高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 必考部分 第五篇 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列課件 文 北師大版.ppt

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第2節(jié)等差數(shù)列 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來(lái) 提示 充分必要條件 2 如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 提示 可用累加法 3 如何推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 提示 利用倒序相加法推導(dǎo) 知識(shí)梳理 1 等差數(shù)列的相關(guān)概念 1 定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的都等于常數(shù) 那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列 符號(hào)表示為 n 2 n N d為常數(shù) 差 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 若等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)是a1 公差為d 則其通項(xiàng)公式為an 2 通項(xiàng)的推廣 an am d a1 n 1 d n m 同一個(gè) an an 1 d 4 等差數(shù)列 an 的性質(zhì) 1 若m n p q 則am an ap aq 其中m n p q N 特別地 若p q 2m 則ap aq p q m N 2 若等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則Sk S2k Sk S3k S2k 成等差數(shù)列 3 若下標(biāo)成等差數(shù)列 則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列 即ak ak m ak 2m k m N 成等差數(shù)列 4 若等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則S2n 1 2n 1 an 2am 5 等差數(shù)列的增減性與最值公差d 0時(shí)為遞數(shù)列 且當(dāng)a10時(shí) 前n項(xiàng)和Sn有最值 增 小 減 大 6 等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an a1 n 1 d可得an dn a1 d 如果設(shè)p d q a1 d 那么an pn q 其中p q是常數(shù) 當(dāng)p 0時(shí) n an 在一次函數(shù)y px q的圖像上 即公差不為零的等差數(shù)列的圖像是直線(xiàn)y px q上的均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn) 當(dāng)p 0時(shí) an q 等差數(shù)列為常數(shù)列 此時(shí)數(shù)列的圖像是平行于x軸的直線(xiàn) 或x軸 上的均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn) 拓展提升 1 等差數(shù)列 an 中 若am n an m 則am n 0 2 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若Sm Sn m n 則Sm n 0 3 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若Sm n Sn m 則Sm n m n 夯基自測(cè) 1 2015高考新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)Sn是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a1 a3 a5 3 則S5等于 A 5 B 7 C 9 D 11 A C D 解析 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1 則a1 2015 2 1010 2020 所以a1 5 故該數(shù)列的首項(xiàng)為5 4 2015高考陜西卷 中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 其末項(xiàng)為2015 則該數(shù)列的首項(xiàng)為 答案 5 答案 27 考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 解析 1 根據(jù)已知得a1 2d 7且6a1 15d 51 消去a1 解得d 3 故選B 例1 1 2015榆林模擬 等差數(shù)列 an 前n項(xiàng)和為Sn a3 7 S6 51 則公差d的值為 A 2 B 3 C 3 D 4 答案 1 B 如何列方程組 解析 2 由2d a3 a1 5 1 4得d 2 所以an 1 n 1 2 2n 1 由Sk 2 Sk ak 2 ak 1 2 k 2 1 2 k 1 1 4k 4 36 得k 8 故選A 2 2015河南三市聯(lián)考 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 a1 1 a3 5 Sk 2 Sk 36 則k的值為 A 8 B 7 C 6 D 5 答案 2 A 3 若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23 前9項(xiàng)和為57 則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 反思?xì)w納 等差數(shù)列基本運(yùn)算的方法策略 1 等差數(shù)列中包含a1 d n an Sn五個(gè)量 可知三求二 解決這些問(wèn)題一般設(shè)基本量a1 d 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式列方程 組 求解 體現(xiàn)方程思想 解析 1 因?yàn)閍1 0 所以ak k 1 d 所以a1 a2 a3 a7 1 2 3 4 5 6 d 21d k 1 d 所以k 