高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 導數(shù)的概念及運算課件 理.ppt

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第三章導數(shù)及其應用 3 1導數(shù)的概念及運算 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 2 若f x 對于區(qū)間 a b 內任一點都可導 則f x 在各點的導數(shù)也隨著自變量x的變化而變化 因而也是自變量x的函數(shù) 該函數(shù)稱為f x 的導函數(shù) 記作f x f x0 知識梳理 1 答案 2 導數(shù)的幾何意義函數(shù)y f x 在點x0處的導數(shù)的幾何意義 就是曲線y f x 在點P x0 f x0 處的切線的斜率k 即k 3 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 x 1 0 cosx f x0 答案 sinx ex axlna 答案 5 復合函數(shù)的導數(shù)若y f u u ax b 則即 4 導數(shù)的運算法則若f x g x 存在 則有 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 f x0 與 f x0 表示的意義相同 2 求f x0 時 可先求f x0 再求f x0 3 曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點 4 與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線 5 函數(shù)f x sin x 的導數(shù)是f x cosx 答案 思考辨析 f x x2 2 f 1 3 3 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如圖所示為函數(shù)y f x y g x 的導函數(shù)的圖象 那么y f x y g x 的圖象可能是 解析答案 1 3 4 5 2 解析由y f x 的圖象知y f x 在 0 上單調遞減 說明函數(shù)y f x 的切線的斜率在 0 上也單調遞減 故可排除 又由圖象知y f x 與y g x 的圖象在x x0處相交 說明y f x 與y g x 的圖象在x x0處的切線的斜率相同 由圖知 不符合 符合 故 正確 答案 解析答案 1 3 4 5 2 解析答案 1 3 4 5 2 ex 0 即x 0時 成立 y 1 0 tan 1 0 又 0 解析答案 1 3 4 5 2 解析y ex 曲線y ex在點 0 1 處的切線的斜率k1 e0 1 因為兩切線垂直 所以k1k2 1 所以m 1 n 1 則點P的坐標為 1 1 1 1 解析答案 1 3 4 5 返回 2 題型分類深度剖析 例1求下列函數(shù)的導數(shù) 1 y 3x2 4x 2x 1 解 y 3x2 4x 2x 1 6x3 3x2 8x2 4x 6x3 5x2 4x y 18x2 10 x 4 2 y x2sinx 解y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 題型一導數(shù)的運算 解析答案 3 y 3xex 2x e 解y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xexln3 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 解析答案 解析答案 5 y ln 2x 5 解令u 2x 5 y lnu 解析答案 思維升華 思維升華 1 求導之前 應利用代數(shù) 三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡 然后求導 這樣可以減少運算量 提高運算速度 減少差錯 遇到函數(shù)的商的形式時 如能化簡則化簡 這樣可避免使用商的求導法則 減少運算量 2 復合函數(shù)求導時 先確定復合關系 由外向內逐層求導 必要時可換元 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 則x0 故由f x0 2017得2017 lnx0 2017 則lnx0 0 解得x0 1 1 跟蹤訓練1 解析答案 2 若函數(shù)f x ax4 bx2 c滿足f 1 2 則f 1 解析f x 4ax3 2bx f x 為奇函數(shù) 且f 1 2 f 1 2 2 解析答案 命題點1已知切點的切線方程問題 則f 1 1 故該切線方程為y 2 x 1 即x y 3 0 x y 3 0 題型二導數(shù)的幾何意義 解析答案 2 曲線y e 2x 1在點 0 2 處的切線與直線y 0和y x圍成的三角形的面積為 解析 y 2e 2x 曲線在點 0 2 處的切線斜率k 2 切線方程為y 2x 2 該直線與直線y 0和y x圍成的三角形如圖所示 解析答案 命題點2未知切點的切線方程問題例3 1 與直線2x y 4 0平行的拋物線y x2的切線方程是 解析對y x2求導得y 2x 則切線斜率為k 2x0 由2x0 2得x0 1 故切線方程為y 1 2 x 1 即2x y 1 0 2x y 1 0 解析答案 2 已知函數(shù)f x xlnx 若直線l過點 0 1 并且與曲線y f x 相切 則直線l的方程為 解析 點 0 1 不在曲線f x xlnx上 設切點為 x0 y0 又 f x 1 lnx 解得x0 1 y0 0 切點為 1 0 f 1 1 ln1 1 直線l的方程為y x 1 即x y 1 0 x y 1 0 解析答案 命題點3和切線有關的參數(shù)問題 直線l的斜率為k f 1 1 又f 1 0 切線l的方程為y x 1 g x x m 設直線l與g