2018-2019學年高中物理 第4章 能量守恒與可持續(xù)發(fā)展 習題課 機械能守恒定律學案 滬科版必修2.doc

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習題課　機械能守恒定律 [學習目標] 1.進一步理解機械能守恒的條件及其判定.2.能靈活應用機械能守恒定律的三種表達方式.3.在多個物體組成的系統(tǒng)中，會應用機械能守恒定律解決相關問題.4.明確機械能守恒定律和動能定理的區(qū)別． 一、機械能是否守恒的判斷 判斷機械能是否守恒的方法： (1)做功條件分析法：若物體系統(tǒng)內只有重力和彈力做功，其他力均不做功，則系統(tǒng)機械能守恒，具體有三種表現(xiàn)： ①只受重力、彈力，不受其他力； ②除受重力、彈力外還受其他力，其他力不做功； ③除重力、彈力外還有其他力做功，但其他力做功的代數和為零． (2)能量轉化分析法：若只有系統(tǒng)內物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變成其他形式的能(如沒有內能增加)，則系統(tǒng)的機械能守恒． 例1　(多選)如圖1所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平面上，現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法正確的是(　　) 圖1 A．斜劈對小球的彈力不做功 B．斜劈與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒 C．斜劈的機械能守恒 D．小球機械能的減少量等于斜劈動能的增加量 答案　BD 解析　小球有豎直方向的位移，所以斜劈對小球的彈力對球做負功，故A選項錯誤；小球對斜劈的彈力對斜劈做正功，所以斜劈的機械能增加，故C選項錯誤．不計一切摩擦，小球下滑過程中，小球和斜劈組成的系統(tǒng)中只有動能和重力勢能相互轉化，系統(tǒng)機械能守恒，故B、D選項正確． 二、多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題 1．多個物體組成的系統(tǒng)，就單個物體而言，機械能一般不守恒，但就系統(tǒng)而言機械能往往是守恒的． 2．關聯(lián)物體注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系． 3．機械能守恒定律表達式的選取技巧 (1)當研究對象為單個物體時，可優(yōu)先考慮應用表達式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp來求解． (2)當研究對象為兩個物體組成的系統(tǒng)時：①若兩個物體的重力勢能都在減少(或增加)，動能都在增加(或減少)，可優(yōu)先考慮應用表達式ΔEk＝－ΔEp來求解． ②若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優(yōu)先考慮用表達式ΔEA增＝ΔEB減來求解． 例2　如圖2所示，斜面的傾角θ＝30，另一邊與地面垂直，高為H，斜面頂點上有一定滑輪，物塊A和B的質量分別為m1和m2，通過輕而柔軟的細繩連接并跨過定滑輪．開始時兩物塊都位于與地面距離為H的位置上，釋放兩物塊后，A沿斜面無摩擦地上滑，B沿斜面的豎直邊下落．若物塊A恰好能達到斜面的頂點，試求m1和m2的比值．滑輪的質量、半徑和摩擦均忽略不計． 圖2 答案　1∶2 解析　設B剛下落到地面時速度為v，由系統(tǒng)機械能守恒得： m2g－m1gsin 30＝(m1＋m2)v2① A以速度v上滑到頂點過程中機械能守恒，則： m1v2＝m1gsin 30，② 由①②得＝1∶2. 針對訓練　如圖3所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質量為m的球，桿可繞軸O無摩擦的轉動，使桿從水平位置無初速度釋放．求當桿轉到豎直位置時，桿對A、B兩球分別做了多少功？ 圖3 答案?。璵gL　mgL 解析　設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB.如果把輕桿、兩球組成的系統(tǒng)作為研究對象，因為機械能沒有轉化為其他形式的能，故系統(tǒng)機械能守恒，可得：mgL＋mgL＝mvA2＋mvB2① 因A球與B球在各個時刻對應的角速度相同， 故vB＝2vA② 聯(lián)立①②得：vA＝，vB＝. 根據動能定理，對A有：WA＋mg＝mvA2－0，解得WA＝－mgL. 對B有：WB＋mgL＝mvB2－0，解得WB＝mgL. 