2018-2019年高中數學 第一章 計數原理 1.2.1 第一課時 排列與排列數公式學案 新人教A版選修2-3.doc

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第一課時　排列與排列數公式 [教材研讀] 預習教材P14～20，思考以下問題 1．排列的概念是什么？ 2．排列數的定義是什么？什么是排列數公式？ 3．排列數公式有哪些性質？ [要點梳理] 1．排列的概念 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 2．相同排列的兩個條件 (1)元素相同． (2)順序相同． 3．排列數及排列數公式 [自我診斷] 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) 1．1,2,3與3,2,1為同一排列．(　　) 2．在一個排列中，同一個元素不能重復出現．(　　) 3．從1,2,3,4中任選兩個元素，就組成一個排列．(　　) 4．從5個同學中任選2個同學分別參加數學和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題．(　　) [答案]　1.　2.√　3.　4.√ 思考：如何判斷一個問題是否為排列問題？ 提示：判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應視具體問題的性質和條件來決定)，看其結果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題． 下列問題是排列問題的為________(只填序號)． ①選2個小組分別去植樹和種菜； ②選2個小組分別去種菜； ③某班40名同學在假期互發(fā)短信； ④由1,2,3三個數字可以組成多少個無重復數字的三位數？ ⑤從40人中選5人組成籃球隊，有多少種不同的選法？ ⑥從1,2,3,4中取兩個數可以組成多少個不同的集合？ [解析]?、偈牵矘浜头N菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．②不是．選2個小組分別去種菜，不存在順序問題，不是排列問題．③是．A給B發(fā)短信與B給A發(fā)短信是不同的，所以存在順序問題，是排列問題．④由1,2,3組成的三位數與順序有關，是排列問題．⑤，⑥不存在順序問題，不是排列問題． [答案]?、佗邰? [變式] 將典例中③的“互發(fā)短信”改為“互通電話”，則此問題是排列問題嗎？ [解]　不是，互通電話與互發(fā)短信不同，與順序無關，故不是排列問題． 判斷一個具體問題是否為排列問題的思路 [跟蹤訓練] 判斷下列問題是否為排列問題： (1)某班共有50名同學，現要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結果？ (2)從2,3,5,7,9五個數字中任取兩個數分別作為對數的底數和真數，有多少個不同的對數值？ (3)有12個車站，共需準備多少種車票？ (4)從集合M＝{x|1≤x≤9，x∈N}中任取相異的兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓＋＝1? [解]　(1)是．選出的2人，擔任正、副班長，職務不同，與順序有關，所以是排列問題； (2)是．對數值與底數和真數的取值的不同有關系，與順序有關； (3)是．起點站或終點站不同，則車票就不同，與順序有關． (4)不是．焦點在x軸上的橢圓，方程中的a，b必須a>b，a，b的大小一定，選出的兩數較大的只能作a，較小的只能作b，與順序無關，所以不是排列問題． 題型二　排列數公式及應用 思考：你認為“排列”和“排列數”是同一個概念嗎？它們有什么區(qū)別？ 提示：“排列”與“排列數”是兩個不同的概念，排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一件事．“排列數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數”，它是一個數． (1)用排列數表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)； (2)計算2A＋A； (3)求證：A＋mA＝A. [思路導引]　(1)(2)應是排列數公式的正、逆用；(3)中證明常采用排列數公式的階乘形式． [解]　(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大數為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15個元素， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (2)2A＋A＝2432＋4321＝48＋24＝72. (3)證明：A＋mA＝＋m＝＝＝A. (1)排列數的第一個公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)適用于具體計算以及解當m較小時的含有排列數的方程和不等式，在運用該公式時要注意它的特點； (2)排列數的第二個公式A＝適用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等，在具體運用時，應注意先提取公因式，再計算，同時還要注意隱含條件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的運用． [跟蹤訓練] 1．計算. [解]?。剑剑? 2．求3A＝4A中的x. [解]　原方程3A＝4A可化為＝，即＝，化簡，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由題意知解得x≤8. 所以原方程的解為x＝6. (1)從1,2,3,4四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個？ (2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列． [思路導引]　可采用樹形圖的方法列舉，也可以直接利用排列數公式． [解]　(1)解法一：把1,2,3,4中任意一個數字排在第一個位置上，有4種排法；第一個位置排好后，第二個位置上的數字就有3種排法． 由題意作樹形圖，如下． 故組成的所有兩位數為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個． 解法二：從4個數字中任取2個，其排列個數為A＝43＝12. (2)由題意作樹形圖，如下． 故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 利用“樹形圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略 (1)適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個數不多的問題時，是一種比較有效的表示方式． (2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列． [跟蹤訓練] 1．寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法． [解]　如圖所示的樹形圖： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種． 2．(1)有5個不同的科研小課題，從中選3個由高二(6)班的3個學習興趣小組進行研究，每組一個課題，共有多少種不同的安排方法？ (2)12名選手參加校園歌手大獎賽，比賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名，每人最多獲得一種獎項，共有多少種不同的獲獎情況？ [解]　(1)從5個不同的科研小課題中選出3個，由3個學習興趣小組進行研究，對應于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列． 因此共有A＝543＝60種不同的安排方法． (2)從12名選手中選出3名獲獎并安排獎次，共有A＝121110＝1320種不同的獲獎情況． 1.本節(jié)課的重點是排列的概念、排列數公式及其簡單應用．難點是排列數公式的計算與證明問題． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)對排列概念的理解，見典例1； (2)利用排列數公式進行計算或證明，見典例2； (3)簡單排列問題的解決方法，見典例3. 3．本節(jié)課的易錯點是利用排列數公式A解決問題時，易忽視條件m≤n，且m∈N*，n∈N*.