2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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2.3.1　平面向量基本定理 學(xué)習(xí)目標：1.了解基底的含義，理解并掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面內(nèi)任一向量．(重點)2.掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．(難點)3.兩個向量的夾角與兩條直線所成的角．(易混點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．平面向量基本定理 條件 e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量 結(jié)論 對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 思考：(1)0能與另外一個向量a構(gòu)成基底嗎？ (2)平面向量的基底是唯一的嗎？ [提示]　(1)不能．基向量是不共線的，而0與任意向量是共線的． (2)不是．平面內(nèi)任何不共線的兩個向量都可以作為基底，基底一旦確定，平面內(nèi)任何一向量都可以用這一基底唯一表示． 2．向量的夾角 條件 兩個非零向量a和b 產(chǎn)生 過程 作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角 范圍 [0，π] 特殊 情況 θ＝0 a與b同向 θ＝90 a與b垂直，記作a⊥b θ＝180 a與b反向 [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．(　　) (2)若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量．(　　) (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則a＝c，b＝d.(　　) [解析]　(1)錯誤．根據(jù)基底的概念可知，平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底． (2)正確．根據(jù)平面向量基本定理知對平面內(nèi)任意向量都可以由向量e1，e2線性表示． (3)錯誤．當(dāng)e1與e2共線時，結(jié)論不一定成立． [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．若△ABC是等邊三角形，則與的夾角的大小為________． 120　[由向量夾角的定義知與的夾角與∠B互補，大小為120.] 3．如圖231所示，向量可用向量e1，e2表示為________． 圖231 4e1＋3e2　[由圖可知，＝4e1＋3e2.] [合 作 探 究攻 重 難] 用基底表示向量 　(1)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中點，且＝a，＝b，給出下列結(jié)論： ①＝－a－b；②＝a＋b； ③＝－a＋b；④＝a. 其中正確的結(jié)論的序號為________． (2)如圖232，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，，. 圖232 [思路探究]　用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則． (1)①②③　[(1)如圖，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正確； ＝＋＝a＋b，②正確； ＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a) ＝b－a，③正確； ④＝＝－a，④不正確．] (2)因為DC∥AB，AB＝2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點， 所以＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－b－a＋b＝b－a. [規(guī)律方法]　用基底表示向量的三個依據(jù)和兩個“模型” (1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則； ②向量減法的幾何意義； ③數(shù)乘向量的幾何意義． (2)模型： [跟蹤訓(xùn)練] 1．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，設(shè)＝a，＝b，則等于(　　) 圖233 A．－a＋b　　　　　 B．a(chǎn)－b C．a(chǎn)－b D．a(chǎn)＋b A　[∵＝，∴＝－. 又∵EF∥BC，∴＝＝(－)， ∴＝＋＝－＋(－) ＝－＝－a＋b.] 向量的夾角 　(1)已知向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，則a，b的夾角等于________． (2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角. [思路探究]　可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識來解決． (1)120　[作＝a，＝b，則c＝a＋b＝(如圖所示)， 則a，b夾角為180－∠C. ∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a， ∴∠C＝60， ∴a，b的夾角為120.] (2)[解]　由向量運算的幾何意義知a＋b，a－b是以a，b為鄰邊的平行四邊形兩條對角線． 如圖，∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴∠BOA＝60. 又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA， ∴a與a＋b的夾角是30. [規(guī)律方法]　兩向量夾角的實質(zhì)與求解方法： (1)兩向量夾角的實質(zhì)：從同一起點出發(fā)的兩個非零向量構(gòu)成的不大于平角的角，結(jié)合平面幾何知識加以解決. (2)求解方法：利用平移的方法使兩個向量起點重合，作出兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出. 提醒：尋找兩個向量的夾角時要緊扣定義中“共起點”這一特征，避免出現(xiàn)錯誤. [跟蹤訓(xùn)練] 2．在△ABC中，若∠A＝120，AB＝AC，則與夾角的大小為________． 150　[如圖所示，因為∠A＝120，AB＝AC，所以∠B＝30，所以與的夾角為180－∠B＝150.] 平面向量基本定理的唯一 性及其應(yīng)用 [探究問題] 若存在實數(shù)λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關(guān)系？ 提示：由題意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共線，故λ1＝μ1，λ2＝μ2. 　如圖234所示，在△OAB中，＝a，＝b，點M是AB上靠近B的一個三等分點，點N是OA上靠近A的一個四等分點．若OM與BN相交于點P，求. 圖234 [思路探究]　可利用＝t及＝＋＝＋s兩種形式來表示，并都轉(zhuǎn)化為以a，b為基底的表達式．根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s，t，進而得. [解]　＝＋A＝＋ ＝＋(－)＝a＋b. 因為與共線， 故可設(shè)＝t＝a＋b. 又與共線，可設(shè)＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb， 所以解得 所以＝a＋b. 母題探究：1.將本例中“M是AB上靠近B的一個三等分點”改為“M是AB上靠近A的一個三等分點”，“點N是OA上靠近A的一個四分點”改為“N為OA的中點”，求BP∶PN的值． 圖235 [解]?。剑絘－b， ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b， 因為O，P，M和B，P，N分別共線， 所以存在實數(shù)λ，μ使＝λ＝a－λb， ＝μ＝a＋b， 所以＝＋＝－＝a＋b， 又＝b，所以解得 所以＝，即BP∶PN＝4∶1. 2．將本例中點M，N的位置改為“＝，N為OA中點”，其他條件不變，試用a，b表示. 圖236 [解]?。剑剑絙－a， ＝－＝－＝a－b， 因為A，P，M三點共線，所以存在實數(shù)λ使得＝λ＝b－λa， 所以＝＋＝(1－λ)a＋b. 因為B，P，N三點共線，所以存在實數(shù)μ使得＝μ＝a－μb， 所以＝＋＝a＋(1－μ)b. 即解得 所以＝a＋b. [規(guī)律方法]　1.任意一向量基底表示的唯一性的理解： 條件一 平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2 條件二 a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2 結(jié)論 2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用： 平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1，λ2時有兩種方法： (1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理． (2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解． [當(dāng) 堂 達 標固 雙 基] 1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是(　　) A.，　　　　　 B.， C.， D.， D　[由于，不共線，所以是一組基底．] 2．已知?ABCD中∠DAB＝30，則與的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 D　[與的夾角與∠DAB互補，其大小為180－30＝150.] 3．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，若＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ A　[因為＝3， 所以－＝3(－)＝3－3， 所以3＝4－， 所以＝－＝－＋.] 4．已知向量a，b是一組基底，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為________． 3　[因為a，b是一組基底，所以a與b不共線， 因為(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， 所以解得 所以x－y＝3.] 5．已知△ABC中，D為BC的中點，E，F(xiàn)為BC的三等分點，若＝a，＝b，用a，b表示，，. 圖237 [解]　＝＋＝＋ ＝a＋(b－a)＝a＋b； ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b； ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.