖】熟練掌握圓的標準方程與圓心坐標,半徑長的關系． 四、運用新知 例1 寫出圓心為,半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上． 分析：判斷圓心是否在圓上，可以從計算點到圓心的距離入手． 解：圓心是，半徑長等于5的圓的標準方程是 把點的坐標代人方程，左右兩邊相等，點的坐標適合圓的方程，所以點在這個圓上；把點的坐標代人方程，左右兩邊不相等，點的坐標不適合圓的方程，所以點 不在這個圓上． 【設計意圖】通過對圓的標準方程的直接應用，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和良好的解題習慣． 探究：怎樣判斷點在圓上？圓內？還是圓外？ （1）點在圓外 （2）點在圓上 （3）點在圓內 【設計意圖】學生自己探討發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關系的判定方法，從而歸納出下列結論,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力． 變式訓練： 1.點與圓的位置關系（ ） Ａ．在圓外 Ｂ．在圓上 Ｃ．在圓內 Ｄ．在圓上或圓外 2.求經(jīng)過點P(5，1)，圓心在點C(8，-3)的圓的標準方程． 3.求圓心為且與直線相切的圓的標準方程． 【設計意圖】根據(jù)圓心和半徑熟練寫出圓的標準方程． 例2 的三個頂點的坐標是，求它的外接圓的方程． 分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓．從圓的標準方程 可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)．還可以先求圓心（是線段AB和線段BC的中垂線的交點），然后求半徑，代入圓的標準方程． 解法一：設所求圓的方程是 (1) 因為都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（1）．于是 所以，的外接圓的方程為 ． 解法二：（師生共同完成） 因為，所以線段的中點的坐標為，直線的斜率， 因此線段的垂直平分線的方程是 ， 即 ， O x y L1 L2 M A B C D E 同理可得線段的垂直平分線的方程是 ． 圓心的坐標是方程組 的解． 解此方程組，得 ， 所以圓心的坐標是． 圓心的圓的半徑長 ． 所以，的外接圓的方程為 ． 總結歸納：（教師啟發(fā)，學生自己比較、歸納）比較例2得出外接圓的標準方程的兩種求法： 方法一：代數(shù)法—待定系數(shù)法； 方法二：幾何法—數(shù)形結合． 【設計意圖】結合例2的理解，學生自己歸納出求任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法，并比較兩種方法的優(yōu)劣． 例3 已知圓心為的圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，求圓心為的圓的標準方程． A B C D O x y l 解法一：因為，，所以線段的中點的坐標為，直線的斜率． 因此線段的垂直平分線的方程是， 即． 圓心的坐標是方程組的解． 解此方程組，得 ，所以圓心的坐標是 圓心為的圓的半徑長． 所以圓心為的圓的標準方程是． 解法二：設所求圓的方程為． 由題意得 　　，　解得 所以所求圓的方程是． 【設計意圖】結合對例2的理解，找兩位同學分別用兩種不同的方法到黑板上解該題，讓學生體會根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程，并比較兩種方法的優(yōu)劣，同時學生爬黑板板書解題過程，以規(guī)范學生的解題步驟． 五、課堂小結 教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答： 1．知識：（1）圓的標準方程的結構特點． 　　 （2）點與圓的位置關系的判定． 　　　　 (3) 求圓的標準方程的方法： 　　　　　 ①待定系數(shù)法；②幾何法. 2．思想：數(shù)形結合的思想． 教師總結: 圓的標準方程的推導方法用到了前面學過的知識，提醒學生: 在學習新知時，也要經(jīng)常復習前面學過的內容,“溫故而知新”．在應用中增強對知識的理解，及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用． 【設計意圖】加強對學生學習方法的指導． 六、布置作業(yè) 1.閱讀教材 P118-120； 2．書面作業(yè) 必做題： P124 習題4.1 A組 2，3 選做題： P124 習題4.1 B組 3 七、板書設計 4.1.1 圓的標準方程 1．圓的標準方程： 其中圓心為A(a,b)，半徑為r． 2．點和圓的位置關系： 例1. 例2. 例3. 課堂小結：