2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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四 漸開線與擺線 1．漸開線的產(chǎn)生過(guò)程 把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓． 2．?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過(guò)程 圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡，圓的擺線又叫旋輪線． 3．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開線方程：(φ為參數(shù)) (2)擺線的參數(shù)方程：(φ為參數(shù))． 圓的漸開線的參數(shù)方程 [例1]　求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程． [思路點(diǎn)撥]　關(guān)鍵根據(jù)漸開線的生成過(guò)程，歸結(jié)到向量知識(shí)和三角的有關(guān)知識(shí)建立等式關(guān)系． [解]　以圓心為原點(diǎn)O，繩端點(diǎn)的初始位置為M0，向量的方向?yàn)閤軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開線上的任意點(diǎn)M(x，y)，繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為A，故OA⊥AM，按漸開線定義，弧的長(zhǎng)和線段AM的長(zhǎng)相等，記和x軸正向所夾的角為θ(以弧度為單位)，則|AM|＝＝4θ. 作AB垂直于x軸，過(guò)M點(diǎn)作AB的垂線，由三角函數(shù)和向量知識(shí)，得 ＝(4cos θ，4sin θ)． 由幾何知識(shí)知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 所以＝＋ ＝(4cos θ＋4θsin θ， 4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)， 4(sin θ－θcos θ))． 又＝(x，y)， 因此有 這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程． 圓的漸開線的參數(shù)方程中，字母r表示基圓的半徑，字母φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角；另外，漸開線的參數(shù)方程不宜化為普通方程． 1．已知圓的漸開線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)基圓的半徑是________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程可化為(φ為參數(shù))，圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑r＝3. 答案：3 2．已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上的兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A，B兩點(diǎn)的距離． 解：根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))， 分別把φ＝和φ＝代入，可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B. 那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A，B兩點(diǎn)的距離為 |AB|＝ ＝ . 即A，B兩點(diǎn)之間的距離為 . 圓的擺線的參數(shù)方程 [例2]　求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程．(如圖所示，開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度α(以弧度為單位)為參數(shù))． [思路點(diǎn)撥]　利用向量知識(shí)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解． [解]　當(dāng)圓滾過(guò)α角時(shí)，圓心為點(diǎn)B，圓與x軸的切點(diǎn)為A，定點(diǎn)M的位置如圖所示，∠ABM＝α. 由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng)，因此線段OA的長(zhǎng)和圓弧的長(zhǎng)相等，它們的長(zhǎng)都等于2α，從而B點(diǎn)坐標(biāo)為(2α，2)， 向量＝(2α，2)，向量＝(2sin α，2cos α)， ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋ ＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，向量＝(x，y) 所以 這就是所求擺線的參數(shù)方程． (1)圓的擺線的實(shí)質(zhì)是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡． (2)根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開的角度大?。? 3．?dāng)[線(0≤t≤2π)與直線y＝2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是________． 答案：(π－2,2)，(3π＋2,2) 4．圓的半徑為r，沿x軸正向滾動(dòng)，圓與x軸相切于原點(diǎn)O.圓上點(diǎn)M起始處沿順時(shí)針已偏轉(zhuǎn)φ角．試求點(diǎn)M的軌跡方程． 解：如圖所示，作MA⊥x軸于點(diǎn)A，作CB⊥MA于點(diǎn)B，則xM＝rφ－rcos＝r(φ－sin φ)，yM＝r＋rsin＝r(1－cos φ)．即點(diǎn)M的軌跡方程為 一、選擇題 1．半徑為3的圓的擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是(　　) A．π　　　　　　　　　 B．2π C．12π D．14π 解析：選C　根據(jù)條件可知，圓的擺線方程為 (φ為參數(shù))，把y＝0代入， 得φ＝2kπ(k∈Z)，此時(shí)x＝6kπ(k∈Z)． 2．給出下列說(shuō)法： ①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程； ②圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問(wèn)題； ③在求圓的擺線和漸開線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程； ④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn)． 其中正確的說(shuō)法有(　　) A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 解析：選C　對(duì)于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇體系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置． 3．已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)取對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為(　　) A.－1 B. C. D. 解析：選C　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A， ∴|AB|＝ ＝. 4．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH…的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長(zhǎng)是(　　) A．3π　　　　　　 B．4π C．5π D．6π 解析：選C　根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為π；是半徑為3的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為4的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2π，所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π. 二、填空題 5．我們知道關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為________． 解析：關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過(guò)程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于y＝x對(duì)稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換． 答案：(φ為參數(shù)) 6．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是__________，當(dāng)參數(shù)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為__________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.　 答案：2　 7．已知一個(gè)圓的擺線過(guò)點(diǎn)(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為______________． 解析：圓的擺線的參數(shù)方程為 令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又過(guò)(1,0)，∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝.又r＞0，∴k∈N＋. 答案：(φ為參數(shù)，k∈N＋) 三、解答題 8．有一個(gè)半徑是2a的輪子沿著直線軌道滾動(dòng)，在輪輻上有一點(diǎn)M，與輪子中心的距離是a，求點(diǎn)M的軌跡方程． 解：設(shè)輪子中心為O，則OM＝a.點(diǎn)M的軌跡即是以O(shè)為圓心，a為半徑的基圓的擺線．由參數(shù)方程知點(diǎn)M的軌跡方程為 9．已知一個(gè)圓的擺線方程是(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程． 解：根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16π，該圓對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)) 10．已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程． 解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0， 由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)． 又因?yàn)閤＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2(k∈Z)， 即得a＝(k∈Z)． 又由實(shí)際可知a＞0，所以a＝(k∈N＋)． 易知，當(dāng)k＝1時(shí)，a取最大值為. 代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)) 圓的漸開線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))