廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017屆高三數學5月聯合模擬試題 理（含解析）.doc

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廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017屆高三5月聯合模擬理科數學 一、選擇題：共12題 1．若集合A={x|y=x12}，B={x|y=ln(x+1)}，則A∩B= A.[0,+∞) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1) 【答案】A 【解析】本題主要考查集合的基本運算、對數函數.A=xy=x12={x|x≥0}，B=xy=lnx+1={x|x>-1}，則A∩B={x|x≥0}. 2．下面是關于復數z=2-i的四個命題：p1：|z|=5；p2：z2=3-4i；p3：z的共軛復數為-2+i；p4：z的虛部為-1，其中真命題為 A.p2，p3 B.p1，p2 C.p2，p4 D.p3，p4 【答案】C 【解析】本題主要考查復數的共軛復數、模、四則運算、命題真假的判斷.因為z=2-i，所以|z|=5，則p1是假命題；又z2=(2-i)2=3-4i,故p2是真命題；z=2-i的共軛復數為2+i，故p3是假命題，因此排除A、B、D，則答案為C. 3．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為線段BC上的點，則AE?DE的最小值為 A.12 B.15 C.17 D.16 【答案】B 【解析】本題主要考查平面向量的數量積、函數的性質，考查了邏輯推理能力與轉化思想.設BE=tBC(0≤t≤1),則AE=AB+BE=AB+tBC，DE=DC+CE=AB-(1-t)BC,且AB?BC=0,則AE?DE=4t2-4t+16=4(t-12)2+15,由二次函數的性質可知，當t=12時，AE?DE取得最小值15. 4．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述正確的是 ①2017年第一季度GDP總量和增速均居同一位的省只有1個； ②與去年同期相比，2017年第一季度五個省的GDP總量均實現了增長； ③去年同期的GDP總量前三位是江蘇、山東、浙江； ④2016年同期浙江的GDP總量也是第三位. A.①② B.②③④ C.②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】本題主要考查由樣本數據估計總體數據、統(tǒng)計圖，考查了分析問題與解決問題的能力. ①2017年第一季度GDP總量和增速均居同一位的省有2個，江蘇與河南，分別居第一位與第四位，故①錯誤；②由圖知，②正確；③由圖計算2016年第一季度同期五省的GDP總量，前三位是江蘇、山東、浙江，故③正確；④由圖計算2016年同期五省的GDP總量，浙江的GDP總量也是第三位，故④正確，故答案為B. 5．若函數f(x)=2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間[0,π3]上的最大值為1，則ω= A.14 B.13 C.12 D.32 【答案】C 【解析】本題主要考查三角函數的單調性，考查了邏輯推理能力.因為x∈[0,π3],所以ωx∈[0,ωπ3]，又因為函數f(x)=2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間[0,π3]上的最大值為1，所以ωπ3=π6，則ω=12 6．若a=log1π13，b=eπ3，c=log3cos15π，則 A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b 【答案】B 【解析】本題主要考查指數函數與對數函數的性質,考查了函數的基本性質的應用.因為a=log1π13=logπ3∈(0,1),b=eπ3>1,c=log3cos15π<0,所以b>a>c 7．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的B= A.15 B.29 C.31 D.63 【答案】D 【解析】本題主要考查當型循環(huán)結構程序框圖，考查了邏輯推理能力.運行程序：A=1,B=3;B=7,A=2;B=15,A=3;B=31,A=4;B=63,A=5,此時不滿足條件,循環(huán)結束,輸出B=63 8．在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=1，b=3，A=30，B為銳角，那么角A:B:C的比值為 A.1:1:3 B.1:2:3 C.1:3:2 D.1:4:1 【答案】B 【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理，考查了計算能力.