2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 直接證明講義(含解析)蘇教版選修2-2.doc
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2.2.1 直 接 證 明 [對應(yīng)學(xué)生用書P26] 1.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=3,證明:2a+2b≥4. 證明:因?yàn)?a+2b≥2=2, 又a+b=3,所以2a+2b≥2=4. 故2a+2b≥4成立. 問題1:本題利用什么公式? 提示:基本不等式. 問題2:本題證明順序是什么? 提示:從已知到結(jié)論. 2.求證:+2<2+. 證明:要證明+2<2+, 由于+2>0,2+>0, 只需證明(+2)2<(2+)2, 展開得11+4<11+4,只需證明6<7,顯然6<7成立. 所以+2<2+成立. 問題1:本題證明從哪里開始? 提示:從結(jié)論開始. 問題2:證題思路是什么? 提示:尋求上一步成立的充分條件. 1.直接證明 (1)直接從原命題的條件逐步推得命題成立,這種證明通常稱為直接證明. (2)直接證明的一般形式 ?…?本題結(jié)論. 2.綜合法和分析法 直接證明 定義 推證過程 綜合法 從已知條件出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止.這種證明方法稱為綜合法 ?…?…? 分析法 從問題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止,這種證明方法稱為分析法 ?…?…? 1.綜合法是從“已知”看“可知”逐步推向未知,由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件.它的證明格式為:因?yàn)?,所以,所以……所以成立? 2.分析法證明問題時(shí),是從“未知”看“需知”,執(zhí)果索因逐步靠攏“已知”,通過逐步探索,尋找問題成立的充分條件.它的證明格式:要證,只需證,只需證……因?yàn)槌闪?,所以成立? 綜合法的應(yīng)用 [例1] 已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2≥. [思路點(diǎn)撥] 從已知條件出發(fā),結(jié)合基本不等式,即可得出結(jié)論. [精解詳析] ∵a2+≥, b2+≥,c2+≥, ∴++≥a+b+c =(a+b+c)=. ∴a2+b2+c2≥. [一點(diǎn)通] 綜合法證明問題的步驟 第一步:分析條件,選擇方向.仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件),分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別,選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論,確定恰當(dāng)?shù)慕忸}思路. 第二步:轉(zhuǎn)化條件、組織過程,把題目的已知條件,轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言,主要是文字、符號(hào)、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.組織過程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯,簡潔的語言,清晰的思路. 第三步:適當(dāng)調(diào)整,回顧反思.解題后回顧解題過程,可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整,有些語言可做適當(dāng)?shù)男揎?,反思總結(jié)解題方法的選?。? 1.設(shè)a,b,c為不全相等的正數(shù),且abc=1, 求證:++>++. 證明:∵a>0,b>0,c>0,且abc=1, ∴++=bc+ca+ab. 又bc+ca≥2=2=2, 同理bc+ab≥2,ca+ab≥2. ∵a、b、c不全相等. ∴上述三個(gè)不等式中的“=”不能同時(shí)成立. ∴2(bc+ca+ab)>2(++), 即bc+ca+ab>++, 故++>++. 2.(1)如圖,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真; (2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需證明). 解:(1)證明:法一:如圖,過直線b上任一點(diǎn)作平面π的垂線n,設(shè)直線a,b,c,n的方向向量分別是a,b,c,n,則b,c,n共面.根據(jù)平面向量基本定理,存在實(shí)數(shù)λ,μ使得c=λb+μn,則ac=a(λb+μn)=λ(ab)+μ(an), 因?yàn)閍⊥b,所以ab=0, 又因?yàn)閍π,n⊥π,所以an=0, 故ac=0,從而a⊥c. 法二:如圖,記c∩b=A,P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過P作PO⊥π,垂足為O, 則O∈c. ∵PO⊥π,aπ, ∴直線PO⊥a. 又a⊥b,b平面PAO,PO∩b=P, ∴a⊥平面PAO.