22 故選A 即時(shí)訓(xùn)練 1 2015河南六市第一次聯(lián)考 在等差數(shù)列 an 中 首項(xiàng)a1 0 公差d 0 若ak a1 a2 a3 a7 則k等于 A 22 B 23 C 24 D 25 2 2015鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè) 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且S3 6 a3 0 則公差d等于 A 1 B 1 C 2 D 2 等差數(shù)列的判斷與證明 例2 2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn a1 1 an 0 anan 1 Sn 1 其中 為常數(shù) 1 證明 an 2 an 1 證明 由題設(shè) anan 1 Sn 1 an 1an 2 Sn 1 1 兩式相減得an 1 an 2 an an 1 由于an 1 0 所以an 2 an 由Sn于an的關(guān)系式 用什么方法解題 2 是否存在 使得 an 為等差數(shù)列 并說(shuō)明理由 2 解 存在滿(mǎn)足題意的 由題設(shè) a1 1 a1a2 S1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首項(xiàng)為1 公差為4的等差數(shù)列 a2n 1 4n 3 a2n 是首項(xiàng)為3 公差為4的等差數(shù)列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得數(shù)列 an 為等差數(shù)列 等差數(shù)列求參數(shù) 先求數(shù)列的前三項(xiàng) 再用中項(xiàng)性質(zhì) 反思?xì)w納 判定數(shù)列 an 是等差數(shù)列的常用方法 1 定義法 對(duì)任意n N an 1 an是同一個(gè)常數(shù) 2 等差中項(xiàng)法 對(duì)任意n 2 n N 滿(mǎn)足2an an 1 an 1 3 通項(xiàng)公式法 數(shù)列的通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù) 4 前n項(xiàng)和公式法 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn是n的二次函數(shù) 且常數(shù)項(xiàng)為0 2 求Sn及an 考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì) 答案 1 B 等差數(shù)列的性質(zhì) 答案 2 D 2 2015蘭州高三診斷 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a4 18 a5 則S8等于 A 18 B 36 C 54 D 72 答案 3 60 3 等差數(shù)列 an 的前m項(xiàng)和為30 前3m項(xiàng)和為90 則它的前2m項(xiàng)和為 反思?xì)w納 一般地 運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以?xún)?yōu)化解題過(guò)程 但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件 如m n p q 則am an ap aq m m p q N 答案 1 B 即時(shí)訓(xùn)練 1 等差數(shù)列 an 中 a1 a7 26 a3 a9 18 則數(shù)列 an 的前9項(xiàng)和為 A 66 B 99 C 144 D 297 答案 2 B 2 設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且a1 0 若S5 S9 則當(dāng)Sn最大時(shí) n等于 A 6 B 7 C 8 D 9 解析 2 因?yàn)镾5 S9 所以a6 a7 a8 a9 0 又a6 a9 a7 a8 所以a7 a8 0 又a1 0 所以a7 0 a8 0 所以當(dāng)n 7時(shí)Sn最大 故選B 答案 3 10 3 2015高考廣東卷 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 則a2 a8 解析 3 因?yàn)?an 是等差數(shù)列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 備選例題 例2 在等差數(shù)列 an 中 1 若a4 a17 20 求S20 2 若共有n項(xiàng) 且前四項(xiàng)之和為21 后四項(xiàng)之和為67 前n項(xiàng)和Sn 286 求n 例3 已知等差數(shù)列 an 公差d 0 前n項(xiàng)和為Sn 且滿(mǎn)足a2a3 45 a1 a4 14 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn 例4 在公差為d的等差數(shù)列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比數(shù)列 1 求d an 解 1 由題意得a1 5a3 2a2 2 2 由a1 10 an 為公差為d的等差數(shù)列得 d2 3d 4 0 解得d 1或d 4 所以an n 11 n N 或an 4n 6 n N 2 若d 0 求 a1 a2 a3 an 類(lèi)題探源精析把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化 等差數(shù)列的最值問(wèn)題 方法總結(jié)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí) 需要注意 自變量n為正整數(shù) 這一隱含條件 若對(duì)稱(chēng)軸取不到 需考慮最接近對(duì)稱(chēng)軸的自變量n n為正整數(shù) 若對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)兩個(gè)正整數(shù)的中間 此時(shí)應(yīng)有兩個(gè)符合題意的n值 源題變式 等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 0 設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn 且S5 S12 則當(dāng)n為何值時(shí) Sn有最大值