因為a=1，b=3，A=30，B為銳角，所以由正弦定理可得sinB=bsinAa=32,則B=60，所以C=90，則A:B:C=1:2:3 9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 A.20+45 B.12+45 C.20+25 D.12+25 【答案】A 【解析】本題主要考查空間幾何體的三視圖、表面積與體積，考查了空間想象能力.由三視圖可知，該幾何體是一個底面直角邊長分別為2、4的直角三角形、高是2的直三棱柱，所以該幾何體的表面積S=21224+22+4+25=20+45 10．在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔBAC與ΔBCD均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90，BC=2，點P是線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30的角，則線段PA的長度的取值范圍是 A.(0,22) B.(0,63) C.22,2 D.(63,2) 【答案】B 【解析】本題主要考查異面直線所成的角、空間向量、線面與面面垂直，考查了空間想象能力與邏輯推理能力.設BC的中點為O,連接OA,因為∠BAC=90，BC=2，所以OA=1，故建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz，則O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t>0,m>0),則PQ=(1-s,m,-t),AC=(1,0,-1),PA=(-s,0,1-t)，所以PQAC=1-s+t,|PQ|=(1-s)2+m2+t2,AC=2,所以(1-s)2+m2+t22cos30=1-s+t，即3m2=4t1-s-1-s2-t2>0,結合t-s=1可得41-s2>2+2s2,則s<13，則PQ=1-t2+s2=2s<63,故答案為B. 11．設P為雙曲線x2-y215=1右支上一點，M，N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點，設|PM|-|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則m-n= A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】本題主要考查雙曲線與圓的性質，考查了邏輯推理能力.雙曲線的焦點分別兩個圓的圓心E-4,0,F(4,0),圓E的半徑為2，圓F的半徑為1，則|PM|的最大值為PE+2,最小值為PE-2,|PN|的最大值為PF+1,最小值為PF-1，又PE-PF=2,所以|PM|-|PN|的最大值為PE+2-PF-1=PE-PF+3=m,|PM|-|PN|的最小值為PE-2-PF+1=PE-PF-3=n, 則m-n=6 12．ab表示一個兩位數，十位數和個位數分別用a，b表示，記f(ab)=a+b+3ab，如f(12)=1+2+312=9，則滿足f(ab)=ab的兩位數的個數為 A.15 B.13 C.9 D.7 【答案】C 【解析】本題主要考查新定義問題、歸納推理，考查了邏輯推理能力.由題意可知，若fab=a+b+3ab=ab=10a+b，即ab=3a，因為a≠0，所以b=3，當a分別取1,2,3,4,5,6,7,8,9時，滿足f(ab)=ab成立，因此滿足f(ab)=ab的兩位數的個數為9. 二、填空題：共4題 13．已知實數x，y滿足不等式組1≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,則z=y+1x+1的最大值是. 【答案】2 【解析】本題主要考查線性規(guī)劃問題、直線的斜率公式，考查了數形結合思想與邏輯推理能力.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，z=y+1x+1表示過點P(-1,-1)與平面區(qū)域內任一點的直線l的斜率，當直線過點A(0,1)時，z=y+1x+1取得最大值2. 14．已知sinθ+cosθ=15，θ∈(π2,π)，則tanθ=. 【答案】-43 【解析】本題主要考查同角三角函數關系式,考查了邏輯推理能力.因為θ∈(π2,π),所以sinθ>0,cosθ<0,將sinθ+cosθ=15兩邊平方化簡可得2sinθcosθ=-2425,則sinθ-cosθ=1-2sinθcosθ=75,則sinθ=45,cosθ=-35,所以tanθ=-43 15．直線x=a分別與曲線y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，則|AB|的最小值為. 【答案】2 【解析】本題主要考查導數與函數的性質,考查了邏輯推理能力.