2018-2019學年高中數(shù)學 第一講 坐標系 三 簡單曲線的極坐標方程 1 圓的極坐標方程講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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1．圓的極坐標方程 1．曲線的極坐標方程 (1)在極坐標系中，如果曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標方程． (2)建立曲線的極坐標方程的方法步驟是： ①建立適當?shù)臉O坐標系，設P(ρ，θ)是曲線上任意一點． ②列出曲線上任意一點的極徑與極角之間的關系式． ③將列出的關系式整理、化簡． ④證明所得方程就是曲線的極坐標方程． 2．圓的極坐標方程 (1)圓心在C(a,0)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標方程為ρ＝2acos_θ. (2)圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程為ρ＝r. (3)圓心在點處且過極點的圓的方程為ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)． 圓的極坐標方程 [例1]　求圓心在(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程． [思路點撥]　結(jié)合圓的定義求其極坐標方程． [解]　在圓周上任取一點P(如圖)， 設其極坐標為(ρ，θ)． 由余弦定理知：|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP||OC|cos∠COP， 故其極坐標方程為r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)． 幾種特殊情形下的圓的極坐標方程 當圓心在極軸上即θ0＝0時，方程為r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r，則其方程為ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若ρ0＝r，θ0≠0，則方程為ρ＝2rcos(θ－θ0)，這幾個方程經(jīng)常用來判斷圖形的形狀和位置． 1．求圓心為C，半徑為1的圓的極坐標方程． 解：設圓C上任意一點的極坐標為M(ρ，θ)，如圖，在△OCM中，由余弦定理，得 |OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cos∠＝|CM|2， 即ρ2－2ρcos＋1＝0. 當O，C，M三點共線時，點M的極坐標也適合上式， 所以圓的極坐標方程為ρ2－2ρcos＋1＝0. 2．求圓心在A處并且過極點的圓的極坐標方程． 解：設M(ρ，θ)為圓上除O，B外的任意一點，連接OM，MB，則有|OB|＝4，|OM|＝ρ， ∠MOB＝θ－，∠BMO＝90，從而△BOM為直角三角形． ∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB 即ρ＝4cos＝－4sin θ. 極坐標方程與直角坐標方程的互化 [例2]　把下列極坐標方程化為直角坐標方程，并判斷圖形的形狀． (1)ρ＝2acos θ(a>0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5. [解]　(1)兩邊同時乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax，整理得(x－a)2＋y2＝a2， 它是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓． (2)兩邊同時乘以ρ，得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x2＋y2＝9x＋9y，整理得2＋2＝. 它是以為圓心，以為半徑的圓． (3)將ρ＝4兩邊平方，得ρ2＝16，即x2＋y2＝16. 它是以原點為圓心，以4為半徑的圓． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一條直線． 兩種坐標方程間進行互化時的注意點 (1)互化公式是有三個前提條件的，即極點與直角坐標系的原點重合、極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標系的單位長度相同． (2)由直角坐標求極坐標時，理論上不是惟一的，但這里約定只在0≤θ＜2π范圍內(nèi)求值． (3)由直角坐標方程化為極坐標方程，最后要注意化簡． (4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通常總要用ρ去乘方程的兩端，應該檢查極點是否在曲線上，若在，是等價變形，否則，不是等價變形． 3．曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 解析：將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0， 得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 答案：ρ＝2cos θ 4．把下列直角坐標方程化為極坐標方程． (1)y＝x；(2)x2－y2＝1. 解：(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x 得ρsin θ＝ρcos θ，從而θ＝. (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1， 得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化簡，得ρ2＝. 5．把下列極坐標方程化為直角坐標方程． (1)ρ＝6cos θ； (2)ρ＝2cos. 