2019屆高考數(shù)學 提分必備30個黃金考點 專題06 基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù))學案 文.doc
《2019屆高考數(shù)學 提分必備30個黃金考點 專題06 基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù))學案 文.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019屆高考數(shù)學 提分必備30個黃金考點 專題06 基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù))學案 文.doc(15頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
專題06 基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)) 【考點剖析】 1.命題方向預測: 1.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質是近幾年高考的熱點. 2.通過具體問題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質,或利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質解決一些實際問題是重點,也是難點,同時考查分類討論思想和數(shù)形結合思想. 3.高考考查的熱點是對數(shù)式的運算和對數(shù)函數(shù)的圖象、性質的綜合應用,同時考查分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想. 4.關于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體,考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質,多以小題形式出現(xiàn),屬容易題. 5.二次函數(shù)的圖象及性質是近幾年高考的熱點;用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點,也是難點. 6.題型以選擇題和填空題為主,以分段函數(shù)形式,考查多個函數(shù)的性質,若與其他知識點交匯,則以解答題的形式出現(xiàn). 2.課本結論總結: 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1.分數(shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0,m,n∈N*,且n>1);正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0;0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義. (2)有理指數(shù)冪的運算性質:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1.對數(shù)的概念 如果ax=N(a>0且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù),__N__叫做真數(shù). 2.對數(shù)的性質與運算法則 (1)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM (n∈R);④logamMn=logaM. (2)對數(shù)的性質 ①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0且a≠1). (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1); ②logab=,推廣logablogbclogcd=logad. 3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 二次函數(shù)與冪函數(shù) 1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函數(shù)的圖象和性質 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 圖象 定義域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 單調性 在x∈上單調遞減;在x∈上單調遞增 在x∈上單調遞減在x∈上單調遞增 對稱性 函數(shù)的圖象關于x=對稱 2.冪函數(shù) (1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質比較 特征 函數(shù) 性質 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定義域 R R R [0,+∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調性 增 x∈[0,+∞)時,增;x∈(-∞,0]時,減 增 增 x∈(0,+∞) 時,減;x∈(-∞,0)時,減 3.名師二級結論: (1)根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質是相同的,分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉化,通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算. (2)指數(shù)函數(shù)的單調性是由底數(shù)a的大小決定的,因此解題時通常對底數(shù)a按:0<a<1和a>1進行分類討論. (3)換元時注意換元后“新元”的范圍. (4)對數(shù)源于指數(shù),指數(shù)式和對數(shù)式可以互化,對數(shù)的性質和運算法則都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進行證明. (5)解決與對數(shù)有關的問題時,(1)務必先研究函數(shù)的定義域;(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍. (6)對數(shù)值的大小比較方法 化同底后利用函數(shù)的單調性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數(shù)后利用圖象比較. (7)函數(shù)y=f(x)對稱軸的判斷方法 1、對于二次函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函數(shù)y=f(x)的圖象關于x=對稱. 2、對于二次函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要條件是函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱(a為常數(shù)). 4.考點交匯展示: (1)基本初等函數(shù)與集合交匯 例1.【2017山東,理1】設函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域為,則 (A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1) 【答案】D 【解析】由得,由得,故,選D. (2)基本初等函數(shù)與不等式交匯 例1.【2017天津,文8】已知函數(shù)設,若關于x的不等式在R上恒成立,則a的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】 (當時取等號), 所以, 綜上.故選A. 例2.【2018年浙江卷】已知λ∈R,函數(shù)f(x)=,當λ=2時,不等式f(x)<0的解集是___________.若函數(shù)f(x)恰有2個零點,則λ的取值范圍是___________. 【答案】 (1,4) 當時,,此時,即在上有兩個零點;當時,,由在上只能有一個零點得.綜上,的取值范圍為. 【考點分類】 考向一 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 1.【2018年天津卷文】已知,則的大小關系為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由題意結合對數(shù)的性質,對數(shù)函數(shù)的單調性和指數(shù)的性質整理計算即可確定a,b,c的大小關系. 詳解:由題意可知:,即,,即, ,即,綜上可得:.本題選擇D選項. 2.【2017北京,理5】已知函數(shù),則 (A)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) (B)是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) (C)是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) (D)是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) 【答案】A 3.【2018年新課標I卷文】已知函數(shù),若,則________. 【答案】-7 【解析】 根據(jù)題意有,可得,所以,故答案是. 【方法規(guī)律】 1.求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題,首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性等相關性質,其次要明確復合函數(shù)的構成,涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時,都要借助“同增異減”這一性質分析判斷,最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關的問題加以解決. 2.對數(shù)式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后正用對數(shù)運算法則化簡合并. (2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算法則,轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算. 3.