2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.5.2 離散型隨機變量的方差與標(biāo)準差學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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2.5.2　離散型隨機變量的方差與標(biāo)準差 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標(biāo)準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差． 知識點一　方差、標(biāo)準差的定義及方差的性質(zhì) 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的概率分布如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 思考1　試求E(X)，E(Y)． 　 　 思考2　能否由E(X)與E(Y)的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低？ 　 　 思考3　試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩工人技術(shù)水平的高低？ 　 　 梳理　(1)離散型隨機變量的方差和標(biāo)準差 設(shè)離散型隨機變量X的均值為μ，其概率分布表如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①方差：V(X)＝σ2＝____________________________________________，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1. 變形公式：V(X)＝pi－μ2. ②標(biāo)準差：σ＝________. ③意義：方差刻畫了隨機變量X與其均值μ的________程度． (2)方差的性質(zhì)：V(aX＋b)＝________. 知識點二　兩點分布、超幾何分布與二項分布的方差 1．兩點分布：若X～0－1分布，則V(X)＝________________________________________________________________________. 2．超幾何分布：若X～H(n，M，N)，則V(X)＝. 3．二項分布：若X～B(n，p)，則V(X)＝__________. 類型一　求隨機變量的方差 例1　在一個不透明的紙袋里裝有5個大小相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　求離散型隨機變量X的均值與方差的基本步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值． (2)求X取每個值的概率． (3)寫出X的概率分布． (4)由均值的定義求E(X)． (5)由方差的定義求V(X)． 跟蹤訓(xùn)練1　甲，乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92， (1)求該題被乙獨立解出的概率； (2)求解出該題的人數(shù)X的均值和方差． 　 　 　 　 　 類型二　兩點分布與二項分布的方差 例2　某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%. (1)計算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差； (2)從中有放回地隨機抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準差． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解此類問題，首先要確定正確的離散型隨機變量，然后確定它是否服從特殊分布，若它服從兩點分布，則其方差為p(1－p)；若其服從二項分布，則其方差為np(1－p)(其中p為成功概率)． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知隨機變量X服從二項分布B(n，p)，若E(X)＝30，V(X)＝20，則p＝________. (2)設(shè)ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，則V(3ξ)＝________. 1．已知隨機變量X的概率分布為 X －1 0 1 P 則下列式子：①E(X)＝－；②V(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正確式子的序號為________． 2．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ，則V(ξ)＝________. 3．已知離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝0，V(X)＝1，則a＝________，b＝________. X －1 0 1 2 P a b c 4.已知隨機變量X～B(100,0.2)，那么V(4X＋3)的值為________． 5．編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求E(ξ)和V(ξ)． 　 　 　 　 　 1．隨機變量的方差和標(biāo)準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，以及隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差V(X)或標(biāo)準差越小，則隨機變量X偏離均值的平均程度越??；方差V(X)或標(biāo)準差越大，表明偏離的平均程度越大，說明X的取值越分散． 2．求離散型隨機變量X的均值、方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X的所有可能的取值； (2)求X取每一個值的概率； (3)寫出隨機變量X的概率分布； (4)由均值、方差的定義求E(X)，V(X)． 特別地，若隨機變量服從兩點分布或二項分布，可根據(jù)公式直接計算E(X)和V(X)． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 思考1　E(X)＝0＋1＋2 ＝， E(Y)＝0＋1＋2＝. 思考2　不能，因為E(X)＝E(Y)． 思考3　方差． 梳理　(1)①(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn　②?、燮骄x　(2)a2V(X) 知識點二 1．p(1－p)　3.np(1－p) 題型探究 例1　解　X的可能取值為1,2,3,4,5. P(X＝1)＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝1＝. ∴X的概率分布為 X 1 2 3 4 5 P 由定義知，E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3， V(X)＝(22＋12＋02＋12＋22)＝2. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)記甲、乙分別解出此題的事件記為A，B. 設(shè)甲獨立解出此題的概率為P1，乙為P2， 則P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2， ∴P(A＋B)＝1－P( )＝1－(1－P1)(1－P2) ＝P1＋P2－P1P2＝0.92， ∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92， 則0.4P2＝0.32，即P2＝0.8. (2)P(X＝0)＝P()P() ＝0.40.2＝0.08， P(X＝1)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.60.2＋0.40.8＝0.44. ∴X的概率分布為 X 0 1 2 P 0.08 0.44 0.48 E(X)＝00.08＋10.44＋20.48 ＝0.44＋0.96＝1.4， V(X)＝(0－1.4)20.08＋(1－1.4)20.44＋(2－1.4)20.48 ＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4. 例2　解　(1)用ξ表示抽得的正品數(shù)， 則ξ＝0,1. ξ服從兩點分布，且P(ξ＝0)＝0.02， P(ξ＝1)＝0.98， 所以V(ξ)＝p(1－p)＝0.98(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X表示抽得的正品數(shù)， 則X～B(10,0.98)， 所以V(X)＝100.980.02＝0.196， 標(biāo)準差為≈0.44. 跟蹤訓(xùn)練2　(1)　(2)10 解析　(1)由題意知， 解得p＝. (2)由題意知，ξ～B， 則V(ξ)＝5＝， 所以V(3ξ)＝9V(ξ)＝9＝10. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．①③　2.　3.　　4.256 5．解　ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生， 則P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了， 則P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位學(xué)生全坐對了，即對號入座， 則P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0＋1＋3＝1. V(ξ)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2＝1.