根據題意,要求|AB|的最小值,即求函數fx=2x+1-x+lnx=x+1-lnx在(0,+∞)上的最小值,fx=1-1x,則易知函數fx在(0,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數,所以|AB|的最小值,即函數fx的最小值為f1=2 16．設圓C滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1；③圓心到直線l：x-2y=0的距離為d.當d最小時，圓C的面積為. 【答案】2π 【解析】本題主要考查直線與圓的位置關系,考查了邏輯推理能力與計算能力.設圓的半徑為r,圓心(a,b),由②可知短弧所對的圓心角為90,則圓心不在x軸上,設b>0,則r=2b,由①截y軸所得弦長為2可得a2+1=r2,則a2=2b2-1,又d=|a-2b|5=a2-4ab+4b25≥a2-2a2+b2+4b25=15,當且僅當a=b=1時,d取得最小值,此時r=2,則圓的面積為2π. 三、解答題：共7題 17．已知各項均為正數的等差數列{an}滿足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比數列，設{an}的前n項和為Sn. (Ⅰ)求數列{an}的通項公式； (Ⅱ)設數列{Snn?2n}的前n項和為Tn，求證：Tn<3. 【答案】(Ⅰ)根據題意，等差數列{an}中，設公差為d，a4=2a2，且a1，4，a4成等比數列，a1>0， 即a1+3d=2(a1+d),a1?(a1+3d)=16,解得a1=2，d=2， 所以數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知a1=d=2，則Sn=2n+n(n-1)22=n2+n， ∴bn=Snn?2n=n+12n. ∴Tn=221+322+423+…+n+12n，(*) 12Tn=222+323+…+n2n+n+12n+1，(**) ∴12Tn=221+122+123+…+12n-n+12n+1， ∴Tn=2+121+122+…+12n-1-n+12n=2+12(1-12n-1)1-12-n+12n=3-12n-1-n+12n<3. ∴Tn<3. 【解析】本題主要考查等差數列,等比數列的通項公式與前n項和公式,考查了錯位相減法,邏輯推理能力與計算能力.(1) 根據題意，等差數列{an}中，設公差為d，則有a1+3d=2(a1+d)a1?(a1+3d)=16,求解易得結論;(2)求出{an}的前n項和為Sn,則bn=n+12n,利用錯位相減法,再結合等比數列的前n項和公式求解,易得結論. 18．某公司為了準確地把握市場，做好產品生產計劃，對過去四年的數據進行整理得到了第x年與年銷量y(單位：萬件)之間的關系如表： (Ⅰ)在圖中畫出表中數據的散點圖； (Ⅱ)根據(Ⅰ)中的散點圖擬合y與x的回歸模型，并用相關系數甲乙說明； (Ⅲ)建立y關于x的回歸方程，預測第5年的銷售量約為多少？. 附注：參考數據：i=14(yi-y)2≈32.6，5≈2.24，i=14xiyi=418. 參考公式：相關系數r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2， 回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx. 【答案】(Ⅰ)作出散點圖如圖： (Ⅱ)由(Ⅰ)散點圖可知，各點大致分布在一條直線附近，由題中所給表格及參考數據得： x=52，y=692，i=14xiyi=418，i=14(yi-y)2≈32.6，i=14xi2=30，i=14(xi-x)(yi-y)=i=14xiyi-xi=14yi=418-52138=73，i=14(xi-x)2=i=14xi2-nx2=30-4(52)2=5≈2.24， r=i=14(xi-x)(yi-y)i=14(xi-x)2i=14(yi-y)2=732.2432.6≈0.9996. ∵y與x的相關系數近似為0.9996，說明y與x的線性相關程度相當大， ∴可以用線性回歸模型擬合y與x的關系. (Ⅲ)由(Ⅱ)知：x=52，y=692，i=14xiyi=418，i=14x2=30，i=14(xi-x)2=5， b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=735，a=y-bx=692-73552=-2， 故y關于x的回歸直線方程為y=735x-2， 當x=5時，y=7355-2=71， 所以第5年的銷售量約為71萬件. 【解析】本題主要考查回歸分析及其應用,考查了分析問題與解決問題的能力.(1)根據所給數據易得散點圖;(2)利用所提供的數據與公式求出y與x的相關系數r,即可得出結論;(3)由題中所提供的數據,分別求出b,a的值,則可得回歸直線方程,再將x=5代入回歸直線方程可得結論. 19．如圖，在正三棱柱ABC-A?1B1C1中，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，且EC=2FB. (Ⅰ)證明：平面AEF⊥平面ACC1A1； (Ⅱ)若AB=EC=2，求二面角C-AF-E的余弦值. 