2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)53 關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)53 關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程 要點(diǎn)闡述 1．設(shè)P，對稱中心為（a，b），則P關(guān)于A的對稱點(diǎn)為． 2．設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為則． 典型例題 【例】已知兩圓相交于兩點(diǎn)A(1,3)，B(m，－1)，兩圓圓心都在直線x－y＋c＝0上，則m＋c的值是(　　) A．－1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【秒殺技】抓住相交弦與連心線垂直即可． 小試牛刀 1．若直線x＋y－3＝0始終平分圓(x－a)2＋(y－b)2＝2的周長，則a＋b＝(　　) A．3 B．2 C．5 D．1 【答案】A 【解析】由題可知，圓心(a，b)在直線x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3． 2．曲線x2+y2+2x–2y=0關(guān)于（ ） A．直線x=成軸對稱 B．直線y=–x成軸對稱 C．點(diǎn)（–2，）成中心對稱 D．點(diǎn)（–，0）成中心對稱 【答案】B 【解析】方程可化為（x+）2+（y–）2=4 表示圓，可以看出圓關(guān)于直線y=–x對稱． 3．圓（x+2）2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)O（0，0）對稱的圓的方程為（ ） A．（x+2）2+（y+2）2=5 B．x2+（y–2）2=5 C．（x–2）2+y2=5 D．x2+（y+2）2=5 【答案】C 【解析】已知圓的圓心（–2，0）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（2，0），故所求對稱圓的方程為（x–2）2+y2 =5． 【解題技巧】關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓，半徑?jīng)]有發(fā)生變化，只要用對稱找到圓心即可． 4．方程x2+ y2+ Dx+Ey+F=0（D2+E2–4F>0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形，則（ ） A．D+E=0 B．D+F=0 C．E+ F=0 D．D+E +F=0 【答案】A 【解析】是圓心，=0， D+E=0． 5．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，則a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是(　　) A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0 C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 【答案】B 【解題技巧】兩圓的方程相減即得公共弦所在直線方程． 6．設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對稱點(diǎn)仍在圓上，且直線x－y＋1＝0被圓截得的弦長為2，求圓的方程． 【解析】設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意，知直線x＋2y＝0過圓心， ∴a＋2b＝0．① 又點(diǎn)A在圓上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2．② ∵直線x－y＋1＝0被圓截得的弦長為2， ∴()2＋2＝r2．③ 由①②③可得或 故所求方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244． 考題速遞 1．若圓O：x2＋y2＝4和圓C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是(　　) A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0 【答案】D 【解析】由題意，知兩圓的圓心分別為O(0,0)，C(－2,2)．由于直線l為線段OC的垂直平分線，故直線l過線段OC的中點(diǎn)(－1，1)，斜率為1，所以直線l的方程是x－y＋2＝0． 2．圓x2+y2–2x–1=0關(guān)于直線2x– y+3 =0對稱的圓的方程是（ ） A．（x+3）2+（y–2）2= B．（x–3）2+（y+2）2= C．（x+3）2+（y–2）2=2 D．（x–3）2+（y+2）2=2 【答案】C 3．已知圓C: x2+y2+2x+ay–3= 0（a為實(shí)數(shù)）上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l:x–y+2=0的對稱點(diǎn)都在圓C上，則a=________． 【答案】–2 【解析】由題意可得圓C的圓心（） 在直線x–y+2=0上，將（）代入，得–1–（）+2=0，解得a=–2． 4．已知一個圓C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1和一條直線l：3x－4y＋5＝0，求圓關(guān)于直線l對稱的圓的方程． 【解析】圓C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1的圓心為C(－2,6)， 數(shù)學(xué)文化 一個圓的故事 有一個圓缺了一角，很不快樂，于是它動身去尋找所缺的一角．它一路向前滾一路唱“我要去尋找失去的一角”，它忍受著日曬，經(jīng)受著寒冷，被冰雪冰凍，又被太陽溫暖．由于缺了一角，它沒法滾得太快，它有時(shí)候停下來和小蟲說話，或是聞聞花的芳香，最快樂的是它和蝴蝶一起嬉戲的時(shí)光．它渡過海洋，穿越沼澤和湖泊，翻越丘陵和高山．終于有一天，它遇上了最合適的一角，總算找到了，它感覺真好． 它把一角裝上，成了一個完美的圓．它一路高興地唱“我找到了我失去的一角”．因?yàn)椴辉偃鄙偈裁?，它越滾越快，快得停不下來和小蟲說話，停不下來聞聞花香，停不下來和蝴蝶嬉戲，最后它再也不能唱歌了． 它開始明白了什么，停了下來，卸下那一角輕輕放下，從容的走開，又開始一路的歌唱“我要去尋找失去的一角”……