三、機械能守恒定律與動能定理的綜合應用 例3　為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37、長為l＝2 m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與半徑為R＝0.2 m的豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖4所示．一個質量m＝1 kg的小物塊以初速度v0＝5 m/s從A點沿傾斜軌道滑下，小物塊到達C點時速度vC＝4 m/s.取g＝10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8. 圖4 (1)求小物塊到達C點時對圓軌道壓力的大??； (2)求小物塊從A到B運動過程中摩擦力所做的功； (3)為了使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應滿足什么條件？ 答案　(1)90 N　(2)－16.5 J　(3)R≤0.32 m 解析　(1)設小物塊到達C點時受到的支持力大小為N， 根據牛頓第二定律有，N－mg＝m 解得：N＝90 N 根據牛頓第三定律得，小物塊對圓軌道壓力的大小為90 N (2)小物塊從A到C的過程中，根據動能定理有： mglsin 37＋Wf＝mvC2－mv02 解得Wf＝－16.5 J (3)設小物塊進入圓軌道到達最高點時速度大小為v1， 為使小物塊能通過圓弧軌道的最高點， 則v1≥ 小物塊從圓軌道最低點到最高點的過程中，根據機械能守恒定律有： mvC2＝mv12＋2mgR，當v1＝時， 聯(lián)立解得R＝0.32 m， 所以為使小物塊能通過圓弧軌道的最高點，豎直圓弧軌道的半徑應滿足R≤0.32 m. 1.(機械能是否守恒的判斷)(多選)如圖5所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零．對于小球下降階段，下列說法中正確的是(不計空氣阻力)(　　) 圖5 A．在B位置小球動能最大 B．在C位置小球動能最大 C．從A→C位置小球重力勢能的減少等于小球動能的增加 D．整個過程中小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒 答案　BD 解析　小球從B運動至C過程，重力大于彈力，合力向下，小球加速，從C運動到D，重力小于彈力，合力向上，小球減速，故在C點動能最大，故A錯誤，B正確；小球下降過程中，只有重力和彈簧彈力做功，小球和彈簧系統(tǒng)機械能守恒，D正確；從A→C位置小球重力勢能的減少量等于動能增加量和彈性勢能增加量之和，故C錯誤． 2．(多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題)(多選)如圖6所示，a、b兩物塊質量分別為m、3m，用不計質量的細繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側．開始時，a、b兩物塊距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后由靜止釋放，直至a、b物塊間高度差為h，不計滑輪質量和一切摩擦，重力加速度為g.在此過程中，下列說法正確的是(　　) 圖6 A．物塊a的機械能守恒 B．物塊b的機械能減少了mgh C．物塊b機械能的減少量等于物塊a機械能的增加量 D．物塊a、b與地球組成的系統(tǒng)機械能守恒 答案　CD 解析　釋放b后物塊a加速上升，動能和重力勢能均增加，故機械能增加，選項A錯誤．對物塊a、b與地球組成的系統(tǒng)，只有重力做功，故機械能守恒，選項D正確．物塊a、b構成的系統(tǒng)機械能守恒，有(3m)g－mg＝mv2＋(3m)v2，解得v＝；物塊b動能增加量為(3m)v2＝mgh，重力勢能減少mgh，故機械能減少mgh－mgh＝mgh，選項B錯誤．由于繩的拉力對a做的功與b克服繩的拉力做的功相等，故物塊b機械能的減少量等于物塊a機械能的增加量，選項C正確． 3．(機械能守恒定律與動能定理的綜合應用)如圖7所示，一內壁光滑的細管彎成半徑為R＝0.4 m的半圓形軌道CD，豎直放置，其內徑略大于小球的直徑，水平軌道與半圓形軌道在C處連接完好．置于水平軌道上的彈簧左端與豎直墻壁相連，B處為彈簧原長狀態(tài)的右端．將一個質量為m＝0.8 kg的小球放在彈簧的右側后，用力水平向左推小球壓縮彈簧至A處，然后將小球由靜止釋放，小球運動到C處時對軌道的壓力大小為F1＝58 N．水平軌道以B處為界，左側AB段長為x＝0.3 m，與小球間的動摩擦因數為μ＝0.5，右側BC段光滑．g＝10 m/s2，求： 圖7 (1)彈簧在壓縮時所儲存的彈性勢能； (2)小球運動到軌道最高處D點時對軌道的壓力． 答案　(1)11.2 J　(2)10 N，方向豎直向上 解析　(1)對小球在C處，由牛頓第二定律、牛頓第三定律及向心力公式得F1－mg＝m， 解得vC＝5 m/s. 