高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件 蘇教版選修2-2.ppt

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2 1 1合情推理 第2章2 1合情推理與演繹推理 1 了解合情推理的含義 能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 2 了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一推理的定義與結(jié)構(gòu)形式1 定義 從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過程稱為推理 2 結(jié)構(gòu)形式 從結(jié)構(gòu)上來說 推理一般分為兩部分 一部分是已知的事實(shí) 或假設(shè) 叫做 另一部分是由已知判斷推出的新的判斷 叫做 思考 1 依據(jù)部分對(duì)象得到的推理結(jié)論可靠嗎 答案不一定完全可靠 2 推理一般用哪些關(guān)聯(lián)詞 答案推理一般可用關(guān)聯(lián)詞將 前提 和 結(jié)論 聯(lián)結(jié) 常用的關(guān)聯(lián)詞有 因?yàn)?所以 根據(jù) 可知 如果 那么 若 則 答案 前提 結(jié)論 知識(shí)點(diǎn)二歸納推理與類比推理 答案 部分到整體 個(gè)別到一般 答案 特殊到特殊 思考?xì)w納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎 答案歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍 其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的 而是或然性的 結(jié)論不一定正確 類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征 推測(cè)正在被研究的事物的特征 所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性 不一定可靠 答案 知識(shí)點(diǎn)三合情推理1 合情推理的含義 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí) 正確的結(jié)論 實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果 以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程 歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理 2 合情推理的過程 思考由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎 答案一般來說 由合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 未必可靠 例如 費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了 答案 返回 題型探究重點(diǎn)突破 解析答案 題型一歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列 an 的第1項(xiàng)a1 2 且an 1 n 1 2 試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1 3 5 7 分子都是2 反思與感悟 反思與感悟 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式的一般方法 1 根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 有時(shí)題目已給出 如a1 a2 a3等 2 通過這些項(xiàng)找出項(xiàng)與序號(hào)之間的一般規(guī)律 歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 解析答案 1 求出S1 S2 S3 S4 解析答案 2 猜想該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn并證明 解析答案 題型二類比推理的應(yīng)用例2在矩形ABCD中 對(duì)角線AC與兩鄰邊AB BC所成的角分別為 則cos2 cos2 1 在立體幾何中 通過類比 給出猜想并證明 反思與感悟 于是類比到長(zhǎng)方體中 猜想若其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為 則cos2 cos2 cos2 1 證明如下 如圖 2 反思與感悟 反思與感悟 類比推理是一種主觀的不充分的推理 因此 要確認(rèn)其猜想的正確性 還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證 一般情況下 如果類比的相似性越多 相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)越相關(guān) 那么類比得到的命題就越可靠 類比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性或相似性確切地表述出來 也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說清楚 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2 若直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a b 將其補(bǔ)成一個(gè)矩形 則根據(jù)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)可求得該直角三角形外接圓的半徑r 對(duì)于 若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直 側(cè)棱長(zhǎng)分別為a b c 類比上述處理方法 可得該三棱錐的外接球的半徑R 解析由求直角三角形外接圓的半徑的方法 通過類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為 首先將該三棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體 而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是三棱錐的外接球的直徑 從而得出該三棱錐的外接球的半徑R 歸納推理 類比推理都是合情推理 歸納推理是由部分到整體 由個(gè)別到一般的推理 而類比推理則是通過某兩類對(duì)象在對(duì)比中啟發(fā)猜想結(jié)論 這些結(jié)論未必正確 要進(jìn)一步驗(yàn)證 或證明 其正確性 例3設(shè)f n n2 n 41 n N 計(jì)算f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同時(shí)作出歸納推理 并用n 40驗(yàn)證猜想是否正確 易錯(cuò)易混 合情推理的應(yīng)用 解析答案 返回 解f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 解析答案 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151都是質(zhì)數(shù) 歸納猜想 當(dāng)n N 時(shí) f n n2 n 41的值都為質(zhì)數(shù) 驗(yàn)證 當(dāng)n 40時(shí) f 40 402 40 41 40 40 1 41 41 41 f 40 是合數(shù) 由上面歸納推理得到的猜想不正確 返回 當(dāng)堂檢測(cè) 1 2 3 4 5 解析答案 而分母b則為該數(shù)的平方減1 6 35 解析答案 1 2 3 4 5 類比正切的和角公式 1 2 3 4 5 nn 解析答案 1 2 3 4 5 答案 解析答案 1 2 3 4 5 5 根據(jù)下列條件 寫出數(shù)列中的前4項(xiàng) 并歸納猜想它的通項(xiàng)公式 1 a1 3 an 1 2an 1 解由已知可得a1 3 22 1 a2 2a1 1 2 3 1 7 23 1 a3 2a2 1 2 7 1 15 24 1 a4 2a3 1 2 15 1 31 25 1 猜想an 2n 1 1 n N 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 對(duì)一切的n N an 0 a2 3 同理可求得a3 5 a4 7 猜想出an 2n 1 n N 課堂小結(jié) 返回 1 歸納推理的一般步驟 1 通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 2 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題 猜想 2 類比推理的一般步驟 1 找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性 2 用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì) 得出一個(gè)明確的命題 猜想