【答案】(Ⅰ)證明： 取線段AE的中點G，取線段AC的中點M，連接MG，GF，BM，則MG=12EC=BF， 又MG//EC//BF， ∴MBFG是平行四邊形，故MB//FG. ∵MB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC， ∴MB⊥平面ACC1A1，而BM//FG， ∴FG⊥平面ACC1A1， ∵FG?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面ACC1A1. (Ⅱ)以MA、MB、MG為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系M-xyz，則A(1,0,0)，C(-1,0,0)，E(-1,0,2)，F(0,3,1)，AC=(-2,0,0)，AF=(-1,3,1)，AE=(-2,0,2)， 設平面ACF的一個法向量m=(x1,y1,z1)， 則有m?AC=0,m?AF=0,即-2x1=0,-x1+3y1+z1=0, 令y1=1，則m=(0,1,-3)， 設平面AEF的一個法向量n=(x2,y2,z2)， 則有n?AE=0,n?AF=0,即-2x2+2z2=0,-x2+3y2+z2=0, 令x2=1，則n=(1,0,1)， 設二面角C-AF-E的平面角θ， 則cosθ=|cos|=|m?n||m|?|n|=|-3|22=64. 【解析】本題主要考查線面,面面垂直的判定與性質,二面角,空間向量的應用,考查了空間想象能力與邏輯推理能力.(1) 取線段AE的中點G，取線段AC的中點M，連接MG，GF，BM，證明四邊形MBFG是平行四邊形，再證明MB⊥平面ACC1A1,則結論易得;(2) 以MA、MB、MG為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系M-xyz，求出平面ACF的一個法向量m, 平面AEF的一個法向量n, 設二面角C-AF-E的平面角θ，利用向量的夾角公式cosθ=|cos|=|m?n||m|?|n|求解即可. 20．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e<22.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8，面積為23. (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ)若點P(x0,y0)為橢圓C上一點，直線l的方程為3x0x+4y0y-12=0，求證：直線l與橢圓C有且只有一個交點. 【答案】(Ⅰ)依題意，設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距為2c， 由題設條件知，4a=8，a=2， 2122cb=23，b2+c2=a2=4， 所以b=3，c=1，或b=1，c=3(經檢驗不合題意舍去)， 故橢圓C的方程為x24+y23=1. (Ⅱ)當y0=0時，由x024+y023=1，可得x0=2， 當x0=2，y0=0時，直線l的方程為x=2，直線l與曲線C有且只有一個交點(2,0). 當x0=-2，y0=0時，直線l的方程為x=-2，直線l與曲線C有且只有一個交點(-2,0). 當y0≠0時，直線l的方程為y=12-3x0x4y0，聯立方程組y=12-3x0x4y0,x24+y23=1. 消去y，得(4y02+3x02)x2-24x0x+48-16y02=0.① 由點P(x0,y0)為曲線C上一點，得x024+y023=1，可得4y02+3x02=12. 于是方程①可以化簡為x2-2x0x+x02=0，解得x=x0， 將x=x0代入方程y=12-3x0x4y0可得y=y0，故直線l與曲線C有且有一個交點P(x0,y0)， 綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為P(x0,y0). 【解析】本題主要考查橢圓的方程與性質,直線與圓錐曲線的位置關系,考查了分類討論思想與邏輯推理能力.(1) 由題設條件知，4a=82122cb=23，且e<22,求解可得結論;(2)先討論y0=0,即點P是橢圓的左右頂點,易得結論;再討論y0≠0, 直線l的方程為y=12-3x0x4y0，聯立橢圓方程,結合點P在橢圓上,化簡可得x2-2x0x+x02=0,則結合易得. 21．設函數f(x)=mlnx+nx，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1. (Ⅰ)求實數m，n的值； (Ⅱ)若b>a>1，A=f(a+b2)，B=f(a)+f(b)2，C=bf(b)-af(a)b-a-1，試判斷A，B，C三者是否有確定的大小關系，并說明理由. 【答案】(Ⅰ)f(x)=mx-nx2. 