從A到B由動能定理得Ep－μmgx＝mvC2， 解得Ep＝11.2 J. (2)從C到D，由機械能守恒定律得： mv C2＝2mgR＋mvD2， vD＝3 m/s， 由于vD＞＝2 m/s， 所以小球在D點對軌道外壁有壓力． 小球在D點，由牛頓第二定律及向心力公式得F2＋mg＝m，解得F2＝10 N. 由牛頓第三定律可知，小球在D點對軌道的壓力大小為10 N，方向豎直向上． 一、選擇題 考點一　機械能是否守恒的判斷 1.如圖1所示，一輕繩的一端系在固定粗糙斜面上的O點，另一端系一小球．給小球一足夠大的初速度，使小球在斜面上做圓周運動．在此過程中(　　) 圖1 A．小球的機械能守恒 B．重力對小球不做功 C．輕繩的張力對小球不做功 D．在任何一段時間內，小球克服摩擦力所做的功總是等于小球動能的減少量 答案　C 解析　斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、輕繩張力的作用，由于除重力做功外，支持力和輕繩張力總是與運動方向垂直，故不做功，摩擦力做負功，機械能減少，A、B錯，C對；小球動能的變化量等于合外力對其做的功，即重力與摩擦力做功的代數和，D錯． 考點二　多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題 2.如圖2所示，小物體A和B通過輕質彈簧和輕繩跨過光滑定滑輪連接，初狀態(tài)在外力控制下系統(tǒng)保持靜止，輕彈簧處于原長，且輕彈簧上端離滑輪足夠遠，A離地面足夠高，物體A和B同時從靜止釋放，釋放后短時間內B能保持靜止，A下落h高度時，B開始沿斜面上滑，則下列說法中正確的是(　　) 圖2 A．B滑動之前，A機械能守恒 B．B滑動之前，A機械能減小 C．B滑動之前，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒 D．B 滑動之后，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒 答案　B 3．(多選)如圖3所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是(　　) 圖3 A．小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功 B．小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒 C．小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)機械能守恒 D．小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，機械能守恒 答案　BC 4.如圖4所示，物體A、B通過細繩及輕質彈簧連接在輕滑輪兩側，物體A、B的質量都為m.開始時細繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上．放手后物體A下落，與地面即將接觸時速度大小為v，此時物體B對地面恰好無壓力，不計空氣阻力，則下列說法正確的是(　　) 圖4 A．彈簧的勁度系數為 B．此時彈簧的彈性勢能等于mgh＋mv2 C．此時物體B的速度大小也為v D．此時物體A的加速度大小為g，方向豎直向上 答案　A 解析　由題意可知，此時彈簧所受的拉力大小等于B的重力，即F＝mg，彈簧伸長的長度為x＝h，由F＝kx得k＝，故A正確；A與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有mgh＝mv2＋Ep，則彈簧的彈性勢能Ep＝mgh－mv2，故B錯誤；物體B對地面恰好無壓力時，B的速度為零，故C錯誤；根據牛頓第二定律對A有F－mg＝ma，F(xiàn)＝mg，得a＝0，故D錯誤． 【考點】系統(tǒng)機械能守恒的應用 【題點】機械能守恒定律在彈簧類問題中的應用 5.如圖5所示，質量分別為m和3m的小球A和B可視為質點，系在長為L的細線兩端，桌面水平光滑，高為h(h＜L)．A球無初速度地從桌面滑下，落在沙地上靜止不動，不計空氣阻力，則B球離開桌面的速度為(　　) 圖5 A. B.　C. D. 答案　A 解析　由h＜L，當小球A剛落地時，由機械能守恒得mgh＝(m＋3m)v2，解得v＝，B球以此速離開桌面，選項A正確． 【考點】系統(tǒng)機械能守恒的應用 【題點】機械能守恒定律在繩連接體問題中的應用 6.如圖6所示，B物體的質量是A物體質量的，在不計摩擦及空氣阻力的情況下，A物體自H高處由靜止開始下落．以地面為參考平面，當物體A的動能與其重力勢能相等時，物體A距地面的高度為(B物體與定滑輪的距離足夠遠)(　　) 圖6 A.H B.H C.H D.H 答案　B 解析　設A的質量mA＝2m，B的質量mB＝m.