2019年高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練20 坐標系與參數(shù)方程 文.doc

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專題能力訓練20　坐標系與參數(shù)方程 一、能力突破訓練 1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為x=1+3cost,y=-2+3sint(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為2ρsinθ-π4=m(m∈R). (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程; (2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. 2.已知動點P,Q都在曲線C:x=2cost,y=2sint(t為參數(shù))上,對應參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求點M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將點M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷點M的軌跡是否過坐標原點. 3.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=-8+t,y=t2(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=2s2,y=22s(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值. 4.(2018全國Ⅰ,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程. 5.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-cos θ=0,點M1,π2.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點. (1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程; (2)求點M到A,B兩點的距離之積. 二、思維提升訓練 6.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12t,y=32t (t為參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=23sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標方程; (2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標. 7.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+2t,y=2t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=sinθ1-sin2θ. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程; (2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標. 8.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ+π4=42. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)設(shè)P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標.  專題能力訓練20　坐標系與參數(shù)方程(選修4—4) 一、能力突破訓練 1.解 (1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsinθ-π4=m, 得ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0. (2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-322. 2.解 (1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). 點M的軌跡的參數(shù)方程為x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α為參數(shù),0<α<2π). (2)點M到坐標原點的距離 d=x2+y2=2+2cosα(0<α<2π). 當α=π時,d=0,故點M的軌跡過坐標原點. 3.解 直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上,設(shè)P(2s2,22s), 從而點P到直線l的距離d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45. 當s=2時,dmin=455. 因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值455. 4.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-43時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點. 當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=43時,l2與C2沒有公共點. 綜上,所求C1的方程為y=-43|x|+2. 5.解 (1)x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由ρsin2θ-cos θ=0,得ρ2sin2θ=ρcos θ. 所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程. 點M的直角坐標為(0,1), 直線l的傾斜角為3π4, 故直線l的參數(shù)方程為 x=tcos3π4,y=1+tsin3π4(t為參數(shù)),即x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)). (2)把直線l的參數(shù)方程x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù))代入曲線C的方程得1+22t2=-22t, 即t2+32t+2=0,Δ=(32)2-42=10>0. 設(shè)A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-32,t1t2=2. 又直線l經(jīng)過點M,故由t的幾何意義得 點M到A,B兩點的距離之積 |MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|=2. 二、思維提升訓練 6.解 (1)由ρ=23sin θ,得ρ2=23ρsin θ, 從而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3. (2)設(shè)P3+12t,32t,又C(0,3), 則|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12, 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時,點P的直角坐標為(3,0). 7.解 (1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1, 故直線l的極坐標方程為ρcos θ-ρsin θ=1, 即2ρcosθcosπ4-sinθsinπ4=1, 即2ρcosθ+π4=1. ∵ρ=sinθ1-sin2θ, ∴ρ=sinθcos2θ, ∴ρcos2θ=sin θ, ∴(ρcos θ)2=ρsin θ, 即曲線C的直角坐標方程為y=x2. (2)設(shè)P(x0,y0),y0=x02,則P到直線l的距離d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342. ∴當x0=12時,dmin=328,此時P12,14. ∴當點P的坐標為12,14時,P到直線l的距離最小,最小值為328. 8.解 (1)由曲線C1:x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),得 x3=cosα,y=sinα(α為參數(shù)), 兩式兩邊平方相加,得x32+y2=1, 即曲線C1的普通方程為x23+y2=1. 由曲線C2:ρsinθ+π4=42,得 22ρ(sin θ+cos θ)=42, 即ρsin θ+ρcos θ=8,所以x+y-8=0, 即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0. (2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(3cos α,sin α)到直線x+y-8=0的距離d=|3cosα+sinα-8|2=2sinα+π3-82, 所以當sinα+π3=1時,d的最小值為32,此時點P的坐標為32,12.