2019年高考數(shù)學總復習 4.2.1 等差、等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和課件 理.ppt

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4 2數(shù)列大題 1 求通項公式的常見類型 1 已知an與Sn的關系或Sn與n的關系 利用公式 2 等差數(shù)列 等比數(shù)列求通項或轉化為等差 比 數(shù)列求通項 3 由遞推關系式求數(shù)列的通項公式 形如an 1 an f n 利用累加法求通項 形如an 1 anf n 利用累乘法求通項 2 數(shù)列求和的常用方法 1 公式法 利用等差數(shù)列 等比數(shù)列的求和公式 2 錯位相減法 適合求數(shù)列 an bn 的前n項和Sn 其中 an bn 一個是等差數(shù)列 另一個是等比數(shù)列 3 裂項相消法 即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和 通過累加抵消中間若干項的方法 4 拆項分組法 先把數(shù)列的每一項拆成兩項 或多項 再重新組合成兩個 或多個 簡單的數(shù)列 最后分別求和 5 并項求和法 把數(shù)列的兩項 或多項 組合在一起 重新構成一個數(shù)列再求和 適用于正負相間排列的數(shù)列求和 3 數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方法 1 求最大 小 項時 可利用 數(shù)列的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性 導數(shù) 2 求參數(shù)范圍時 可利用 作差法 同號遞推法 先猜后證法 4 數(shù)列不等式問題的解決方法 1 利用數(shù)列 或函數(shù) 的單調(diào)性 2 放縮法 先求和后放縮 先放縮后求和 包括放縮后成等差 或等比 數(shù)列再求和 或者放縮后裂項相消再求和 4 2 1等差 等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 等差 等比數(shù)列的通項及求和例1 2018全國 理17 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 解 1 設 an 的公差為d 由題意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通項公式為an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以當n 4時 Sn取得最小值 最小值為 16 解題心得對于等差 等比數(shù)列 求其通項及前n項和時 只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 對點訓練1已知等差數(shù)列 an 的公差不為零 a1 25 且a1 a11 a13成等比數(shù)列 1 求 an 的通項公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 解 1 設 an 的公差為d 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 或d 2 故an 2n 27 2 令Sn a1 a4 a7 a3n 2 由 1 知a3n 2 6n 31 故 a3n 2 是首項為25 公差為 6的等差數(shù)列 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可轉化為等差 等比數(shù)列的問題例2已知等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn a1 3 且3S1 2S2 S3成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 設bn log3an 求Tn b1b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2n 1b2n b2nb2n 1 解 1 3S1 2S2 S3成等差數(shù)列 4S2 3S1 S3 4 a1 a2 3a1 a1 a2 a3 即a3 3a2 公比q 3 an a1qn 1 3n 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和 通過變形 整理后 能夠把數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列 進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題 2 由 1 知 bn log3an log33n n b2n 1b2n b2nb2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 4n Tn b1b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2n 1b2n b2nb2n 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 對點訓練2設 an 是公比大于1的等比數(shù)列 Sn為數(shù)列 an 的前n項和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4構成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 由已知得 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 bn 1 bn 3ln2 數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求數(shù)列的通項及錯位相減求和例3已知 an 為等差數(shù)列 前n項和為Sn n N bn 是首項為2的等比數(shù)列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通項公式 2 求數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項和 n N 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 設等差數(shù)列 an 的公差為d 等比數(shù)列 bn 的公比為q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因為q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 聯(lián)立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 數(shù)列 an 的通項公式為an 3n 2 數(shù)列 bn 的通項公式為bn 2n 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 設數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項和為Tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述兩式相減 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解題心得求數(shù)列通項的基本方法是利用等差 等比數(shù)列通項公式 或通過變形轉換成等差 等比數(shù)列求通項 如果數(shù)列 an 與數(shù)列 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 那么數(shù)列 an bn 的前n項和采用錯位相減法來求 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 對點訓練3 2018浙江 20 已知等比數(shù)列 an 的公比q 1 且a3 a4 a5 28 a4 2是a3 a5的等差中項 數(shù)列 bn 滿足b1 1 數(shù)列 bn 1 bn an 的前n項和為2n2 n 1 求q的值 2 求數(shù)列 bn 的通項公式 解 1 由a4 2是a3 a5的等差中項 得a3 a5 2a4 4 所以a3 a4 a5 3a4 4 28 解得a4 8 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 設cn bn 1 bn an 數(shù)列 cn 前n項和為Sn 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求數(shù)列的通項及裂項求和例4已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且對任意正整數(shù)n 都有3an 2Sn 3成立 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解 1 在3an 2Sn 3中 取n 1 得a1 3 且3an 1 2Sn 1 3 兩式相減 得3an 1 3an 2an 1 an 1 3an a1 0 數(shù)列 an 是以3為公比的等比數(shù)列 an 3 3n 1 3n 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由 1 得bn log3an n 解題心得對于已知等式中含有an Sn的求數(shù)列通項的題目 一般有兩種解題思路 一是消去Sn得到f an 0 求出an 二是消去an得到g Sn 0 求出Sn 再求an 把數(shù)列的通項拆成兩項之差 求和時中間的項能夠抵消 從而求得其和 注意抵消后所剩余的項一般前后對稱 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 對點訓練4Sn為數(shù)列 an 的前n項和 已知an 0 2an 4Sn 3 1 求 an 的通項公式 所以 an 是首項為3 公差為2的等差數(shù)列 通項公式為an 2n 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由an 2n 1可知 設數(shù)列 bn 的前n項和為Tn 則Tn b1 b2 bn 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例5已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且a1 2 S5 30 數(shù)列 bn 的前n項和為Tn 且Tn 2n 1 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 2 設cn 1 n anbn lnSn 求數(shù)列 cn 的前n項和 對數(shù)列 bn 當n 1時 b1 T1 21 1 1 當n 2時 bn Tn Tn 1 2n 2n 1 2n 1 當n 1時也滿足上式 bn 2n 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 cn 1 n anbn lnSn 1 nanbn 1 nlnSn lnSn lnn n 1 lnn ln n 1 而 1 nanbn 1 n 2n 2n 1 n 2 n 設數(shù)列 1 nanbn 的前n項和為An 數(shù)列 1 nlnSn 的前n項和為Bn 則An 1 2 1 2 2 2 3 2 3 n 2 n 則 2An 1 2 2 2 2 3 3 2 4 n 2 n 1 得3An 1 2 1 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 當n為偶數(shù)時 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 當n為奇數(shù)時 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 由以上可知 Bn 1 nln n 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 對點訓練5已知函數(shù)f x 4x 4 f a1 f a2 f an 2n 3 n N 成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解 1 4 f a1 f a2 f an 2n 3成等比數(shù)列 其公比設為q 2n 3 4 qn 2 1 解得q 2 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五