又c平面PAO,∴a⊥c. (2)逆命題為:a 是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥c,則a⊥b. 逆命題為真命題. 分析法的應(yīng)用 [例2] 已知a>b>0,求證:<-<. [思路點(diǎn)撥] 本題條件較為簡單,結(jié)論比較復(fù)雜,我們可以從要證的結(jié)論入手,一步步探求結(jié)論成立的充分條件,即用分析法. [精解詳析] 要證明<-<成立, 只需證2, 即<. ∵a>b>0,∴<成立. ∴<-<成立. [一點(diǎn)通] 在已知條件較為簡單,所要證的問題較為復(fù)雜,無從入手的情況下,我們可從結(jié)論入手逆推,執(zhí)果索因,找到結(jié)論成立的條件,注明必要的文字說明,再用綜合法寫出步驟. 3.若P=+,Q=+,a≥0,求證:P<Q. 證明:要證P<Q,主要證P2<Q2, 只要證2a+7+2<2a+7+2, 即證a2+7a<a2+7a+12, 即證0<12. 因?yàn)?<12成立, 所以P<Q成立. 4.已知a、b是正實(shí)數(shù),求證:+≥ +. 證明:要證+≥ +, 只需證a+b≥(+). 即證(a+b-)(+)≥(+), 即證a+b-≥. 也就是要證a+b≥2. 因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù),所以a+b≥2成立, 所以+≥ +. 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 [例3] 已知00,b>0,c>0, ∴要證≥1, 只需證1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc, 即證1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0. ∵1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc) =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a) =(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c), 又a≤1,b≤1,c≤1, ∴(1-a)(1-b)(1-c)≥0, ∴1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0成立, 即證明了≥1. [一點(diǎn)通] (1)較為復(fù)雜問題的證明如單純利用分析法和綜合法證明較困難,這時(shí)可考慮分析法、綜合法輪流使用以達(dá)到證題目的. (2)綜合法和分析法的綜合應(yīng)用過程既可先用分析法再用綜合法,也可先用綜合法再用分析法,一般無具體要求,只要達(dá)到證題的目的即可. 5.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列.求證:+=. 證明:要證+=, 只需證+=3,即+=1, 只需證=1, 即=1. 下面證明:=1. ∵A+C=2B,A+B+C=180, ∴B=60. ∴b2=a2+c2-ac. ∴==1. 故原等式成立. 6.若a,b,c是不全相等的正數(shù). 求證:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 證明:要證lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c成立,即證lg>lg(abc)成立, 只需證>abc成立, ∵≥>0,≥>0,≥>0, ∴≥abc>0,(*) 又∵a,b,c是不全相等的正數(shù),∴(*)式等號(hào)不成立, ∴原不等式成立. 1.綜合法是由因?qū)Ч襟E嚴(yán)謹(jǐn),逐層遞進(jìn)、步步為營,書寫表達(dá)過程是條理清晰、形式簡潔,宜于表達(dá)推理的思維軌跡、缺點(diǎn)是探路艱難,不易達(dá)到所要證明的結(jié)論. 2.分析法是執(zhí)果索因,方向明確、利于思考,便于尋找解題思路.缺點(diǎn)是思路逆行、敘述繁瑣、表述易出錯(cuò). 3.在解決一個(gè)問題時(shí),我們常常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用.根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論P(yáng)1;根據(jù)原結(jié)論的特點(diǎn)去尋求使結(jié)論成立的條件,尋找到條件P2;當(dāng)由P1可以推出P2時(shí),結(jié)論得證. 一、填空題 1.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 解析:在△ABC中,由正弦定理得=. 又∵A>B,∴a>b,∴sin A>sin B 反之,若sin A>sin B,則a>b,∴A>B ∴A>B是sin A>sin B的充要條件. 答案:充要 2.設(shè)n∈N,則-________-(判斷大小). 解析:要證-<-, 只需證+<+, 只需證(+)2<(+)2, 即2n+5+2<2n+5+2. 只需證<, 只需證(n+1)(n+4)<(n+2)(n+3), 即n2+5n+4- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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