由于f(1)=n=0,f(1)=m-n=1,所以m=1，n=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=lnx. (i)A-B=lna+b2-lna+lnb2=lna+b2ab≥1=0, 而a≠b，故A>B. (ii)A-C=lna+b2-(blnb-alnab-a-1)=1b-a[(b-a)lna+b2-blnb+alna+b-a]. 設函數g(x)=(x-a)lnx+a2-xlnx+alna+x-a，x∈(0,+∞)， 則g(x)=lnx+a2x+x-ax+a，g(x)=a(x-a)x(x+a)2. 當x>a時，g(x)>0，所以g(x)在(a,+∞)上單調遞增； 又g(x)>g(a)=0，因此g(x)在(a,+∞)上單調遞增. 又b>a，所以g(b)>g(a)=0，即A-C>0，即A>C. (iii)C-B=blnb-alnab-a-1-lna+lnb2=1b-a(a+b2lnb-a+b2lna+a-b). 設h(x)=x+a2lnx-x+a2lna-x+a，x∈(0,+∞). 則h(x)=12lnx+a2x-12lna-12，有h(x)=x-a2x2. 當x>a時，h(x)>0，所以h(x)在(a,+∞)上單調遞增，有h(x)>h(a)=0. 所以h(x)在(a,+∞)上單調遞增. 又b>a，所以h(b)>h(a)=0，即C-B>0，故C>B. 綜上可知：A>C>B. 【解析】本題主要考查導數與導數的幾何意義,函數的性質,基本不等式,考查了函數的構造,考查了邏輯推理能力與計算能力.(1)由題意可得f(1)=0f(1)=1,求解可得結論;(2) 由(Ⅰ)知f(x)=lnx,(i)A-B=lna+b2-lna+lnb2,利用對數的運算性質與基本不等式求解可得結論; (ii)A-C=1b-a[(b-a)lna+b2-blnb+alna+b-a], 設函數g(x)=(x-a)lnx+a2-xlnx+alna+x-a，x∈(0,+∞)，求導并判斷函數的單調性,易得結論; (iii)C-B=1b-a(a+b2lnb-a+b2lna+a-b), 設h(x)=x+a2lnx-x+a2lna-x+a，x∈(0,+∞),同理求解即可. 22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為x=3cosα,y=3sinα(α為參數).以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+π3)=3. (Ⅰ)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程； (Ⅱ)設點P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值. 【答案】(Ⅰ)因為直線l的極坐標方程為ρcos(θ+π3)=3， 即ρ(12cosθ-32sinθ)=3，即x-3y-23=0. 曲線C的參數方程為x=3cosαy=3sinα(α是參數)，利用同角三角函數的基本關系消去α， 可得x29+y23=1. (Ⅱ)設點P(3cosα,3sinα)為曲線C上任意一點，則點P到直線l的距離 d=|3cosα-3sinα-23|2=|32cos(α+π4)-23|2， 故當cos(α+π4)=-1時，d取最大值為32+232. 【解析】本題主要考查參數方程與極坐標,考查了參直與極直互化,點到直線的距離公式,三角函數.(1)消去參數α可得曲線C的普通方程;將直線l的極坐標方程展開,再利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ化簡可得直線l的直角坐標方程;(2) 設點P(3cosα,3sinα)為曲線C上任意一點，利用點到直線的距離公式求出點P到直線l的距離d=|3cosα-3sinα-23|2,結合三角函數的性質求解即可. 23．已知函數f(x)=|x-a|+12a(a≠0). (Ⅰ)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立，求實數m的最大值； (Ⅱ)當a<12時，函數g(x)=f(x)+|2x-1|有零點，求實數a的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)f(x+m)=|x+m-a|+12a. ∵f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|， ∴f(x)-f(x+m)≤1恒成立當且僅當|m|≤1， ∴-1≤m≤1，即實數m的最大值為1. (Ⅱ)當a<12時，g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a=-3x+a+12a+1,x12. ∴g(x)min=g(12)=12-a+12a=-2a2+a+12a≤0， ∴012三種情況討論去絕對值,求出函數g(x)min,解不等式g(x)min≤0,即可求出結果.