解：(1)因為ρ＝6cos θ，所以ρ2＝6ρcos θ， 所以化為直角坐標方程為x2＋y2－6x＝0. (2)因為ρ＝2cos θcos＋2sin θsin ＝cos θ＋sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ. 所以化為直角坐標方程為x2＋y2－x－y＝0. 一、選擇題 1．極坐標方程ρ＝sin θ＋cos θ表示的曲線是(　　) A．直線　　　　　　　 B．圓 C．橢圓 D．拋物線 解析：選B　極坐標方程ρ＝sin θ＋cos θ即ρ2＝ρ(sin θ＋cos θ)，化為直角坐標方程為x2＋y2＝x＋y，配方得2＋2＝，表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓．故選B. 2．如圖，極坐標方程ρ＝2sin的圖形是(　　) 解析：選C　圓ρ＝2sin是由圓ρ＝2sin θ繞極點按順時針方程旋轉(zhuǎn)而得，圓心的極坐標為，故選C. 3．在極坐標系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 解析：選B　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標方程為x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標為(0，－1)，其對應的極坐標為.故選B. 4．在極坐標系中，點到圓ρ＝2cos θ的圓心的距離為(　　) A．2 B. C. D. 解析：選D　極坐標系中的點化為平面直角坐標系中的點為(1，)，極坐標系中的圓 ρ＝2cos θ化為平面直角坐標系中的圓為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圓心為(1,0)．所求兩點間的距離為＝.故選D. 二、填空題 5．把圓的普通方程x2＋(y－2)2＝4化為極坐標方程為________． 解析：圓的方程x2＋(y－2)2＝4化為一般方程為x2＋y2－4y＝0，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. 答案：ρ＝4sin θ 6．曲線C的極坐標方程為ρ＝3sin θ，則曲線C的直角坐標方程為________． 解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ， 故x2＋y2＝3y，即所求方程為x2＋y2－3y＝0. 答案：x2＋y2－3y＝0 7．在極坐標系中，若過點A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cos θ于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：由題意知，直線方程為x＝3， 曲線方程為(x－2)2＋y2＝4， 將x＝3代入圓的方程， 得y＝，則|AB|＝2. 答案：2 三、解答題 8．把下列直角坐標方程與極坐標方程進行互化． (1)x2＋y2＋2x＝0； (2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2＝cos2θ. 解：(1)∵x2＋y2＋2x＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ＝0，∴ρ＝－2cos θ. (2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ， ∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0. (3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2 ∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x. 9．過極點O作圓C：ρ＝8cos θ的弦ON，求弦ON的中點M的軌跡方程． 解：法一(代入法)：設點M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)． 因為點N在圓ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1. 因為點M是ON的中點，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，所以2ρ＝8cos θ，所以ρ＝4cos θ. 所以點M的軌跡方程是ρ＝4cos θ. 法二(定義法)：如圖，圓C的圓心C(4,0)，半徑r＝|OC|＝4，連接CM. 因為M為弦ON的中點，所以CM⊥ON. 故M在以OC為直徑的圓上，所以動點M的軌跡方程是ρ＝4cos θ. 10．若圓C的方程是ρ＝2asin θ，求： (1)關于極軸對稱的圓的極坐標方程； (2)關于直線θ＝對稱的圓的極坐標方程． 解：法一：設所求圓上任意一點M的極坐標為(ρ，θ)． (1)點M(ρ，θ)關于極軸對稱的點為(ρ，－θ)， 代入圓C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin(－θ)， 即ρ＝－2asin θ為所求． (2)點M(ρ，θ)關于直線θ＝對稱的點為，代入圓C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin， 即ρ＝－2acos θ為所求． 法二：由圓的極坐標方程ρ＝2asin θ得ρ2＝2ρasin θ， 利用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝， 化為直角坐標方程為x2＋y2＝2ay， 即x2＋(y－a)2＝a2，故圓心為C(0，a)，半徑為|a|. (1)關于極軸對稱的圓的圓心為(0，－a)， 圓的方程為x2＋(y＋a)2＝a2， 即x2＋y2＝－2ay，所以ρ2＝－2ρasin θ， 故ρ＝－2asin θ為所求． (2)由θ＝得tan θ＝－1， 故直線θ＝的直角坐標方程為y＝－x. 圓x2＋(y－a)2＝a2關于直線y＝－x對稱的圓的方程為(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρacos θ. 故此圓的極坐標方程為ρ＝－2acos θ.