x 的圖象的切點為 x0 y0 于是解得m 2 2 解析答案 命題點4導數(shù)與函數(shù)圖象的關系 例5如圖 點A 2 1 B 3 0 E x 0 x 0 過點E作OB的垂線l 記 AOB在直線l左側部分的面積為S 則函數(shù)S f x 的圖象為下圖中的 填序號 解析答案 思維升華 解析函數(shù)的定義域為 0 當x 0 2 時 在單位長度變化量 x內面積變化量 S大于0且越來越大 即斜率f x 在 0 2 內大于0且越來越大 因此 函數(shù)S f x 的圖象是上升的 且圖象是下凸的 當x 2 3 時 在單位長度變化量 x內面積變化量 S大于0且越來越小 即斜率f x 在 2 3 內大于0且越來越小 因此 函數(shù)S f x 的圖象是上升的 且圖象是上凸的 當x 3 時 在單位長度變化量 x內面積變化量 S為0 即斜率f x 在 3 內為常數(shù)0 此時 函數(shù)圖象為平行于x軸的射線 答案 思維升華 思維升華 4 函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況 由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢 導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率 應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面 1 已知切點A x0 f x0 求斜率k 即求該點處的導數(shù)值 k f x0 2 已知斜率k 求切點A x1 f x1 即解方程f x1 k 跟蹤訓練2 解析答案 解析由f x 3x cos2x sin2x得f x 3 2sin2x 2cos2x 由y x3得y 3x2 當P點為切點時 切線的斜率k 3a2 3 12 3 又b a3 則b 1 所以切點P的坐標為 1 1 解析答案 故過曲線y x3上的點P的切線方程為y 1 3 x 1 即3x y 2 0 P a b 在曲線y x3上 且a 1 b 1 綜上 滿足題意的切線方程為3x y 2 0或3x 4y 1 0 答案3x y 2 0或3x 4y 1 0 2 若直線y 2x m是曲線y xlnx的切線 則實數(shù)m的值為 解析設切點為 x0 x0lnx0 得切線的斜率k lnx0 1 故切線方程為y x0lnx0 lnx0 1 x x0 解得x0 e 故m e e 解析答案 返回 易錯警示系列 典例 14分 若存在過點O 0 0 的直線l與曲線y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 易錯分析由于題目中沒有指明點O 0 0 的位置情況 容易忽略點O在曲線y x3 3x2 2x上這個隱含條件 進而不考慮O點為切點的情況 易錯警示系列 4 求曲線的切線方程條件審視不準致誤 易錯分析 解析答案 返回 溫馨提醒 即直線l的斜率為2 故直線l的方程為y 2x 依題意 4 4a 0 得a 1 5分 2 當O 0 0 不是切點時 設直線l與曲線y x3 3x2 2x相切于點P x0 y0 規(guī)范解答解易知點O 0 0 在曲線y x3 3x2 2x上 1 當O 0 0 是切點時 由y 3x2 6x 2 得在原點處的切線斜率k 2 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 對于求曲線的切線方程沒有明確切點的情況 要先判斷切線所過點是否在曲線上 若所過點在曲線上 要對該點是否為切點進行討論 思想方法感悟提高 1 f x0 代表函數(shù)f x 在x x0處的導數(shù)值 f x0 是函數(shù)值f x0 的導數(shù) 而函數(shù)值f x0 是一個常數(shù) 其導數(shù)一定為0 即 f x0 0 2 對于函數(shù)求導 一般要遵循先化簡再求導的基本原則 在實施化簡時 首先必須注意變換的等價性 避免不必要的運算失誤 3 未知切點的曲線切線問題 一定要先設切點 利用導數(shù)的幾何意義表示切線的斜率建立方程 方法與技巧 1 利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號 防止與乘法公式混淆 復合函數(shù)的導數(shù)要正確分解函數(shù)的結構 由外向內逐層求導 2 求曲線切線時 要分清在點P處的切線與過P點的切線的區(qū)別 前者只有一條 而后者包括了前者 3 曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個 這和研究直線與二次曲線相切時有差別 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 已知函數(shù)f x 的導函數(shù)為f x 且滿足f x 2xf 1 lnx 則f 1 15 解析由f x 2xf 1 lnx f 1 2f 1 1 則f 1 1 1 解析答案 2 已知曲線y lnx的切線過原點 則此切線的斜率為 因為切線過點 0 0 所以 lnx0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 已知f1 x sinx cosx fn 1 x 是fn x 的導函數(shù) 即f2 x f1 x f3 x f2 x fn 1 x fn x n N 則f2016 x 解析 f1 x sinx cosx f2 x f1 x cosx sinx f3 x f2 x sinx cosx f4 x f3 x cosx sinx f5 x f4 x sinx cosx f1 x fn x 是以4為周期的函數(shù) f2016 x f4 x sinx cosx sinx cosx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 設曲線y ax lnx在點 1 1 