比較對數(shù)值大小時若底數(shù)相同,構造相應的對數(shù)函數(shù),利用單調性求解;若底數(shù)不同,可以找中間量,也可以用換底公式化成同底的對數(shù)再比較. 4.利用對數(shù)函數(shù)的性質,求與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的值域和單調性問題,必須弄清三方面的問題,一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關系;三是復合函數(shù)的構成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的. 【解題技巧】 1.圖像題要注意根據(jù)圖像的單調性和特殊點判斷 2.指數(shù)形式的幾個數(shù)字比大小要注意構造相應的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題,可以先通過令x=1得到底數(shù)的值再進行比較. 4.指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0,a≠1)的性質和a的取值有關,一定要分清a>1與00的解集為________. 【答案】{x|2<x<3} 【解析】∵函數(shù)y=lg(x2-2x+3)有最小值,f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,∴0<a<1. ∴由loga(x2-5x+7)>0,得0<x2-5x+7<1, 解得2<x<3. ∴不等式loga(x2-5x+7)>0的解集為{x|2<x<3}. 【易錯點】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中注意討論底數(shù)a的大小,復合函數(shù)的單調性往往也和a的取值有關 考向二 冪函數(shù)、二次函數(shù) 1.【2018屆廣東省茂名市高三五大聯(lián)盟學校9月聯(lián)考】已知冪函數(shù)的圖象過點,則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是( ) A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】由題設,故在上單調遞增,則當時取最小值,應選答案B. 2.【2018年天津卷文】已知a∈R,函數(shù)若對任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,則a的取值范圍是__________. 【答案】[,2] 【解析】 3.【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】已知函數(shù),若存在實數(shù),使得且同時成立,則實數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】. 【解析】分析:從函數(shù)形式上看,中的符號容易判斷,當時,,當,,因此當,在有解;當時,在有解,故可求出的取值范圍. 【方法規(guī)律】 1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關; 2.常結合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調性或圖象求解,在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取得最值.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間可以相互轉化.一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時,常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結合來解,一般從①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數(shù)值符號四個方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有關問題時,一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質求解. 3.冪函數(shù)y=xα的圖象與性質由于α的值不同而比較復雜,一般從兩個方面考查 (1)α的正負:α>0時,圖象過原點和(1,1),在第一象限的圖象上升;α<0時,圖象不過原點,在第一 象限的圖象下降,反之也成立. (2)曲線在第一象限的凹凸性:α>1時,曲線下凸;0<α<1時,曲線上凸;α<0時,曲線下凸. 4.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉化的一般規(guī)律: (1)在研究一元二次方程根的分布問題時,常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結合來解,一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數(shù)值符號四個方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有關問題時,一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質求解. 5.冪函數(shù)y=xα(α∈R)圖象的特征 α>0時,圖象過原點和(1,1),在第一象限的圖象上升;α<0時,圖象不過原點,在第一象限的圖象下降,反之也成立. 【解題技巧】 1. 做二次函數(shù)類型題是注意數(shù)形結合的應用,畫出函數(shù)的草圖能幫助我們理清思路 2. 二次函數(shù)中如果含有參數(shù),往往要進行分類討論 3.對于函數(shù)y=ax2+bx+c,要認為它是二次函數(shù),就必須滿足a≠0,當題目條件中未說明a≠0時,就要討論a=0和a≠0兩種情況. 4.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交,則交點一定是原點. 【易錯點睛】 1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別 2.冪函數(shù)的增減與α的關系 3.對于函數(shù)y=ax2+bx+c,要認為它是二次函數(shù),就必須滿足a≠0,當題目條件中未說明a≠0時,就要討論a=0和a≠0兩種情況. 【熱點預測】 1.【福建省閩侯第二中學、連江華僑中學等五校教學聯(lián)合體】設集合,則等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 2.【2018屆江西省新余市第四中學適應性考】設,則的大小順序是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 因為 ,所以. 故答案為:D 3.下列函數(shù)中,在內(nèi)單調遞減,并且是偶函數(shù)的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 4.【2019屆河南省信陽高級中學第一次大考】若x∈(,1),a=lnx,b=,c=,則 A. b>c>a B. c>b>a C. b>a>c D. a>b>c 【答案】A 【解析】 由題意得, ∵, ∴, ∴. ∴. 故選A. 5.【2018屆北京市通州區(qū)高三上期中】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作出函數(shù)與的圖象,如圖所示,由圖象可知, 與圖象有個交點.故選. 6.【2018屆安徽省淮南市二?!恳阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調遞增,若實數(shù)滿足,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 7.【2018屆廣西欽州市第三次檢測】定義運算:,則的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 令, 由于,所以, 所以,所以其最大值為,故選D. 8.【2018屆湖北省華中師范大學第一附屬中學5月押題】定義在上的函數(shù)為偶函數(shù),記,,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 9.【2017山東,理10】已知當時,函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點,則正實數(shù)的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】試題分析:當時, , 單調遞減,且,單調遞增,且 ,此時有且僅有一個交點;當時, ,在 上單調遞增,所以要有且僅有一個交點,需 選B. 10.【2018屆廣東省汕頭市金山中學高三上期中】已知當≤時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 11.【2018年高考第二次適應與模擬】設函數(shù),若,,則對任意的實數(shù), 的最小值為_________________. 【答案】10 【解析】 作出的圖象,如圖,由且得 ,即,其中, 如圖圓,易知點在劣弧上,記,則表示點到射線上點的距離的平方,從圖中可知最小值為點到原點的距離的平方,即. 12.【2018屆重慶市合川區(qū)5月模擬】已知函數(shù),若f(m)>1,則m的取值范圍是________. 【答案】(-∞,0)(2,+∞) 【解析】 若則 或, 即或, 解得,或. 故答案為: . 13.【2018屆寧夏銀川市唐徠回民中學四?!恳阎瘮?shù),若方程有兩個解,則實數(shù)的取值范圍是______. 【答案】 【解析】 14.函數(shù) (1)求方程的解; (2)若函數(shù)的最小值為,求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】 (1)要使函數(shù)有意義,則有,解得: 函數(shù)可化為 由,得 即, 的解為.- 配套講稿:
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