物體A的動能等于其重力勢能時，A離地面的高度為h，A和B的共同速率為v，在運動過程中，A、B系統(tǒng)的機械能守恒，有2mg(H－h(huán))＝2mv2＋mv2，又2mv2＝2mgh，聯(lián)立解得h＝H，故選項B正確． 【考點】系統(tǒng)機械能守恒的應用 【題點】機械能守恒定律在繩連接體問題中的應用 7.如圖7所示的滑輪光滑輕質，不計一切阻力，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1離地高度為H＝0.5 m，取g＝10 m/s2.M1與M2從靜止開始釋放，M1由靜止下落0.3 m時的速度為(　　) 圖7 A. m/s B．3 m/s C．2 m/s D．1 m/s 答案　A 解析　對系統(tǒng)運用機械能守恒定律得(M1－M2)gh＝(M1＋M2)v2，代入數據解得v＝ m/s，故A正確，B、C、D錯誤． 【考點】系統(tǒng)機械能守恒的應用 【題點】機械能守恒定律在繩連接體問題中的應用 8.如圖8所示，一均質桿長為r，從圖示位置由靜止開始沿光滑面ABD滑動，AB是半徑為r的圓弧，BD為水平面．則當桿滑到BD位置時的速度大小為(重力加速度為g)(　　) 圖8 A. B.　C. D．2 答案　B 解析　雖然桿在下滑過程有轉動發(fā)生，但初始位置靜止，末狀態(tài)勻速平動，整個過程無機械能損失，故有mv2＝mg， 解得：v＝. 【考點】系統(tǒng)機械能守恒的應用 【題點】機械能守恒定律在桿連接體問題中的應用 二、非選擇題 9．(多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題)一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用輕質不可伸長的細繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣兩側，A球質量為B球質量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖9所示．已知A球始終不離開圓柱內表面，且細繩足夠長，若不計一切摩擦，重力加速度為g，求：A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大?。? 圖9 答案　2 解析　設A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大小為v，B球的質量為m，則根據機械能守恒定律有2mgR－mgR＝2mv2＋mvB2，由圖可知，A球的速度v與B球速度vB的關系為vB＝v1＝vcos 45，聯(lián)立解得v＝2. 10．(多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題)如圖10所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩小球擠壓但不與球連接，處于靜止狀態(tài)．同時釋放兩個小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，b球恰好能到達斜軌道的最高點B.已知a球質量為m1，b球質量為m2，重力加速度為g.求： 圖10 (1)a球離開彈簧時的速度大小va； (2)b球離開彈簧時的速度大小vb； (3)釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep. 答案　(1)　(2)2　(3)(m1＋10m2)gR 解析　(1)由a球恰好能到達A點知：m1g＝m1 由機械能守恒定律得：m1va2－m1vA2＝m1g2R 解得va＝. (2)對于b球由機械能守恒定律得： m2vb2＝m2g10R 解得vb＝＝2. (3)由機械能守恒定律得：Ep＝m1va2＋m2vb2 解得Ep＝(m1＋10m2)gR. 11．(機械能守恒定律與動量定理的綜合應用)物塊A的質量為m＝2 kg，物塊與坡道間的動摩擦因數為μ＝0.6，水平面光滑．坡道頂端距水平面高度為h＝1 m，傾角為θ＝37.物塊從坡道進入水平滑道時，在底端O點處無機械能損失，將輕彈簧的一端固定在水平滑道M處，另一自由端恰位于坡道的底端O點，如圖11所示．物塊A從坡頂由靜止滑下，重力加速度為g＝10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，求： 圖11 (1)物塊滑到O點時的速度大??； (2)彈簧為最大壓縮量時的彈性勢能； (3)物塊A被彈回到坡道后上升的最大高度． 答案　(1)2 m/s　(2)4 J　(3) m 解析　(1)由動能定理得mgh－＝mv2 代入數據解得v＝2 m/s (2)在水平滑道上，由機械能守恒定律得mv2＝Ep 代入數據解得Ep＝4 J (3)設物塊A能夠上升的最大高度為h1，物塊被彈回過程中由動能定理得 －mgh1－＝0－mv2 代入數據解得h1＝ m.