2018版高中數(shù)學 第二章 概率 2.2 超幾何分布學案 蘇教版選修2-3.doc

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2.2 超幾何分布 學習目標　1.了解超幾何分布的實際背景.2.理解超幾何分布的特征.3.能用超幾何分布這一概率模型解決相關問題． 知識點　超幾何分布 思考　從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)． (1)X的所有可能值是什么？ (2)X的概率分布是什么？ 　 　 梳理　超幾何分布 (1)概念：一般地，若一個隨機變量X的分布列為P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，則稱X服從超幾何分布． (2)記法：X服從超幾何分布，記為__________________，并將P(X＝r)＝____________記為H(r；n，M，N)． (3)含義：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含義： 特別提醒：(1)超幾何分布的模型特點 ①超幾何分布中的正品、次品也可以理解為黑、白，男、女等有明顯差異的兩部分． ②超幾何分布中“X＝k”的含義是“取出的n件產品中恰好有k件次品”． (2)超幾何分布的特征 ①超幾何分布的抽取是不放回的． ②超幾何分布本質上還是這一事件在該隨機試驗中發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比． 類型一　超幾何分布求概率 例1　從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨意摸出5個球，規(guī)定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解答此類問題的關鍵是先分析隨機變量是否滿足超幾何分布．若滿足，則直接利用公式解決；若不滿足，則應借助相應概率公式求解． 跟蹤訓練1　在元旦晚會上，數(shù)學老師設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球中獎，求中獎的概率．(結果保留兩位小數(shù)) 　 　 　 類型二　超幾何分布求概率分布 引申探究 在本例條件下，若記取到白球的個數(shù)為隨機變量η，求隨機變量η的概率分布．例2　一個袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1,2,3；黑球有2個，編號為1,2；白球有1個，編號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機抽取3個球． (1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率； (2)記取得1號球的個數(shù)為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　超幾何分布的求解步驟 (1)辨模型：結合實際情景分析所求概率分布問題是否具有明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”“優(yōu)劣”等，或可轉化為明顯的兩部分．具有該特征的概率模型為超幾何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝r)＝求解，也可以利用排列組合及概率的知識求解，需注意借助公式求解時應理解參數(shù)M，N，n，r的含義． (3)列分布表：把求得的概率值通過表格表示出來． 跟蹤訓練2　從5名男生和3名女生中任選3人參加奧運會火炬接力活動．若隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的概率分布及P(X<2)． 　 　 　 類型三　超幾何分布的綜合應用 例3　在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產品中任取3件．求： (1)取出的3件產品中一等品件數(shù)X的概率分布； (2)取出的3件產品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　識別超幾何分布的三大標準 (1)總數(shù)為N件的物品只分為兩類：M(M≤N)件甲類(或次品)，N－M件乙類(或正品)． (2)從N件物品中行取n(n≤N)件物品必須采用不放回抽樣． (3)隨機變量X表示從N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲類物品(或次品)的件數(shù)． 跟蹤訓練3　袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機變量X的概率分布； (3)計算介于20分到40分之間的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則取出1個白球和2個紅球的概率是________． 2．有10位同學，其中男生6位，女生4位，從中任選3人參加數(shù)學競賽．用X表示女生人數(shù)，則概率P(X≤2)＝________. 3．從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學競賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為________． 4．從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)，記最大的數(shù)為ξ，則P(ξ＝4)＝________. 5．一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)字2,3,4,5；另一個盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)字3,4,5,6.現(xiàn)從一個盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x，再從另一個盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機變量η＝x＋y，求η的概率分布． 　 　 　 　 　 　 1．超幾何分布的判斷 判斷隨機變量是否服從超幾何分布，可以從以下兩個方面判斷：一是超幾何分布描述的是不放回抽樣問題；二是隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)． 2．超幾何分布的分布列的求法 (1)在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式，求出X取不同r值時的概率P(X＝r)，從而列出X的概率分布． (2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相應試驗的很多事件的概率，從而就完全掌握了該試驗． 答案精析 問題導學 知識點 思考　(1)0,1,2. (2)P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， ∴X的概率分布如下表： X 0 1 2 P 梳理　(2)X～H(n，M，N)　 題型探究 例1　解　設摸出的紅球個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5.由于摸出5個球，得7分，僅有兩個紅球的可能，那么恰好得7分的概率為 P(X＝2)＝≈0.385， 即恰好得7分的概率約為0.385. 跟蹤訓練1　解　設摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中獎的概率為 P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝＋＋ ＝ ＝ ≈0.19. 例2　解　(1)從袋中一次隨機抽取3個球，基本事件總數(shù)n＝C＝20，取出的3個球的顏色都不相同包含的基本事件的個數(shù)為CCC＝6，所以取出的3個球的顏色都不相同的概率為P＝＝. (2)由題意知，X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝ ＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝ ＝. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 引申探究 解　由題意可知η＝0,1，服從兩點分布． 又P(η＝1)＝＝，所以η的概率分布如下表： η 0 1 P 跟蹤訓練2　解　由題意分析可知，隨機變量X服從超幾何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 故隨機變量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1) ＝＋＝. 例3　解　(1)由于從10件產品中任取3件的基本事件總數(shù)為C，從10件產品中任取3件，其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的基本事件個數(shù)為CC，那么從10件產品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率為P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3. 所以隨機變量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P (2)設“取出的3件產品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3. 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3， 又因為P(A1)＝＝， P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 即取出的3件產品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)的概率為. 跟蹤訓練3　解　(1)“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝＝. (2)由題意知，X所有可能的取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， 所以隨機變量X的概率分布如下表： X 2 3 4 5 P (3)“一次取球得分介于20分到40分之間”記為事件C，則P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 當堂訓練 1.　2.　3.　4. 5．解　依題意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 則有P(η＝5)＝＝， P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝， P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝， P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝. 所以η的概率分布為 η 5 6 7 8 9 10 11 P