處的切線方程為y 2x 則a 解析令f x ax lnx 由導數(shù)的幾何意義可得在點 1 1 處的切線的斜率為f 1 a 1 又切線方程為y 2x 則有a 1 2 a 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 已知y f x 是可導函數(shù) 如圖 直線y kx 2是曲線y f x 在x 3處的切線 令g x xf x g x 是g x 的導函數(shù) 則g 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由題圖可知f 3 1 答案0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 已知函數(shù)f x x3 3x 若過點A 0 16 且與曲線y f x 相切的直線方程為y ax 16 則實數(shù)a的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 聯(lián)立 可解得x0 2 y0 2 解析先設切點為M x0 y0 答案9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 當x 0時 曲線的切線斜率取得最小值 答案x 4y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 即x 4y 2 0 因為ex 0 9 已知曲線y x3 x 2在點P0處的切線l1平行于直線4x y 1 0 且點P0在第三象限 1 求P0的坐標 解由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知令3x2 1 4 解之得x 1 當x 1時 y 0 當x 1時 y 4 又 點P0在第三象限 切點P0的坐標為 1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若直線l l1 且l也過切點P0 求直線l的方程 解 直線l l1 l1的斜率為4 l過切點P0 點P0的坐標為 1 4 即x 4y 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 證明 曲線y f x 上任一點處的切線與直線x 0和直線y x所圍成的三角形的面積為定值 并求此定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解設P x0 y0 為曲線上任一點 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令y x 得y x 2x0 從而得切線與直線y x的交點坐標為 2x0 2x0 故曲線y f x 上任一點處的切線與直線x 0 y x所圍成的三角形的面積為定值 且此定值為6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 曲邊梯形由曲線y x2 1 y 0 x 1 x 2所圍成 過曲線y x2 1 x 1 2 上一點P作切線 使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形 則這一點的坐標為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f x 存在垂直于y軸的切線 f x 存在零點 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 已知曲線f x xn 1 n N 與直線x 1交于點P 設曲線y f x 在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn 則log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 則log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析f x n 1 xn k f 1 n 1 點P 1 1 處的切線方程為y 1 n 1 x 1 15 已知函數(shù)f x ax3 3x2 6ax 11 g x 3x2 6x 12和直線m y kx 9 且f 1 0 1 求a的值 解由已知得f x 3ax2 6x 6a f 1 0 3a 6 6a 0 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 是否存在k 使直線m既是曲線y f x 的切線 又是曲線y g x 的切線 如果存在 求出k的值 如果不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解存在 由已知得 直線m恒過定點 0 9 若直線m是曲線y g x 的切線 g x0 6x0 6 將 0 9 代入切線方程 解得x0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 當x0 1時 切線方程為y 9 當x0 1時 切線方程為y 12x 9 由 1 知f x 2x3 3x2 12x 11 由f x 0得 6x2 6x 12 0 解得x 1或x 2 在x 1處 y f x 的切線方程為y 18 在x 2處 y f x 的切線方程為y 9 y f x 與y g x 的公切線是y 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由f x 12得 6x2 6x 12 12 解得x 0或x 1 在x 0處 y f x 的切線方程為y 12x 11 在x 1處 y f x 的切線方程為y 12x 10 y f x 與y g x 的公切線不是y 12x 9 綜上所述 y f x 與y g x 的公切線是y 9 此時k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回